PRÉFACE

J'ai essayé d'écrire ce petit Livre dans le but d'être utile aux élèves des Universités.

Certes, il ne manque pas de beaux Traités ou Cours d'Analyse. En quelques points, très modestement, je cherche seulement à les compléter un peu, et c'est ce que je dois expliquer ici.

Il me semble d'abord que les étudiants, ceux surtout qui travaillent seuls, n'auront jamais trop de Livres d'Exercices. J'indique donc la solution de problèmes, presque tous posés à l'examen du Certificat de Calcul différentiel et intégral.

D'autres exercices sont fournis par les transcendantes classiques, qu'on rencontre incidemment dans beaucoup de recherches, et qu'il faut savoir manier.

Comme le faisait M. Painlevé, dans le Chapitre qu'il a annexé aux Exercices de Tisserand, je rappelle, au début, l'énoncé de quelques théorèmes importants, en tâchant d'être précis, et en m'efforçant de ne pas tomber dans cet excès de subtilité que M. H. Poincaré, au Congrès des Mathématiciens de 1908, a nommé le Cantorisme.

Voilà pour la première Partie, très élémentaire, de ce Livre.

VI PRKFACK.

En second lieu, j'esquisse le contour de quelques Leçons, sur des sujets dont l'étude est récente.

Par là même, ces questions, aujourd'hui en pleine évolution, n'étaient pas encore aptes à figurer dans les grands Ouvrages classiques.

Il me semble qu'elles pourront intéresser les étudiants dont l'esprit est curieux, et voici le point de vue auquel je me suis placé.

Dans la Théorie générale des fonctions, il faut partir de la série de Taylor et faire un prolongement analytique avec Weierstrass, ou bien il faut prendre pour point de départ le problème de Dirichlet, avec Riemann. Sinon, toute la théorie de Cauchy est comme suspendue en l'air.

Sans cela, par exemple, on ne peut introduire dans l'intégrale de Cauchy que les trancendantes élémentaires^ ^^, L:?, arc tangz, etc.

J'ai choisi le principe de Dirichlet, parce qu'il conduit naturellement à une théorie très belle, celle de M. Fredholm, et aux équations de la Physique. Je parle donc des équations intégrales y dont chacun reconnaît aujourd'hui Timportance.

La solution du problème de Dirichlet va d*ailleurs faire réfléchir un étudiant, par le fait qu'à première vue il lui semblera qu'on est en contradiction avec l'énoncé du théorème d'existence classique, dit théorème de Cauchy-Kowalesky, sur les solutions des équations aux dérivées partielles. Mais c'est qu'un co/itour fermé ne correspond plus du tout à la démonstration de ce théorème classique.

Et voici donc un avertissement suggestif : un énoncé,