PREFACE. VII

1res général et très beau, n'épuise pas forcément une question. Il est bien d'autres théorèmes d'existence que ceux de Cauchy (*). D'ailleurs, des cas très intéressants peuvent se présenter où cet énoncé tombe en défaut.

Cela nous amènera à la théorie dcscaractérisliqueSy définies précisément comme muUipUcilés d'exception relativement au théorème de Cauchy.

Et la théorie des caractéristi(jucs nous conduit à la classification des équations du second ordre, en types elliptiques^ hyperboliques ^ paraboliques.

L'équation de Laplace est du type elliptique; nous indiquons, après la théorie du potentiel, la solution qui résulte de l'œuvre de M. Fredholm. Puis nous parlons de certaines équations du type hyperbolique, linéaires et complètement intégrées; en particulier, ceci nous permettra de montrer la valeur de deux idées qui, dans cet ordre, se rejoignent constamment et se complètent : la Méthode de Riemann et les Approximations successives de M. E, Picard.

Enfin, on a, à ce jour, assez peu de résultats très généraux sur le type parabolique. C'est encore une équation intégrale qui semble devoir jouer ici un rôle important. Nous donnons donc simplement, à ce sujet, une étude rapide du célèbre problème d'inversion d'Abel et des équations intégrales de M. Volterra.

Mon but sera atteint si j'ai amené quelques jeunes étudiants à réfléchir sur quelques-unes des hautes ques-

(*) Voir les Conférences de M. Picard et \ai Notice sur les travaux de M. Hadamard. Paris, Gauthier-Villars.