Démontrer la relation

P est un polynôme de degré /i, U est défini par V identité

dxy

sJTW)

iy-x)yjT{J)

G et G sont deux contours ^ dans les plans des variables complexes x^ y, entourant, le premier les racines a{ et a2 de P = o^ le second les racines a^ et a%»

Fig. 4.

Posons z = yP{x) ^P{y) ; nous avons à considérer

Nous avons deux inlégrales Jf et J2. Calculons J|.

Soient p ci g les points où les contours se couperaient si les plans x, y étaient superposés, y suivra le contour C^ et ^ le contour XiX^-\- x^x^y laissant de côté deux petit-^ éléments autour de p et q. Laissons d'abord y fixe en un point quelconque de C

Quand x effectue le tour de C, la détermination de ^P(.r) n'est pas changée.

Intégrons donc en ^; il vient

cp =

/(^3)-/(.ri) /iX2)—/(X!,)

iy-^p)\^^iJ')

Il reste à effectuer

^(y)dy.

G' sera décomposé en mqnrm et mrnpm par un petit contour auxiliaire. Puis la première partie sera décomposée elle-même autour de g.

Écrivons <p sous la forme cpi -h cp2 :

On a

<Pi=/(a^t)— /(a^i), ^i=f(^z)—/{^k)'

|<pi|<e, l?ï|<e.

e tendra vers zéro en même temps que les arcs x^ x^ et x^ X ^ •

Nous appelons F le grand contour, yi et Y2 les petits contours dessinés en pointillé.

Pour le contour F, les intégrales de ©1 et {p2 sont, en

Fiff. 5.

module, moindres que t), qui s'évanouit avec e. Pour yi et Y2) un seul terme donne un résultat. Le contour yi donnera

v/P?^ dy

=1 'ITZl

(puisqu'on peut faire évanouir le contour y^ ).

Le conlour y2 donnera, P(y) ayant changé de détermination après le contour du point a2',

— V/P(a:») dy

= 27ri.

Donc

Avec ce contour,

Ji= o.

C'est là démonstration simple, donnée par M. E. Picard, d'un théorème de Weierstrass, relatif aux systèmes de périodes des transcendantes hjperelliptiques.

Pour le cas elliptique, le théorème est le suivant :

K = / - - • Kl = / id,

On a

KJi-JKi= -

(Weierstrass, Werke, t. I; Picard, Fonctions algébriques de deux variables, t. II).