I. — Géométrie

Courbe plane. Rayon de courbure :

Courbe gauche. Formules de Frenet-Serret :

^(*)» r(*)> -5(5), (5 = arc), A = dy d'^z — dz d^y \

B=zdz d^x — dxd^z \ l = \\dx d^x d^x\\ (»), G = dx d'^y — dy d^x ,

R = rayon de courbure, T = rayon de torsion.

Cosinus de la tangente : a, p, y.

Cosinus de la normale principale : a', ^' y'.

(^) Ce symbole représente un déterminant dont on n'écrit que la première ligne.

Cosinus de la bi normale : a", P", y,

r Aî-t-B»-h

A2-+-B2H-GÎ'

dT. a' rf* " R'

ds ~

ds~ K'

rfa' a' ds ■" T'

Courbes tracées sur une surface :

i" Lignes de courbure : les normales à la surface le long de ces lignes forment une développable, ou bien le rayon de courbure est maximum (ou minimum);

2° Lignes asjmptotiques : le plan osculateur est le plan tangent de la surface ;

3^ Lignes géodésiques : le plan oscillateur est normal à la surface. .

Coordonnées curvilignes, — La théorie des surfaces comporte l'emploi des coordonnées curvilignes

ds^ = V dx^ = dx^-\- djr^ -h dz^

(carré de différentielle, non différentielle du carré),

ds^z= E du'^-h iF du dv -h G dv^y EG — F* = H2 > o.

A ngle des directions d et h :

cosids, 8.) =^~^

K du ow -4- F( rfw 8p H- û?p 8a ) -h G dv 8ç>

V/Erfa2... s/E^uK,.

Cosinus de la normale d'une surface : c, c', d' ^

SJ§ CX'„ = G, c dx = <

On a les autres, en permutant circulalrement, x^y^ z.

Posons

D = Il <. xi, X', II,

D = Il 07,44, Xu x^ II, D'=IK, a^L a7;||.

On a, de suite,

d'où les asympto tiques

D du'^-^iU du dv -h D' dv^ = o.

Angle de la normale ^ à la surface, avec la normale principale n d'une courbe de la surface. — N a pour cosinus c, c', d' .

La courbe a pour cosinus de sa tangente a, a', a" ^ et pour sa normale principale n : 6, 6', 6'',

-7- = - (r rayon de courbure),

ds d'où

H ^ D rfg^-h 2D^ fl?a (^p -h D*^ dv^

- cos(J>l, 71) - ^ du-^ -^ i¥ du di? -^ (i di>^ '

d'où le théorème de Meusnier, et aussi les Lignes de courbure.

Soit R un maximum pour r, dans une section normale

|co5(N,/i;| = I

(nous négligeons la question de signes).

Ecrivons donc que l'équation

a ses racines égales

D du-hD' di>—-rT{Edu-h¥dç)=zo, D'du-^D''du— — (FrfM-HGrft^) = o;

d'où les lignes de courbure

(Drfa-h D' dv) {¥ du -^ G dv) = (D' du -^D' di>) (E du ^F dv);

d'où les rayons principaux