HF R
Soient R| et Rq les rayons principaux, on a (O. Rodrigues)
dx •+■ Ri de = o, dy -h Ri de' = o, dz -h Ri de" = o, 8a? -h R, Se = o, 8jK -+- Ri oc' = o, Sz -+- R, 80" = o,
d et S sont les deux directions des lignes de courbure. Les lignes asymptotiques sont encore données par
o = dp dx -\- dq dy pour z •=f{x^y).
Les lignes de courbure par
o = ||û?a: rfA A II,
A(u^v)^ B, C étant les paramètres (pas forcément les cosinus) de la normale
dx ->r p dz dy -\- a dz -, .
— ^ = dq P°"' ^=/(^-r).
et alors l'équation en R^, R^ sera
Surface dévefoppable
rt — 5* = o.
Ou bien : même plan tangent le long d'une génératrice
X = As -+-/>, y=bz->rq'y
a, 6, /?, y, dépendent de a; ce qui donne
db dp — da dq = o.
Surface réglée, — Le point central I est tel, qu'en 1, le plan tangent fait un angle de 90^ avec le plan tangent à l'infini,
tangG =KÏM (Ghasles),
9 est l'angle des plans tangents en M et en I, K est constant sur une génératrice.
Congruence de normales :
X = az H-/?, y — bz-^q,
a, 6, /?, q dépendant de a, p.
Ces droites sont les normales d'une surface si l'on a
< ^Pa -^ bq'^ ^^ ^ ap^ -H bq^ ^ différentielle exacte
v/a«-+-6«-hi v/a«-h6î-+-i
= rfX(a, P).
La surface est alors donnée par z =
Surface moulure, — Un système de lignes de courbure est formé de courbes planes et situées daus des plans parallèles. Le plan étant celui des xy^ on a
X = <Ka) cosa — '^'(a) sina -H <p(«) cosa, y = <]^(a) sina -h <|/'(a) cosa -+- cp(-«) sina.
Le plan étant celui des xz^ on aurait
a? = T=4== cp(j^) — ^'(a),
z = ^ cp( x) -h <Kg) — ay (a).
/iH-a*
IL — Intégrales et séries.
(Domaine réel.)
Une fonction /(x), continue, a une intégrale, limite de somme.
L^intégrale existe encore si Ton a un nombre fini de discontinuités finies ou de discontinuités infinies de certain genre.
Exemple :
" /(x)dx
est bien déterminé si Ton a /(x) borné et m <^i. Exemple :
I S^x dx (4^= logarithme)
est bien déterminé.
Dans certains cas, aussi, on peut prendre un champ d'intégration infini.
Exemple :
f(x) dx
xl»-
sinj: dx
est bien déterminé si l'on dif{x) borné et [x >► i . Exempte :
Jr" sina: <
est bien déterminé.
Soit
F(ar)=y* f{x)dx,
on a
dF(x)
F est l'intégrale générale ou primitive.
Si y est rationnel, F contient une partie rationnelle, des logarithmes et des arc-tangente.
Soit
/= R(siax^ cosx) (R = rationnel),
on peut intégrer, car sin^r et cos^ sont rationnels
en t = tang--
Soit
il s'introduit une transcendante nouvelle
r e'dx r dx . . L . ^ 1
/ ou I - — = logarithme intégral.
Soit
/= e»*R(sina7, cosa?),
nous avons la transcendante nouvelle
X , «w« cot — dx
(Hermite, Cours d'Analysey 1878, Gauthier- Villars).
Soit P/2 un polynôme de degré n.
Si y=: R( j?, v'P2 ), on ramène aux fonctions rationnelles.
Si /= R(;r, y/P^), on a des quadratures elliptiques (/i = 3,4) ou hyperelliptiques, dont la théorie des fonctions complexes montre le vrai sens. Soit
1 » |. m-hi ,w-4-i^ on peut rendre rationnel si p ou ou d H est
entier.
Soit une série \]w«(^), si elle converge w/i(/br/neme/i^,
elle représente une fonction continue, et l'on obtient l'intégrale en intégrant chaque terme.
Si 2a — ~T — converge aussi uniformément, elle représente la dérivée de la somme ^w«(x).
Même théorème pour une intégrale, o\i/(x) contient un paramètre a, lorsque le champ est infini ou bien lorsque la fonction devient infinie, de façon que les intégrales convergent uniformément.
Changement de variable dans une intégrale. — Posons X = ?(^)î ? est continu, ainsi que cp', à un point x correspond un point t, et réciproquement.
Siy(a?) est continu, y[o(f)] = F (^) est continu, on a alors
f *f{x)dx=z f\{t)dt I ^*
Ceci suppose ^'{t) non nul.
Si (f et (p' sont discontinus en t^^ les deux membres sont égaux, tous deux déterminés ou tous deux indéterm,inés .
On passe ainsi au cas oii l'on a un nombre fini de discontinuités.
Même résultat pour un champ infini (^).
( * ) Pour ces questions fondamentales, voir, par exemple, les Mémoires de M. G. Jordan et M. de la Vallée-Poussin, dans le Journal de Mathématiques de M. Jordan, 1892.
Bien entendu, on passe au cas où cp' s*annule un nombre fini de fois.
Intégration par parties. — Quand il n'y a pas d'ambiguïté à craindre, U^"^ ou U" représente -t— 7*
Soit le cas élémentaire
i" Si y et ç sont continus dans le domaine a6, /' et ^' ayant des discontinuités isolées.
Si / fo' dx a un sens, j f'^dx aura un sens.
'/* Si 6 = Qo, si deux des trois termes ont un sens
//?'; //'?; l/?lâ,
le troisième est bien déterminé.
L^ intégrale multiple est encore une limite de somme. Une intégrale multiple se réduit à des quadratures successives, dans un ordre arbitraire, si la fonction n'a qu'un nombre fini de discontinuités finies sur une parallèle quelconque aux axes.
S'il y a des discontinuités infinies ou si le champ d'intégration est infini, l'intégrale n'est déterminée que si cela a lieu, la fonction étant remplacée par son module.
Sinon on aurait l'analogue d'une série semi- convergente, dont la somme dépend de l'ordre des termes. C'est une différence profonde entre l'intégrale multiple et l'intégrale simple, qui tient à des considérations d^ Analysés situs.
lO INTRODUCTION.
La dérivation, par rapport à un paramètre, donne lieu au même théorème que pour une quadrature simple.
On peut changer de variables, soit j:/= o/ (wa), J est le jacobien
"" \\àuk V F(xi) dxx dxx . . . dxn = V F [«p/( «a )] | J | dux dux . . . dun-
Çkx et Çku sont les champs correspondants.
On suppose J continu et ne s'annulant qu*en un nombre fini de points sur toute parallèle aux axes.
Etudions maintenant les intégrales généralisées : fonction ou champ infini.
Si la /onction ne change pas de signe, l'intégrale multiple se réduit à des quadratures successives, dans un ordre quelconque, si cette opération conduit à un résultat déterminé (l'infini compris); le théorème subsiste si, la fonction changeant de signe, la réduction est possible en prenant son module.
Quant au changement de variables, la formule subsiste, les deux intégrales sont égales^ déterminées ou indéterminées, si, à la frontière, les dérivées des <p sont discontinues, si J est nul, si la fonction est discontinue.
Formule de Riemann, dans le plan. — Soit C un contour simple, coupé en deux points par une parallèle aux axes, (C) l'aire renfermée :
Formule de S tokes- Ampère, dans V espace. — Soit une portion de surface, ajant deux côtés, limitée à une courbe gauche. Ayant fixé un côté de la surface et un sens
sur la courbe
/ PiXjjTyZ) dx -\- Q dy -^ R dz
Formules de Green :
I (-r h — -h — ) dxdydz = / P dy dz^Çldzdx->r Rdxdy.
(intégrale de volume) (intégrale suivant le bord exté-
rieur de la frontière)
Dans l'espace (et aussi dans le plan),
A indique Xt— j symbole de Laplace,
J = / U ^ — cos(n, a?)e^<j — / U \\ dx dy dZy
rfo" est Télément de surface de la frontière du volume, n la normale extérieure
-y- =. dérivée normale extérieure.
dn
Séries trigonométriques (variable réelle). — Cette étude s^mpose : i° dans la théorie des fonctions analytiques, pour étudier f{z) sur le cercle de convergence; 2° pour avoir des expressions analytiques de fonctions discontinues.
L'étude élémentaire comporte les conditions de Diri- CHLKT : f{x) borné dans un intervalle a — 6; n'ayant qu'un
Il INTRODUCTION.
nombre Jini de discontinuités ; sa variation ne changeant de sens qu^un nombre fini de fois.
Dans ces conditions
lira f F(a)ï^^!-î^é/a= -[F(-^o)-l-F(— 0)1 (a<o<6),
