TC

J'ai suivi le mode d'exposition de M. Darboux (Cours de la Sorbonne, 1907); M. Plemelj a établi la deuxième formule (8) en 1904 {Monatshefte fur Mathem. und Physik) et M. Picard en a donné une élégante démonstration (Ann. de U Ecole Norm, sup,, 1906).

5. Dérivée normale du potentiel de double couche. — Soient la normale en Sq^ sur cette normale deux points i et e. Quand ces deux points deviennent infiniment voisins, la différence des dérivées du potentiel double suivant la normale n^^ devient infiniment petite. Les potentiels simple et double ont leurs propriétés inverses l'une de l'autre. Montrons-le.

Prenons pour origine le point s^^ et la tangente pour axe des X {fig- i5).

Décomposons toujours la courbe fermée en deux parties ^ OA et OB étant de l'ordre de y^, qui tendra vers zéro, et soient deux points sur la normale, de cotes d= A, A étant de Tordre de tj*"*"* (Xt >> o)

Soit W le potentiel double

w étant relatif à Tare AOB et W" à l'arc BMA.

Bien entendu, comme précédemment, jr(W^yj — Wl^)

tend vers zéro avec Tj.

Il reste à étudier la différence relative à l'arc AB, qui deviendra infiniment petit :

W+/i= I v(iF)û?arc tang

(nous pouvons toujours supposer l'arc confondu avec la tangente, AB devant tendre vers zéro). Écrivons, avec M. Darboux i^Cours de 1907),

dh J. ar«-f-(^ — A)*

dh d

^(WU-WU)=/vrf/,

en posant

V étant continu, si le module de f reste fini, le théorème est établi.

Pour

ar = O, ^ = O, /o = ^ = o.

Nous pouvons remplacer y par K — j y' par Kx,

puisque AB va tendre vers zéro. Annulons la dérivée de / par rapport à ûc, ce <|ui donne

Aux environs de Torigine, la dérivée s^annule pour X =± y3, l'ensemble des termes d'ordre moindre étant

Ecrivons / sous la forme 7—; ;• ^^ ttt—zI on. voit

que ces points ± Ay5 sont des maxima et miiiima, Jinis, car y contient A* au numérateur et au dénominateur.

Donc, h tendant vers zéro, les deux dérivées normales ont même limite.

[Nous avons supposé la densité dérivable etj^(^) trois fois dérivable.]