iVow.ç pouvons maintenant intégrer

dans le premier quadrant, f étant continu au voisinage dex'=y = z=^p=^q=^o^si l^on a

z étant nul pour y =z x e\ y = olx.

Soit ^0=0,

M étant une limite supérieure de /lorsqu'on a

d'après ce qui précède,

\Zn\<Mkr^, |;,„|<MBr, |^„|<MCr,

ceci en tout point du domaine défini par /•; A, B, G dépendent de a seul.

Si la série

converge, elle représentera lim^;,,

{^n— Zn-\ ) = f{x, 7, Zn-i . . .)

d.v dy

— /( ^» 7» '5/t-î • • . ) = fn-\ — //i-î.

Si, dans le domaine, on a

I Zn-K - Zn-t I < T, I pn-x ~ Pn-1 |< T, | qn-, - ^«-î l< T,

il vient

/«-i-/n-2|<(H-t-K^-L)T, z,, - «„«, |< A(H H- K -4- L)Tr', \Pn-pn-i |< B(H -t- K + L)Tr, 5'«-^«-il<C(H-HK-hL)Tr.

Ceci fixera r. Nous le prendrons tel que ces trois seconds membres soient moindres que XT,

Soit alors N le plus grand des trois nombres

MAr», MBr, MGr.

Nous avons, en somme,

et les mêmes relations pour | /?„ — p„^ [, \qn — qn~\ |« Donc Zfi-i Pu-) 7/1 ont des limites pour n = ce.

Puis

<(H4-K-+-L)NX«-î.

Donc s,i a aussi une limite

Limzn{x^ y) = (i)(a7, y) solution cherchée.

La solution est unique (voir le Mémoire de M. Goursat).