OL — I

Mx«

De même

ç(a:r) — o(x) = F(a?, aa?) — F(aa?, aar) = ni(x)y

|iri(ar)|<M(a — i)ar(aa7), Fig. aa.

d'où

Finalement on a, pour la solution z,

Max^ Mx*

Etudions les dérivées, en posant

it'(a7) = X(xjX)-hY(x^ x) — X(a?,aar)— aY(a7, olx)

= X(a?,a7) — X(a7, ao?)-!- Y(a7,37) — Y(ar,aa7)-f-(i — a) Y(a?,aa?).

i« I X(ar, ar) — X(a?, aa?) | < M(a — i)Xy

X contenant le signe / c'est immédiat.

1(1 — a) Y(a7, ax) |< M (a — i)x.

l66 CHAPITRE V.

3® Supposons la fonction / lipschilzienne, c'est-à-dire

l/(^',y)-/(^,7)l<H|:r'-rr| + K|y-^'|,

on a

Y(x,ax) — Y{x,x)= I [f(UyOLx)—f{u,x)]du,

le module est donc moindre que K(a — i)^;*.

D'où

I 7r'(ar) I < 2M(a — i)jr -H K(a — i)a7î.

Or

d'oij

a-Hi a*-t-3i-i-i

<Ma7H-H;'(^)|.

De même

I ''^i(^) I < 2Ma(a — 1)07-1- H a (a — i)j:*,

àx

<Mjr-+-l?'(ar)|.