Passons à un cas plus général

Une intégration, suivie de dérivation, ramène encore à (E2), comme l'a montré M. Volterra.

C'est très simple pour le cas, très général, où Ton a

(») Si cette fonction s'annule, il faut, pour l'étude de ce problème, se reporter aux travaux suivants : V. Volterra, Annali di Matematica,

\%Qn. E. HoLMQREN, Soc. royale des Sciences d'Upsal, 1900. —

T. Lalesco, Thèse {Journ. de M. Jordan, 1908). Ce Mémoire est extrêmement intéressant. — Fot> aussi une courte Note de Tauteur, Congrès de Itome, 1908. Notons que, dans sa Thèse, en 1894, M. Le Roux avait abordé ce genre de problèmes.

l84 CHAPITRE V.

On emploie l'artifice d'Abel (*) : înlégialion avec la remarque de Dlrichlet,

7 I ^p{^)/(^)dx I -. ^^. -^ ^ — = fonct. connue.

Posant^ — x=i t(a — j?), nous remplaçons la variable^ par t et nous intégrons, d'où

C'esl une équation (V,).

Elle se ramène à (E2) si la fonction

2^Gp(a,a)hp{a)

ne s'annule pas.

Or, cette fonction est, à un facteur constant près,

2^p(a)Ap(a) = H(a, a).

Donc, discussion encore si H(x^x) s^ annule.

(^) M. Picard donne une autre solution, pour le cas où H (a, a) ne «^annule pas, dans les Comptes rendus en 1904. M. Burgatti a résolu un problème plus général {Ace. dei Lincci, igoS).

On passe assez facilement au cas non linéaire (Lalesco), tandis qu'il n'en va pas de même pour l'équation de Fredholm.

i. On donne l'équation

x^jr' — ixy' — 4^ = xsinx -^ (a-^ bx^) co^x,

Ëlablir, entre les constantes a, 6, une relation telle que rintégrale soit une fonction uniforme.

2. F (a?) étant holomorphe au voisinage de l'origine, trouver une solution, holomorphe autour de Torigine, pour Téquation

x^y-\- ^xy-\-y = F (a?).