Le problème est résolu. On doit remarquer qu'on a à
dériver une intégrale à élément infini et que, par suile, le
résultat est immédiat par l'emploi de la notion de partie
finie. Nous représenterons la partie finie d'une intégrale
infinie par [ .
dG da
d da {a-
-yy-
-.dy
d dy {a-
-yy-
-.dy
r g(y) 1" r" ff'(y)dy
L(«-^)'-"J» J„ {a-yy-"
^(o) r" g'iy)dy
«'-" Jo (a-yy-"'
La solution n'est régulière, à l'origine, que si g est nul en ce point.
l'équation intégrale de m. volterra.
1. Il y a deux équations intégrales fondamentales : /est l'inconnue, F et ^ sont donnés :
(El) f{x)^\f ¥{x,y)f{y)dy = g{x) (M. Fredholm), (EO f{x)^\f ¥{x,y)f{y)dy = g{x) (M. Volterra).
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l8l
La seconde se résout |)ardes approximations successives :
r F(x,y) My)dy = g{x),
Si les fonctions Y el g sont bornées, les approximations convergent, quel que soit X, et la solution est unique.
La même méthode ne réussirait, pour la première équation, que pour des valeurs assez petites de \. Comme d'ailleurs M. Fredholm a montré que la solution est méromorphe par rapport à X, on obtient, par les approximations, une sorte de limite inférieure du module du pôle X^ le plus voisin de l'origine.
2, M. Picard a mis en évidence que les approximations successives simplifient les beaux travaux de M. Volterra. Suivons ce mode d'exposition.
Dans (Ea) on posera
f{x) =fo(x) H- X/,(a?) -h X2/î(^) -H. . ., d'où
/o=^, /p(x)=-'f l^{x,y)fp-,(y)dy.
Si l'on a
|^(;r)|<M, |F(ar,^)|<N,
on a de suite
d'où la convergence, quels que soient M, N, X.
Il y a aussi unicité de solution, car, soit h{x) une solutions/lie de
h{x)-^\f F(x,y)h(y)dy = o;
ï82 CHAPITRE V.
nous avons donc
\hiy)\<v,
d'où
\h{x)\<\'k\ f NPdrx = |X|NP;r, on bien
Revenons à Féqualion par itération, d'où
\h{x)\<\l\^ f PN2^rf^ = |X|PiN»--.
En général,
, . , , rJ XN.r l/»
quelque grand que soit /?, d'où
3. On peul étendre ce résultat. Supposons que la fonction F devient infinie, mais est intégrable. On a Téquation
J(y)^\f ■(yzr^.=^(r) (o<n<i).
Les approximations reviennent à poser
/(y) =/oiy) + y^Aiy) -+- x^/^Cr) -^. ...
-''/^ix)dx
On posera
x=yt, h
et Ton trouvera, M étant une limite supérieure du module
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l8!5
de £^ :
La convergence est assurée si Ton a
Donc, si y est assez petit, il y « "ï^® solution et elle est unique. (Même raisonnement par itération.)
4. Il faut mentionner que le point de départ de M. Volterra a été, non point Téquation (E2), mais bien celle-ci :
(V,) / G(x,y)f(x)dx = ^(y).
Par dérivation en y, on retombe sur (Ej) si G(y^ y) ne s'annule pas (*).
