La ligne B est la droite
On voit immédiatement que la Ugne D est du troisième ordre, et en laissant de côté le cas évident où la droite est parallèle à l'un des axes, on trouve que la décomposition en facteurs de réquation en a, p n'est possible que dans deux cas.
Le premier cas a lieu lorsqu'on a
c'est-à-dire lorsque la droite donnée est une normale à la conique ; alors les deux facteurs de Téquatibn de la ligne D étant rendus égaux à zéro, donnent la tangente au pied de la normale, et une hyperbole dont les axes sont parallèles à ceux de la conique donnée ; quant à la polaire réciproque de l'hyperbole, elle est une parabole, Comme on le trouve parla méthode ordinaire.
Le théorème est compris dans le théorème général démontré page 22.
Le second cas a lieu lorsque, la conique étant une ellipse, on a
alors on trouve que le lieu de D se compose des deux lignes La polaire réciproque de la dernière a d'ailleurs pour équation
xr=±j- ■.
On peut donc énoncer le théorème suivant :
Si d'un point pris êur le diamètre perpendiculaire à Vun des diamètres conjugués égaux on mène les quatre normales à rellipse, deux des sommets du quadrilatère normal circonscrit se mouçroni sur te second des diamètres conjugués égaux, et les quatre autres sommets seront toujours sur t hyperbole
xy=dtab.
On peut dire aussi que deux des côtés du quadrilatère normal inscrit sont parallèles à celui des diamètres conjugués égaux auquel on a mené un diamètre perpendiculaire, tandis que les deux autres càtés enveloppent l'hyperbole
^^ab xy=:dt:y"
2. La ligne B est la développée de la conique. On trouve pour la ligne D une équation du *dix-huitièn)e degré. Nous allons donner, pour opérer la décomposition en fac^* teurs, une méthode qu'on pourra chercher à appliquer à d'autres exemples.
L'équation qu'il faut décomposeir en facteurs est celle-ci :
Posons
«« sî ap cos«», p5=:6p8inu;
en faisant disparaître les radicaux, on aura
27 p' siû'w cos'*> { p* — I — p* sin'w cos* © Y 2= (p* — « — p* sin*« eos'ti + 4p' sin'w cos'*>)*,
et si l'on pose
p' sin*w cos'w = M, p* — I = z,
-SS- II, vient
le lieu cherché se compose donc des trois courbes
ou
Si l'on remet pour z et a leurs valeurs en p, sint» et cos»,' puis pour ces dernières quantités leurs valeurs en a ei p, on obtient pour équations en coordonnées rectangulaires
On retrouve ainsi un résultat déjà démontré d6 plusieurs miH nières.
Théorèmes généraux.
ie vais donner maintQnanl quelques théorème généraux qui établissent une liaison entr« les propriétés des lignes A, B et D.
La conique C est, comme précédemment^ une conique à centre.
Théorème I. ^- Le degré de ia ligne B est en général triple de celui de /a liffte Â.
£n effet > on peut trouver les points d'intersection de la ligne B et d'une droite quelconque
ra: -^sy= t
de la manière suivante.
On remplace dans Téquation précédente x et y par les valeurs que donnent les équations (38) et Ton obtient
(39) — rc'ap»-t-sc'a'P — a'/p' — 6' /a' -4- rft*c»a — 5a*c*p=:o. Béterminant ensuite les valeurs de a et p qui satisfont àl'équa-
lion (39)elà celle de la ligne A, puis, d'après les formules (38), les valeurs de x et y correspondantes, on aura les coordonnées demandées des points d'intersection.
Mais l'équation de la ligne A étant du degré m et celle de la ligne B du troisième degré, d'après le théorème de Bezout, on troqvera 3/ii systèmes de valeurs pour a et pet par suite pour X et j. Le théorème est donc démontré.
Théorème II. m étant le degré de la ligne A, on peut mener à la ligne B au plus m (m 4- 3) tangentes parallèles à une direction donnée.
En effet, si on désigne par y^ et p' les dérivées de y par rapport à :r et de p par rapport à a, on déduit facilement des formules (38)
^^^' ^ («»p»::pfc»a*)(&' — p^)P'qp26»4(«' -!-«')'
En égalant la valeur de y* à une quantité constante K et remplaçant p' par ssi valeur déduite de l'équation de A, on aura une équation du degré ( /w -h 3) en (a, p), et le nombre des solutions communes à cette équation et à celle de la ligne A sera en général m(m-h 3). On peut donc mener à la ligne B au plus m (m -4- 3) tangentes parallèles à une direction donnée.
Théorème III. < — Le degré de lu ligne D est en général triple de celui, de la ligne ^,
En effet, pour déduire l'équaition de la ligne Dde celle de la ligne B, il suffit de remplacer dans cette dernière x et r par des fonctions rationnelles du troisième degré en a et p.
Théorème IV. — Si Vun des sommets d'un quadrilatère riot^ mal circonscrit décrit une ligne de degré m, en général le sommet opposé, décrit une ligne \de degré .7^ m, et le lieu des autres sommets qui peut être ou n*étre pas décomposable en courbes distinctes est du degré 6 m.
^n effet, en remplaçant, dans Téquation de la ligne A, « et p
par * et "^^^^ on aura Téquation du lieu A,' que décrit le
sommet opposé au premier. Le degré de A' est doncam. D'un autre côté, à cause des théorèmes I et III, le degré de B est 3 m, celui de D, 9m. D est d'ailleurs le lieu des six sommets du quadrilatère; il faut donc bien, puisque A est du de-
gré m, A' du degré 2/11, que le lieu des quatre derniers sommets soit du degré 6m.
Théorème V. — Si la ligne A a une branche infinie dont Vasymptote a pour équation
p== KaH-/l,
la ligne B aura une branche infinie dont V asymptote sera don-
ce c^ h
née par l'équation r = — ^ — ±6M^ K'"
On voit d'abord que les valeurs de j et ^ données par les formules (38) deviennent infînies en même temps que a et p» et en divisant ces formules membre à membre et tenant compte
de lim ( i- ) == Kj on trouve
Il m
Formant ensuite l'expression de ;r-f- ^ en a et p et y rem-
plaçant p par Ka-i-v, v désignai^t une variable qui devient égale à h pour a infini, on a
lim L
xX c^h
r-H- ET =— -
Théorème VI. — Si une branche de la ligne A passe par le centre de la conique et qu'en ce point elle ne soit pas tangente aux axes, la ligne B aura une branche infinie dont
l'asymptqte sera
m désignant le coefficient angulaire de la tangente au centre pour la branche considérée de la ligne k.
Lorsque au contraire la branche de la ligne A sera tangente à tun des axes^ la ligne B aura une branche infin\e dont Vasymptote sera en général parallèle à cet axe.
Si dans les formules ( 38) on fait a = o, p = o, ^ et 7* se pré-
o sentent sous la forme — Mais prenant les dérivées des deux
termes de chaque fraction et représentant par p' la dérivée de p
par rapport a a, on a
Faisant maintenant a = o, p = o, comme par hypothèse p' n'est ni nulle, ni infinie, x et /seront infinis et la ligne B aura une branche infinie. On prouve ensuite facilement par le même genre de démonstration que toi^t à l'heure que la ligne B a pour asymptote
Pour la seconde partie du théorème supposons par exemple p' = o. On voit immédiatement que x est infinie, et que la valeur de j^se présente encore sousla forme — Mais prenant encore les dérivées des deux termes, on trouve que y a une valeur finie tant que la seconde dérivée de p par rapport à a n'est pas infinie.
Le cas où p' est infinie se traite de même.
TirfioRÈME VIL — Lorsque la cçuiqué est une hyperbole, outre les asymptotes données par les théorèmes précédents, la ligne B a encore dès asymptotes en nombre généralement égal au nombre des points d'intersection de la ligne A et de$ asymptotes de l'hyperbole. On obtient d'ailleurs l'asymptote correspondant à l'un des points d'intersection par la construction sui(/ante.
Par le point d'intersection qu'on a choisi, oh mène une tangente à V hyperbole, puis par le point de contact une normale à la même courbe. L'asymptote de la ligne B sera parallèle à cette normale. On aura ensuite l'abscisse à Vorigtne de la même asymptote en prenant une quatrième proportionnelle aux demi-axes a et b et à l'ordonnée à l'origine de la normale précédente. L'ordonnée et l'abscisse seront d'ailleurs de même signe ou de signe contraire suivant que le point cherc/ié sera sur l'une ou l'autre des asymptotes [ ^
Quaad'la conique esl une hyperbole, les valeurs de x et de y deviennent infinies lorsqu'on a
11 en résulte qu'à un point d'intersection de la ligne A, et de Tune des asymptotes de l'hyperbole, correspond une branche infinie de la ligne B. Cette branche a une asymptote dont on trouve réquation par la même méthode que précédemment :
^ î a»-ha' ^ "^ T^aboL (a' -i- a^)'
Le signe supérieur correspond au point a, - a, et le signe Inlé-
rieur au pointa, a.
Mais sxy d'un autre côté, on cherche l'équation de la normale au point île contact de l'hyperbole et de la tangente menée
à cette ligne de l'un des points idydti-a.y on trouve
.a («»— aM c'ià'—at}]
On voit que les coefficients angulaires sont les mêmes dans l'équation de la normale et celle de l'asymptote, et si l'on désigne par Xi l'abscisse à l'origine de l'asymptote, par j, l'ordonnée à l'origine de la normale, on a
^1 = 1+:- Va.
Le théorème est donc démontré <
Usage des théorèmes précédents,
Sauf pour des cas choisis, la recherche de l'équation de la ligne B conduit à de longs calculs. Mais, d'après ce qui précède, on peut se dispenser de trouver l'équation de cette ligne. En effet, d'après les formules (38], on peut construire la ligne B par points, et par la formule (4o) obtenir la tangente en chaque point de la courbe. Les théorèmes I, III, IV, V, VI et VII feront d'ailleurs connaître les asymptotes.
Nous recommandons ce genre de discussion, par 'exemple, pour la li^e B du troisième ordre correspondant à une ligne droite A. On pourra déterminer directement les asymptotes en cherchant Tintersection d'une droite avec B et vérifier ainsi quelques-uns des théorèmes précédents.
Exercices proposés.
Xty ji étant les coordonnées du milieu d'une corde de pôle
(a, p), x^y j, celles du pôle de la ligne (a, p), ( y — r— u
^3, Xi celles du centre des moyennes distances des six sommets d'un, quadrilatère normal circoQScrit, j;*, j* celles du centre des moyennes distances des quatre sommets sur la conique d'un quadrilatère normal inscrit (*).
