Démontrer les formules suivantes

— H-6'«'-Ha'p''

c^ — cCx^ — b^y" '^' bbcy

bacx

or,, — — -^

2. Démontrer, à Taide de ces formules, des théorèmes généraux analogues aux précédents.

3. Etant données les coordonnées a, p d'un des sommets d'un quadrilatère normal circonscrit, trouver les équations des trois diagonales.

Soient L = o l'équation de la diagonale qui joint hB sommet (a, p) au

) — ^ h M = o, N = o, les équations des deux autres.

On a immédiatement l'équation de la première diagonale. Pour avoir les. équatioiis des deux autres, on écrira les équations des deux paires dç

C) X, j désrgncnt toujours les coordonnées du point d'intersection des normales passant par les extrcmités de la. corde qui a pour pôle le point {a, /3).

[ — a' - - //'\ tangentes menées des points (a, ^\ ( , -r-^ y cosl-à-rMic

d^où Ton déduit

Le premier membre de Féquation précédente étant la différence de deux carrés, est le produit de deux facteurs qui sont M et N.

4. Former Féquaiion générale des coniques inscrites dans un quadrilatère normal circonscrit à une. première conique à centre, en prenant pour constantes les denii-axes a et 6 de la conique donnée, et les coordonnéeë a et p d'un des somoiets du quadrilatère.

On emploiera l'équation générale des ioniques inscrites dans un quadri- ■ latère

dans laquelle ^ est une constante, et où L, M, N, ont la signification précédemment indiquée,

5. Démontrera Taide de Téquation que nous venons de demander, le théorème suivant énoncé par M. Stetner{**),

On peut toujours déterminer une parabole qui louche à la fois les deux axes d'une conique à centre et les quatre côtés d'un quadrilatère normal circonscrit à cette conique.

On démontre îe théorème plus simpleitient par remploi du théorème II (i*^ partie) et de l'équation de la parabole

4/>yx/ -h (/7J7 -h ^j 4- 1 )^ = 0.

Mais l'équation qu'on propose de trouver pourra servir à résoudre des questions comme celles-ci : Gonjnaissant le lieu décrit par l'un des sommets d'un quadrilatère normaf circonscrit, trouver l'enveloppe de la parabole précédente, le lieu des son^mets, des foyers, etc.

6. Démontrer les formules (3i) et (S^), en cherchant l'intersection de l'une des diagonales M = o, N = o, avec la paire de tangentes partant du point («, p).

(*) Salmon, Trcati^e on corne sections, page 198»

(**) LioryiLLr,j Journal dr Mftlhrmatiqucs, tome \X, page f\?^.

Généralisation dies formules (38).

Comme dans la première partie, remplaçant les normales

par des droites conjuguées, prenant les mêmes axes coordon—

a'* nésy adoptant les mêmes notations et posant n==±n9 on

trouve

a et ^ désignent maintenant les coordonnées du pôle d'une corde qui joint les pieds de deux droites conjugués, et on voit bien comment on peut donner plus d'extension encore aux théorèmes généraux démontrés précédemment.

On généralisera de la même manière les formules (4i)-

Parabole. — L'équation de la parabole étant

et conservant toujours les mêmes notations, on démontre par la même méthode que par les coniques à centre, les formules

(4.) ^=.=L^, ,=i£zif£±£:(.).

qui permettront de résoudre les mêmes problèmes.

La LIGNt A B8T DONNÉE.

Nous donnerons seulement deux exemples.