La ligne A est une droite
mx -H /r^-f- ç =;= o.
On trouve pour équation de la Hgne B,
inpq ^ iq^).
fW \ ^P(^^y — mnx -h mnp ^ niqY ^^ ' ( ±= (pnt^ — 2»^) [pmny — 7.qnx ^
On voit que la ligne B est une parabole dont Taxe est perpendiculaire à la droite donnée.
C*) Des formules semblableB ont aussi été données par M. Sa1nion> page i()4-
Cas particuliers, m = o. C'est la question de concours (1859).
En posant — - = fr, on a
Par rhypothèse A* = p, on a la parabole donnée elle-même, et
en faisant /r = — ^» on a l'équatiOn de la parabole, lieu du
sommet d'un angle droit dont les côtés sont normaux à la pa* rabole donnée,
n=^o, La méthode d'élimination qui a donné l'équation (43 ) n'est plus applicable, mais on trouve directement pour équation de la ligne B . -
OÙ P représente la distance du diamètre donné à l'axe. On reconnaît une normale à la parabole qui passe par le centre de courbure correspondant au point d'intersection de la parabole et du diamètre donné, mais qui n'est pas la normale même du point d'intersection.
pm^ — 2/iç = o. Alors la ligne A est une tangente à la parabole, et la ligne B la normale correspondante.
% La ligne A est la parabole
On trouve pour équation de la ligne B
c'est l'équation de la développée d'une parabole.
Si l'on veut q.ue la développée soit celle de la parabole donnée elle-même, on devra résoudre l'équation di| troisième degré en ç,
qui a deux racines égales à —s^j et une autre égale à p.
On devait évidemment trouver la racine /?, mais la racino --J- donne ce théorème :
Si d'un point de la parabole p'= — 4-— on mène deux tangentes à la parabole donnée, les normales aux points de contact se couperont sur sa développée.
Problème inyerse.
La ligne B est donnée.
1 , Cette ligne est la droite
iy'^sx = t.
On trouve pour équation de A
— 2rap -4- 2S^^ — spoL 4-5/)'— tp = o.
Si Ton fait successivement 5 = o, r=:o, on obtient
aS4--^=0, fi2=£aH-p' — ^• ^ r ^2. '^ s
La dernière équation montre que là réciproque du théorème qui donne la réponse à la question de concours (i8'>9) est vraie, c'est-à-dire que lorsque la ligne B est une droite perpendiculaire à Taxe de la parabole, la ligne A est une parabole.
