La ligne B est la parabole

On trouve pour A une courbe du quatrième ordre, mais qui se décompose en deux facteurs, Tun du premier degré, Tautre du troisième, lorsqu'on a •

ia[êp'hfY=^ — e^p.

Posant r^ — ^ = Ar, ^n obtient e

et réquation de la parabole donnée peut s'écrire

La solution a = fr était prévue (problème du concours), mais

on voil que la parabole donnée peut encore être décrite, lorsque la ligne A est une hyperbole équilatère du troisième ordre.

Dans la question proposée au dernier concours pour FEcole Polytechnique (1860), on supposait que la ligne B était la parabole donnée elle-mëiné, et on demandait de trouver non pas le lieu J), mais celui des points de rencontre de la sécante qui est la polaire de (a, p), et de la tangente au point x,y, placé alors sur la parabole.

Mais on peut trouver très-simplement les deux lieux à la fois. En effet, remplaçant dans l'équation de la parabole r*= ^pxf j et j; par les valeups que donnent les formules (4^), on a

Le premier facteur était attendu, mais le second montre que tandis que le pôle de la sécante parcourt la droite a =/», les pôles des deux autres côtés du triangle inscrit décrivent une courbe du troisième ordre.

a étant égal à p, à cause de l'équation j= — — -9 on a

P = — —y par conséquent, les coordonnées du point X, Y, dont on demande le lieu, doivent satisfaire aux équations

Yj = --2/.{X-hp), • Yy=p{\-hx);

on ^ 9ussi

^ = :ipx.

En éliminant j et j; entre les trois équations, on trouve une courbe du troisième ordre dont Téquation est

On peut généMliser la question de la manière suivante : Par un point pris sur Taxe d'une parabole on mène une sécante, par les points d'intersection avec la courbe les deux normales, puis la polaire du point où les deux normales se coupent : quel est le lieu des points où la polaire rencontre la sécante? On trouve encore une courbe du troisième ordre.