La ligne B est la développée 4^ la parabole. On obtient

et 01) vérifie ainsi des résultats connus.

Par analogie avec ce qui a été fait pour les coniques à centf e, on peut se proposer la question suivante :

Connaissant le lieu décrit par Tun des sommets du triangle qui touche la parabole aux pieds des normales issues d'un même poiat, trouver le lieu décrit par les trois sommets.

Mais cette question est implicitement résolue par ce qui précède, puisque du lieu A on pourra déduire le lieu B, puis le lieu D. Ainsi, par exemple, si l'un des sommets du triangle se meut sur la droite a == Ar, on trouv# pour lignç B une parabole, puis pour ligne D la droite a = /r, et une hjperbole du troisième ordre. Les deux derniers sommets du triangle se meuvent donc sur cette hyperbole.

Théorèmes généraux.

Lorsque la conique est une parabole, on démontre de la même manière que pour les coniques à centre les théorèmes suivants :

L Lorsque la ligne A est une courbe de degré m, la ligne B est généralement du degré 2 m, et on peut lui mener au plus m^ tangentes parallèles à une direction donnée.

II. Le degré de la ligne D est, en général, double de celui de la ligne B, et par conséquent quadruple de celui de la ligne A.

III. Lorsque ia ligne A a une asymptote parallèle à l'axe de la parabole, la ligne B a toujours une asymptote normale à la même courbe.

IV. Lorsque la li^ne A a une asymptote tangente à la parabole, la ligne B pourra elle-même avoir une asymptote.

Dans ce dernier cas, pour décider s'il y a ou non une asymptote, après avoir mis l'équation de la ligne A sous la forme

p = /ra 4- i', ot posé

on calculera la quantité zas, et suivant que cette 'quantité aut*a une limite finie ou infinie pour a infinie, on conclura que r a ou non une asymptote.

Par ce moyen, par exemple, on trouvera que si la ligne A est une hyperbole dont l'une des asymptotes est parallèle à Fate de la parabole, et Tautre une tangente à la nîéme courbe, la ligne B a une asymptote perpendiculaire à l'asymptote de A.

On pourra démontrer le théorème directement par la même

méthode que pour tes coniques à centre.