MÉTHODE DE L'ANGLE D'ANOMALIE
D^un point donnéy mener une normale ù V ellipse rapportée à son centre et à ses axes. , •
Soient x, y les coordonnées du point donné, X, Y celles du pied de la normale, 7 l'angle d'anomalie correspondant, on a
c'XY -*- ftyX — a^xY = o, i a(\ — tang'-j 26tang-
f i-4-iang»5f. ,-i-tang»-
et en éliminant X et Y entre les trois équations, il vient
(2) ^jtang*24-2(c^4-ar) tang^?— 2(c^--o.r) tang-^ -./.r^=o.
L* équation (2) où Tinconnue est Pahgle^'lâiipmalie 9, montre immédiatement que, d'un point. ji,i)is dans te/plkn de l'ellipse, on peut toujours mener à cette cQurbe quatre normales, dont deux au moins sont réelles.
Pour achever la discussion du problème, prenons pour inconnue auxiliaire l'abscisse Xx du milieu d'une des trois diagonales du quadrilatère qui touche l'ellipse aux pieds des nor-
maies (*). Il est évident que la valeur de x^, ou, ce qui revient
au même, de la quantité z = — dépendra d'une équation du
troisième degré, et que, suivant que cette équation aura trois racines réelles inégales, deux racines imaginaires, ou deux racines réelles dont Tune double, on pourra mener du point donné quatre normales réelles, deux normales réelles et deux normales imaginaires, ou deux normales réelles, l'une double et l'autre simple.
Il est facile de former l'équation en z.
Soient a, p les coordonnées d'un point d'où l'on mène une tangente à l'ellipse, ^ l'angle d'anomalie correspondant, on a facilement
(3) 6(«-f-a)tang»5^ — 2aptangi-f-é(«-- a) =r o.
Si maintenant on désigne par (pi, fs, ?8, ?4 les angles d'anomalie qui déterminent les pieds des normales, para, p les coordonnées du pôle de la corde (yi, q>,), par «', p' celles de la corde opposée (^3, <p4), en vertu de l'équation (3) et d'une équation analogue en a', p' et <p, on a
(4) ^^:=:^ = tang^lang2î, 5L=:fL =tangïî tangîi; ^
mais l'équation [i) donne
»i fa f» ^4
(5) tang^tangi-tangi-tangi^=— I,
^ JS 2 2
et, par suite, on a
op, O] I La
tang -ï^ tang-î: = -^—7 = z.
tang'î^iang —
2 jt
L'inconnue auxiliaire z est donc égale au produit de deux ra« cînes de l'équation (2) diminué de l'inverse de ce produit. En formant l'équation aux produits des racines de l'équation (2),
(**) Dorénavant, pour abréger, nous appellerons un pareil quadrilatère ^imdrilûtètt notrfial etrtonscrit, et de même quadrilatère normal inscrit celui qui a pouf ftomMeta iei pieds des quatre normales.
et abaissant à la manière ordinaire au troisième degré l'équalion obtenue qui est réciproque du sixième degré, on a
(6) b\r^ z"" -{- ^ {b\r^ -\- a^ x^ — c*)z h- \6a^cx = o.
Cest Inéquation que Legendre, et après lui M. Gerono, ont discutée, mais sans en indiquer la signiGcation géométrique.
^n exprimant que l 'équation (6 ),satisfait aux conditions précédemment indiquées, on trouve que le nombre des normales réelles est quatre, deux ou trois, suivant que le point donné est situé à Tintérieur, à l'extérieur, ou sur la circonférence de la courbe, dont l'équation est
Cl (f)"-(^)=- ..
THÉOAttB I. — La somme des angles d* anomalie correspondant aux pieds des normales menées d'un point à l'ellipse est toujours égale à un multiple impair de la demi-circonférence.
En effet, étant donnée une équation du degré m en tang-9
dont les coefficients sont Ao, A,, A,,..., km, et les racines tang~» tang— » • • • 5 tang— » on sait que Ton a
tang
h±^Ji^ 2ï\ = -211
mais dans l'équation (2) on a A, — A, différent de zéro, tandis que A» — Aj-f- A4 est nul : donc, en désignant par K un nombre entier quelconque, on a
ou
D'ailleurs le nombre K est nécessairement impair, puisque Al — As n'est pas nul.
Corollaire /. — Dans tout quadrilatère normal inscrit, le produit des coefficients angulaires de deux côtés opposés est tou-
joups égal à — ;(*). En effet, le théorème donne
el les coefficients angulaires des deux cordes (f,, ç»), (yj, y,) sont respeciivemeni — rô~». — ^ôt^ ^^f ^ cause de 1 équation (3) et de son analogue en a', p',
=:*cot(îi + îîV ^coif?i + ?iV
Corollaire II. — SI Ton mène les diamètres parallèles à deux côtés opposés d'un quadrilatère normal inscrit et les diamètres conjugués, chacun des deux diamètres est égal au conjugué de Vautre.
En effet, le diamètre parallèle à la corde (fi, yj) et le diamètre conjugué à la corde (^3, ^4) sont respectivement égaux à
«asin»ÎL±l!^.6'cos'^5^i±^, a'cos'2i±J^+6'sin'?i±ilC*).
CowUaire III. — L'un des côtés du quadrilatère normal inscrit el la corde supplémentaire du côté opposé sont symétriques par rapport aux axes.
C'est une conséquence évidente de l'un ou l'autre des corollaires précédents.
Théorème II. — Réciproquement y si quatre angles d* anomalie ç,, 5»,, (p3, 'f^ sont liés entre eux par les relations
lang ^ tang ^ tang -^ tang ^ = — i ,
C^) Dans tout quadrilatère inscrit, les deux diagonales sont considérées comme deux côtés opposés.
(**) Salmon, Trealise on conte sections, page 198/
on peut affirmer que les quatre normales déterminées par les angles d'anomalie se coupent en un même point du plan de V ellipse.
En effet, soit un point [x, j) déterminé par Tiniersection des normales «pi, 73, et si les deux autres normales f«, (p4 ne passent pas par x^ j, soient ^'3, «p'* les deux dernières normales.
L'équation (2) s'applique aux quatre angles (p,, <p2, (p',, (p'4, et Von a
f I -h «pa -h y's H- f '4 = ( 2 K' 4- I ) CT,
lang— tang— tang— lang?^ = — i.
^A Jt ^ Jt
Mais en ayant égard aux deux équations de condition, il vient
tang^ -i-Ungî^ =tangîi ^-lang— »
JL Je ^ Jt
Cp 3 Q> 4 O3 q>4
tang-^ tangl- =tang-^ tang^;
tang— ei tang— sont donc égales à tang — et tang^^ et le théorème est démontré.
Théobème III. — Dans tout quadrilatère normal circonscrit, le produit des abscisses de deux sommets opposés est égal à — a^y et le produit des ordonnées égal à — 6*.
£n effet, multipliant membre à membre les équations (4) et
les équations analogues qui donnent r et 779 il vient, en tenant compte de Téquation (5),
(8) ' 0Lci'=z—a}, pp'=: — ft'.
Théorème IV. — La réciproque est vraie, c'est-à-dire que si deux points (a,p), (a'; p') sont tels, que les équations [^] soient satisfaites^ les normales menées par les extrémités des cordes qui sont les' polaires des deux points, se coupent en un même point du plan.
En effet, des équations (8) dans lesquelles (a, p), [a\ p') sont remplacées par leurs valeurs en fonction des angles d'anoma-
li€^, on déduit
lang— tang-^ lang— lang— = — i,
^i -1- cpï -+• «p3 -h f 4 = ( 2 K + I ) Bj ;
ce qui suCfit, d'après le théorème II, pour que les oormales se coupent au même point.
Théorème Y. — La somme des quatre angles (t* anomalie correspondajit aux points d* intersection d'une ellipse et d'une circonférence est toujours égale à un nombre pair de fois cr.
En effet, si dans l'équatioii d'un cercle
Y'-i- X'-+- AY -h BX -h C =^ o
on substitue à X, Y les valeurs données par les formules (i), il vient
l («' — Ba-hC) tang*2.4 2A6tang*î
/ -♦-(4*'— 2a'-i-2C)tang^--|-2A6tang^-Ha'-4-Ba-f-C=o.
Les coefficients de tang*- et tang^ étant égaux, on en conclut
que la somme des moitiés des angles d'anomalie est égale à Kcr, et par suite que la somme des angles est égale à 2Kcr. La réciproque est d'ailleurs évidente.
Corollaire. — Dans tout quadrilatère inscrit à l'ellipse, dont les sommets sont sur une même circonférence, les côtés opposés sont symétriques par rapport aux axes. En effet, les coeflicients angulaires des deux côtés sont égaux et de signe contraire. La démonstration est la même que pour le corol. I, th. I.
Remarque. — Si on avait admis comme un théorème connu le corollaire précédent, on aurait pu en déduire une démonstration géométrique du théorème Y. En effet, il est évident que la somme des quatre angles d'anomalie est la même pour les quatre sommets du quadrilatère, et les extrémités des diamètres pârallèles à deux côtés. Mais ces deux diamètres ^tant symétriques par rapport aux axes, pour leurs extrémités, et par suite pour les quatre sommets du quadrilatère, la somme des angles d'anomalie est épale «i t-Kw.
Le même gemre de raisonnement fait voir ()ue la réciproque du corollaire est vraie.
Théorème VI. — Si quatre normales à l* ellipse partent d'un même point, les pieds de trois d'entre elles et le point diamé^ tralement opposé au pied de la quatrième sont sur une même circonférence- ( Joaghimstàl ) .
En effei., qwnd on remplace le pied d'une normale par le point diamétralement opposé sans changer les pieds des autres, on augmente ou diminue la somme des angles d'anomalie d'un multiple impair de m, et la somme des angles d'anomalie, qui était primitivement impaire, devient paire. Donc, en vertu de la réciproque du théorème IV, îes quatre points en question sont sur une même circonférence.
Le théorèhie est aussi une conséquence évidente du corol. III, th. I, et de la réciproque du corol. th. V).
Les théorèmes qui précèdent montrent évidemment que jamais les pieds de quatre normales à l'ellipse partant d'un même point ne peuvent être sur une même circonférence.
Généralisation des théorèmes I et F.
Les théorèmes I et V conduisent naturellement à se demander dans quel cas ou aura un multiple impair ou pair de m pour la somme des angles d'anomalie qui correspondent aux points d'intersection de l'ellipse donnée et d'une conique quelconque.
L'équation de la seconde conique étant
AY^ -I- BXY + ex» + DY 4- EX 4- F = o, •
en éliminant X et V euftre cette équaiion et les équations (i), on aura
(C«^ — Ea-hF)tang^51— 2é(aB— D)tang^?
*'"^ 1 4-{4A6'— 2Ca'4-2F)Ung'i-h2fr(^iB + D)lang3^
-h Ca'-f-E«-f-F=o,
et on trouve par la même méthode que précédemment que la somme des angles d'anomalie sera un multiple pair ou impair
de cr, suivant qu'on aura
B=:o, Cfl'— Aé^^o
ou
Ca' — A6» = o, B^o.
Remarques relatives à la généralisation précédente,
1. Quand la somme des angles d'anomalie est un multiple pair de Wy les quatre points de Tellipse donnée sont toujours sur une même circonférence. De là et de ce qui précède on conclut évidemment que par quatre points qui ne sont pas sur une même circonférence on ne peut mener qu'une seule conique dont les axes sont parallèles, à des directions données.
2. Les conditions Ca' — A 6* = o, B ^ o ne sont pas évidemment suffisantes pour que les points d'intersection des deux coniques soient les pieds de quatre normales à l'ellipse donnée issues d'un même point; mais il en sera ainsi si on adjoint aux deux conditions précédentes l'équation
Ca»-4-F=o.
Pour trouver cette équation, il suffit évidemment d'écrire que dans réquation (lo) comme dans l'équation (2) les coefficients du premier et du dernier terme sont égaux et de signe contraire.
