Si les deux équations

B = o, Ca» — Aft»=o

avaient simultanément lieu, c'est-à-dire si les deux coniques étaient homothétiques, on trouverait pour

une valeur indéterminée. Voici l'explication qu'on peut donner de ce fait.

Lorsqu'on a, comme nous le supposons ici,

A, — A., =: o, Ao — A2-hA4 = o,

en divisant par i H- lang'- le premier membre do l'équalion

Aolang^--+- A.lang^î- -h A,lang'- h- Aalang- -4- A4 = o, 2 22 2

on trouve un reste nul et pour quotient

A« tang* - -I- A, lang - — A4 = o.

Cette dernière équation donnera pour Tangle <f deux valeurs f t et 5^3 réelles ou imaginaires, mais l'équation

i -h tang' ^ = o

donne pour tang- deux valeurs -{- v/ — i et — ^ — i, et par

suite pour les arcs ^3 et ^4 les valeurs 4-00 et — <» ; la somme des quatre angles doit donc être indéterminée.

Cas de la normale double.

Faisons voir d'abord que l'équation { 7 ) représente la développée de l'ellipse, c'est-à-dire Tenveloppe de ses normales.

L'équalion de la normale au point ^ 1 peut se mettre sous l'une ou l'autre des deux formes

7=|tangç,^ — -siny., b c*

JF=- C0i<p,7-f- -v-COSy,,

et en prenant la dérivée des équations par rapport à <p(. il vient

(11) ^ = — cos^f,, j=— --sin'<p,,

et par l'élimination de ^i on a l'équation (7).

On peut encore trouver l'équation (7) comme équation du lieu des centres de courbure des différents points de rellipse.

lO -i-

Soientf', ff'y ^'"y f'"" les quatre points d'intersection d'un cercle quelconque et de Tellipse ; en supposant les trois points /, r^> r'^ confondus en un seul, nous aurons

et par suite pour les coordonnées ^, y^' du milieu de la corde

7'= — 6sin^»'cos2y', a:'=acosf'cosaç'.

D'ailleurs en général, les deux cordes (y', f"), (?*',?") étant symétriques par rapport aux axes (corol. th. V), la normale au point f' et la perpendiculaire au milieu de la corde (ç', y^) font des angles égaux avec les axes. On aura donc les coordonnées du centre de courbure en résolvant les deux équations

asinf' c* . ,

•^ 6COS7' b ^'

asinf' . c' . , ,

ce qui donne

a; = — cos' •', r= — -r sin*ç%

et par suite l'équation ( 7 ) .

On obtiendra facilement les expressions connues du rayon de courbure.

Problème. — Séparer lbs normales simples de la normale double.

f I étant le pied de la normale double et f 3, 7» les pieds des deux normales simples j on se propose de trouver deux équations l'une entre ^ 1 et ^ 3 ou (pa. Vautre entre ^ 3 et (pa.

Pour cela faisant 74 = <Fi dans les deux équations

«pi -♦- ^2 -h ^3 -+- ?4 = {^K -4- l)?ar,

lang ^ tang — tang — tang — = — i ,

^ JUi ^ Jr»

il viendra

». -l-ïi 4- ~-=KoH--^ tang- ?^ tang ^ tang î^= -i

ion d. ç

)ispo!! ^'^ **'" éliminant lang -^ entre ces deux équations, on aura

I — tang' - tang* ~ ung ■*-

Iac«^ I — tang^— tang —

OU bien

I — tang' ^ I -♦- lang* - tang Î-'

I — tang» ^ 1 -h tang' -3^ tang 2i

et enfin

cosvs sino)

COSfi SlUfi

L'équation (12) est la première équation demandée. On aura évidemment aussi

^ ' cosç, sinf,

Avant de chercher la relaiion entre fa et ^3 remarquons que df s équations (12) et (i3) on tire

sin'<j>a -f- 2sin 7, cos*f , sin «p, — sin^y, =^ o, cos'çs -H 2COS71 sin'f, cosy, — cos*f , = o,

ou les équations qui se déduisent de celles-là en changeant <Pi en ^3 ; par suite on a

|sin<pj sin(p3 = — sin* y,, costp^ cos^ps = — cos*^,, sin<fj — sinq>3i=±sin<j», ^4 — sin'2y,, cos<pa — costp3=::+;cos(p, v'4 — sin'2ep,.

Ces relations nous seront plusieurs fois utiles. Maintenant de l'équation

îi^i -h ^j H- ^3 = ( 2 K -h I ) «3

on déduit

COS(yj-f-(ps)=:= — C0S2(|'»,

[i -4- cos (ça H- (fa)]' = 4sin>, == — 4sin <pî sin ip,,

(l5) 1 -H COS' ((p,-f- «pa) -h 2C0S (yj — ifi) = O,

réquation (i5) est la seconde équation demandée.

Soient ABC un triangle inscrit dans Tellipse dont les sooimets sont les pieds des trois normales etDEF le triangle circonscrit qui touche Tellipse aux mêmes points. Supposons d'ailleurs que A soit le pied de la normale double et D le pôle de la corde BC.

Les équations (12) et (i 5) peuvent être considérées comme étant les équations dans le système bianomalistique (*), la première du lieu des sommets E et F, la seconde du sommet D, lorsque le point de départ des normales se déplace sur la développée.

Mais on peut trouver très-simplement Téquation des deux courbes dans le système ordinaire de coordonnées.

Soient a,, p, les coordonnées du point D (a,, p,), (a,, ^3) celles dés points E et F. Ces deux derniers points étant situés sur la tangente au point A, on a

(t6) ~co§(ï),-f--^'siny,:;=i,

— cos<pi -h T sm <p, = I ; mais à cause des relations

la seconde équation devient

(17) -cosç,-!- 5-sin<p» = — i;

, «a Pa

éliminant maintenant sin 71 et cos<p, entre les équations (i6),

(17) et

sin'ç, -f-cos'(p, = 1,

(**) Dans ce système, un point est déterminé par l'intersection des tanjirentcs aux points 97 1 et ^,.

( ** ) Le théorème 111 est encore applicable.

il vient

a et p désignant à la fois («1,^1 ), (a„ p,).

L'équation (18) est Téquation du premier lieu.

Pour trouver Téquation du second lieu, remarquons que le point D étant l'intersection des tangentes aux points 72 et fi, on a

— cos<Pj -h T-smo), = 1,

^1 Pi .

— cos»3 -^- V sm q>8 = I , a - o

d*oii, à cause des équations (12) et (i3),

(19) . - = — cos(j>,, — =— smy,,

«I Pt

par suite l'équation du lieu du point D est, en supprimant l'accent de a et p,

Remarque, — Les coordonnées a,, f, du point D sont données très-simplement parles équations (19). Je dis que celles des points E et F seront données par les équations

a, __^ CQS'yi pj ___ sin^ y,

a COS73 6 sin^i

^ as ___ COS'y, Ps Sin' y,

a cosya' 6 sin^â Démontrons, par exemple, les deux premières Tormules. Pour cela remplaçons, dans les équations {16) et (17), — et r' i,^ par les valeurs que donnent ces formules, nous aurons

COS'œ, Sin'ç, COScpa sln Çj

cos^a sin^a ' cosyt siny,

(*) Cette équation est aussi la conscquer\ce immédiate du théorème lil.

Mais en tenant compte des relations cosfsCOSYs = — cos^^.» siny,sin^s = — sln*^,, la première équaiion devient

C0S(p3 sinça

cosoi sin^i

et on retombe ainsi sur des équations démontrées.

Nous allons donner encore quelques propriétés des triangles ABC, DEF.

Le côté BC du triante inscrit, c'est-à-dire la corde qui joint les pieds de deux normales simples, est toujours normal à i'eilipse.

En effet le côté BC qui a pour pôle le point A, a pour équation

(23) -sr-r-^!! 1 £,— x=:,; .

^ ' • 6smq>, «COSfi

mais d'autre part la normale au point [(aK+i)cr*^ip(j d'an^ ellipse qui aurait . des axes na^, ^b' de même direction que ceux de Tellipse donnée a pour équation

</*siil(pi c'^cos^i en identifiant les deux équations, on trouve facilement

le théorème est donc démontré.

Remarque. — L'équation (^3) étant l'équation de la droite qui joint les projections sur les axes du point [(2 K + 1)17 -h <p,] de l'ellipse donnée. On a ce théorème :

Si onprpj^te un point de r ellipse si4r les axes et quon trace la corde qui passe par ces projections, cette corde est normale à une seconde etlipse, et les normales menées par ses extrémistes se coupent en un point situé sur la développée de V ellipse ^donnée.

Calculer ies surfaces des triangles ABC, DEF en fonction de

l* angle çi.

On a d'abord

ABC= — [coS(p, (sinf3 — sintp,) -h cosy,(sinç, — sin^ps) -4- cosf3(sinf, — siOf,)];

mais la somme des deux derniers termes dans la parenthèse est évidemment égale à

sintp, (cos<p, — cosfj) H-sin{f, — y,), ou, à cause des équations (12) et(i3),

2sin<p,(cos7i — cosfs), on a donc

ABG = — [cosç,(sin«p3 — sinyi)-f-2sinfi(cos(pj — cosy,)],

et en mettant pour sin^a-— sin^,, cosy, — cosf, les valeurs données par deux des équations (t4)>

ABC = j absiïi 2<p, v^4 — sîn*2f,.

On résout encore là question simplement en multipliant BC par la hauteur correspondante.

Cherchons maintenant la surface du triangle DEF.

On a comme précédemment .