DEF
^ ^^ p.<«3— «0 + (P2— P3)«. -i-(«»Pa~M^) 1
Mais en prenant les valeurs des coordonnées des trois sommets D, E, F, qui sont données par les équations (19) et (21) et se servant comme précédemment des équations (12) et (i3), on a facilement
dôn«
DEF = ab pP4«3-a.)H-«.[p.-p,n ^
el enfin en remettant pour les coordonnées de D, B, F leurs ▼alears et utilisant les équations (14)9 il vient
j)gp 3fl*V^4->sin»2y»
sina^i
Les expressions de ABC et de DEF montrent que le premier triangle aura une iurface maximum et le second une surface minimum^ lorsque le point de départ des trois normales sera Vun des quatre points où les diamètres conjugués égaua: de V ellipse rencontrent la développée.
Pour terminer ce qui est relatif au cas de la normale double, nous proposerons comme exercices la recherche des deux lieux suivants :
1. Trouver le lieu des milieux des cordes qui joignent les pieds de deux normales simples.
(équation du lieu) («*/* -h b^x^Y ^ a^b^x^y*.
2. Trouver le lieu des centres des circonférences circonscrites au triangle ABC.
(équation du lieu) 4(^*^'+ ^'7*)* = a^h*c*x^y\
Toutes les propriétés des normales ont été démontrées jusqu'ici en prenant pour point de départ Téquation (a) donnée pour la première fois par Legendre. Mais on fera aussi intervenir utilement les équations suivantes :
( r*sin<(j)4-2c'6jsin*y-h(a*^*-f-fr'j^ — e*)sin'<p (24) 1 — 2c»6jsiny — fe'7^= o,
^ j c* cos^f — ac'a^ccos'f -h {a^x + fc*/' — &) cos'f ^ ' ( — 7,ac^x cosf — a'^x^ = o,
l a»x'lang*(p— 2a6:rjtang^f-f-Ka'^'-4-ôy — c*)lang2(p
^ '' 1 — 2a6:rjtangr H- b^y^ = o.
Exemple I. — Le lieu des points tels, que la somme des carrés des normales menées de ce point à V ellipse est une quantité constante j est une ellipse ou une hyperbole ayant mêmes axes que V ellipse donnée.
Soit xN? la somme des carrés des quatre normales, on a
« et il ne reste plus qu'à remplacer scos^, 2 ^n^, 2<;os'f par
leurs valeurs tirées des équations (24) et (iiS).
On oi)ti0nt» aitisî
2N'=: -4 — '-■ iar»-H-^ r — • r»-ha(a'-4- 6*),
et on vojl qiie le lieu sera .une ellipse ]orst]ùe - sera pfus
grand que yi ou plus petit que — > et dans le cas contraire une
hyperbole. '
Ejcentple IL — La sbmme algéèrique des produits qu'on obtient en multipliant chaque normale par la projection sur cette ligne de la droite qjji joint son pied au centre, est' une quantité constante égale à ai (é^ -4- b^)-
En effet, si on désigne par p la projection dont nous venons de parler, on trouve facilement
\ __ fl»— (±Np )
. cos^ ax
el par Tequalion (25 ) on a
cos^ ax " donc • ' .
On voit focilement d'ailleurs qu'il faut prendre le signe + ou le signe — devant N/>, suivant que le centre se projette entre ,\t pied de.la normale et le point doliné ou au delà.'
Corollaire* — SI Ton projette sur les rayons vecteurs des pieds des normales issnes d'un même point, les longueurs comprises erive ce point et les quatre pieds, là somme des projections éstt une quantité constante.
Le théorème et son cojroUaire sont dus à M. Joacbimstal.
Elscemple IIL — Trouver le lieu des points d'intersection de deux normales menées par les extrémités d'u^e corde (7,, ^,)
— i8 — satisfaisant à l'une des conditions suivantes :
(p^ -^ yi = constante, ^, — y ,= K » h — >
arc tang - tangip^ — arc tang - tang y* = K ex h — »
c'est-à-dire que la corde reste parallèle à elle-même, ou passe par les extrémités de deqx diamètres conjugués ou rectangulaires. ' • .
On emploiera Téquation (26) dont l'usage éqtUvaut du reste à celui de Téquation qu'on obtient, en faisant disparaître le radical dans l'équation de la normale parallèle à une direction donnée. Les relations entre les coefficients et les racines conduisent assez facilement au but, mais dans le second cas il sera plus simple d'éliminer tang 7 entre l'équation (26) et
l'équation qu'on en déduit en y changeant tang^ en 1 ou
mieux encore on se servira de l'équation de la normale sous la forme
26cosf7 — 2«sinça: = — e'sin2(p (*). .
En même temps qu'on cherche le lieu des points d'intersection des normales correspondantes aux extrémités des cordes (?!» ?0> ^^ P^^^ se proposer de trouver le lieu des pôles de ces mêmes cordes; pour cela, on se^rvira de l'équation (3) ou d'une des équations
(27) {a«p'-h6*a»)sin»f — 2a»6psinf -h fr'(a»— .«') = 0,
(28) (a»p^-h 6'û')cos*f ^2a6»acos(p 4- a'(6^ — p') = o,
(29) a*{b* — p*.)tang*f — aaéaptangç-h 6^(a' — a») = o,
dans lesquelles ^ a pour valeur 71,?^, et a, p sont les pôles de la corde. *
Mais on peut résoudre une question plus complète et se proposer, connaissant une relation entrent et 73, de trouver les lieux géométriques de tous les sommets du quadrilatère normal circonscrit.
W <m. 1 m !■ I H l «1 ■■ I !■ II^W— ^B^M^^^. Ml»«^»1^— — p— — — Il ■ M ■ ■ ^M— ^^ ■ I ■— — ^— ii^— »— ^i— ^— >— i^iW^fcW^— ^l^llM^^ ^^^l. M ll I — H^»^^
C) Les trois lieux sont donnés plufi loin, pagçs 29 et 3o.
— »9 — Soient f., 72, ys><p4» les quatre points de contact. Supposons qu'on ait d'abord trouvé, comme il \k, été dit tout à rheure, Téquation du lieu décrit par le pôle et, pdela
corde ((p„ ?«),
d'après le théorème III t)n aura immédiatement le lieu du sommet opposera', p[^ en remplaçant dans l'équation (3o) a et p
par — r* ®* Qf * Maintenant pour trouver le lieu des autres
et p
sommets, nous allons exprimer a et p en fonctions des coordonnées ^ et 7 d'un des quatre autres sommets.
Supposons* que le point ( x, j)jsoit la pôle de la corde (y,, -fs).
Les équations des deux tangentes ^ i et fs qui déterminent le point (ar, x) P^** *®"^ intersection doivent être satisfaites par les coordonnées a, p, a', Çf; on a donc *
bctcosffi -^ a ^sinffi = ab y * • • * *
6a'cosf3-4-«P'sinf3 = «6. , . •
Résblvant maintenant ces deux équations par rapport à pstn^. et p' sin Ç3, mqltipliant membre à membre et tenant compte *des relations
aa'= — aS .pp' = — é», •
il vient * • .
âf[l*— COS(^,-f-«F3)l=^aCOSyi-h«'COSf3.'
]!i|ais à cause des équations (27) et (28} dans* lesquelles on remplacera et p gar x et >^ et où <p a pour valeurs <p, et ^s, on obtient
.cos,.-i-a'c(»t.= ^^pqpï^,;
mai» on a aussi
«C0S,.Xa'C0Ssp3 = ^,^^^^,, ^ • ^
ttCOSfi et a'cosfs sont donc racines de l'équation
(3i) (a*j*H-6*a;2)a*cos*<P — 2a'72acosy-h«*(j* — 6^) = o.
Cette équation donne
aHar^±b sla^y'^'^'b^x^ — x^y^]
* «COS(p== — i-:^ • , , ., , ~ -i
mais on a aussi
(32) (fl».y-|--6'^*)cos>-~a«6*^cos«j>M-a^(ft'-
d'où • . .
cos y = *-
et par suite
a^y^^hi^x^
OL
b^x ±: X Va'^r" -H b\x^ — ^»A'
on a de même
L'équation du lieu des *quatre derniers sommets s'obtiendra en remplaçant dans Téquation (3o) a et p par le^ valeurs que donnent les équations (82) et (34). Cette équation, après la
* disparition des radicaux ei des facteurs étrangers, pourra être irréductible ou non. Pour décider la question, on s'aidera uti-
" lement de cette rémarque que Téquation ne doit pas changer
quand on y remplace x ex y par - — - et
' Cour donner un exemple dej'application de la méthode» supposons gue le sommet *du quadrilatère no^al circonscrit décrive une ligne droite parallèlje à l'axe des 7, on voit alors immédiatement que le sommet opposé, décrit une aatre para}^ lèleaumêmeaxe» • • •
Pour trouver le lieu des autres sommets, désignons 4Mir fn
une constante etposons « =. m dans l'équation (33), il ne restera plus qu'à faire disparaître les xadicaux«
Isolsln^ les radicaux dans un membre, élevant au carré deux fois» supprimant le terme ^à^T^^m^x^y*, commun aux deux membre^, puis le facteur étranger [a^y^-hb^x*) (6*—^), U vient, tovites rédiibtions faites,
a'(/n» — iyy*-\- b* [m^ -\' lYx^y -\- ^/Jib^ fn{m*'^ i) xy^
Si on n'avait voulu que trouver Inéquation précédente, on l'eût immédiatement obtenue sans facteurs étrangers» en éliminant •
cos<p entre les équations (3 1) el(32). On s'assure d'ailleurs que, saut le cas où m = ± i , elle est irréductible.
Lorsque Téquation entre fi et ^a est très-simple, et qu'on veut avoir le lieu des quatre' derniers sommets du quadrilatère, ce .serait souven} prendre un détpur inutile que de.chercher d'abord l'équation (3o). Alors on éliminera y, etip, en^e l'é- * quatron donnée«et Tune des deux équations suivantes, qu'on obtient en remplaçant dans Téquatiôn (3) « «et ^ par x, r ou •
et î y par ^ i ou ^2,
6{a-f-*^) tang*~ — aa/tapg— -^b(x — a) = 6,
/(a-— a:)tang^ — ---aô^tang— — (a 4-a;)j't=# (*). ^
Exemple /. fj3=:yi. (C'est le problème de la page i3.) On remplace f« par tfi dans la dernière équation, et éliminant alors <fi entre les équations (35), on a immédiatement l'équation (18) s^nsfact^u^ étrangers. . ^
Exemple II. ^3 — ^1 == Kci H — •
Suivant que K sera pair ou impair, on aura
