I -+■ tang — ? tang

fi ■ ^ 1' ©,* ° 2 lang— = y tang— = -î -,

I — tang— • I -h tang —

remplaçant tang ^ successivement par Tune ou l'autre de cqs

deux valeurs dans la seconde des équations (35), et falsant'dans chaque cas l'élimiliaiion, on trouve pour le lieu demandé* de^x courbes distinctes du sixième degré,

b^x^ [xy -+- çibY + a'^ [xy — aby-^^a^b^x^y^ =0,

6' x\ [xy — nbY -H «^/' ( «7 -+- aé )' — 4 «' 6*^^ ==iO .

Remanque. — Si, au lieu d'employer les équations (3'5);pn s etail servi^ des équation^ analogues en tangf, ou si on avait d'abord cherché le Ireu du pôle de la corde ((^i, fi)> <^ aurait

C* ) La première équation a pouc racines f^, f„ la seconde y,, f^.

trouvé une équation du douzième degré, dont le premier membre eût été le produit des premiers membres des équations précédentes^ Ce résultat est d'autant plus remarquable que, si on traite la question analogue pour le pôle de la corde (71, 73), oh trouve toujours l'équation irréductible .

lorsqu'on emploie l'équation (3) ou l'équation (29). Exercices proposés. — Traiter les deux exemples suivants :

^, -h y, = constante,

b b^ ïT* «^

arc tan^- tangua— arctang- tang<p, = Ku h —

% CL t u 2

Ëtanvdpnné toujours le lieu d'un des sommets du quadrilatère normal circonscrit, on peut se proposer encore de trouver les enveloppes des polaires des six sommets. En général on sera conduit, en suivant la méthode ordinaire, à des élimîhations pé-

niblps, surtout pour les quatre derniers sommets.' Mais voici un théorème général, qui dans un certain. dombre de cas dispense de tout calcul d'élimination.

Théorème. — Si le sommet (a, p) du quadrilatère décrit la courbe

i^ïHir-

(m étant un nombre entier ou fractionnaire), le commet a', p\ comme on le^sait, décrira la courbe

et les polaires des deux sommets envelopperont respectivement les courbes dont les équations sont

px\^—^

Ipx

■:zX

La démonstration est intuitive par le théorème III.

. . applications,

^yi = I. Alors le sommet donné décrit une Jigne droite, le sommet opposé une hyperbole, et la polaire de c^ dernier semmel enveloppe une parabole.

w = 2. La courbe donnée a pour équation

(^y-.(ir-. ,

et les équations des trois autres courbes soi)l

La dernière équation montre que la corde, qui est la polaire du sommet opposé à celui qui décrit l'ellipse donnée, est constamment normale à une autre ellipse. .

On pourra prendre par exemple pour p Içs vale'urs a, s/à^ ^- 6%

a ' ^ . — *--* jû^

y=' ei pour q les valeurs correspondantes- b, V«^~t"^'>j~'

Alors le sommet du quadrilatère décrira l'ellipse donnée eMe- 'méme, o.u sera le sommet d'un angle dont les'côtés seront perpendiculaires entre eux ou parallèles à deux diamètres conjugués.

Le premier cas a déjà été traité directement, page i4«

Hyperbole. — Les coordonnées X et Y d'un poi«t de l'hyperbole sont données par les équations

, a(i -h tang'2^ ) • 2 6tang- X = -^-•- ?/ , Y = . ^

I — tang'l I - tang'l

<f étant un angle facile à construire, et que nous appeWerons encore l'angle d'anomalie.

On voit que les valeurs de X et de Y relatives à l'hyperbole se

déduisent de celles que nous avons trouvées pour l'ellipse par

le changement de 6 en — ft v^ — i, et de tang- en tang-«V — i-

Ce^e simple remarque fait voir qu'en général ,les problèmes d'énoncé analogue se résolvent d'une manière semblable pour l'hyperbole et pour l'ellipse, comme oti pourra s*en assurer; quant aux théorèmes, on verra de la même manière'quels sont ceux qui subsistent encore pour l'hyperbole.

Ainsi on voit que l'équation (a) conserve encore sa propriété

caractéristique psfr le changement de b et tang^ en — b ^— \

«t tang^«v — ^y tandis qu'il n'en est plus de même de l'équa-

tion (7). Par suite, les théorèmes I, D, III et IV ontjencoreiieu (dans l'énoncé du théorème III, changez fr* en — ft*), tandii^ , que le théorème V n'a plus lieu. Quant au théorème VI, la première démonstration donnée pour l'ellipse n'est plus applicable à rhyperbolef mais la seconde convient encore (*).

Parabole. — Lorsque la parabole est rapportée à son axe et à la tangente au sommet, l'abscisse s^exprime rationnellemeni en fonction de Tordonnée, et en général il n'y aura aucun avantage à prendre Un angle pour variable, auxiliaire. M^is nous' ' donnerons dans la seconde partie une mAhode applicable aux trois courbes, pour traiter les questions qui nous ont occupé précédemment.

Généralisation du problème des normales pour les coniques à ' * ceifitre.

• lua normale et Ta', tangente en un point d'une coniquç peuvent être considérées comme parallèles à deux diamètres conjugués d'un cercle quelconque tracé dans le plan; on est ainsi conduit à généraliser de la manière suivante le problème de la normale

menée d'un point à Une conique à centre.

(*) La démonstration de I& réciproque du corollaire ( théorème V), sur lec|ue| on s'appoie, ne peut s^^rvir que pour Fellipse ; mais on sait démontrer la proposition de bien des manières pour les deux ooniqucs'à centre.

• Mener d'un point à une conique à cenire une droite qui soit la conjuguée (*) de la tangente à s<fn pied par rapport à une autre conique à centre tracée dans le plan.

Prenons pour exemple l'ellipse.

Si on -prend pour axes les deux diamètres conjugués de la conique qui sont parallèles à deux diamètres conjugués de l'ellipse auxiliaire et qu'on désigné par a, 6, a', b' les demilongueurs de ces diamètres dans les deux coniques et par f l'angle d'anomalie compté à partir dti demi-diamètre a /les coordonnées ;r et j d'un point de l'eUipse seront toujours données par les éqoations (i)« D'ailleurs m et m' étant les coefficients angulaires de la tangente et de la droite conjuguée menée par le point de contact, on a

atangf

d ou, en posant ± t-t; = »»

• m'nsniangf;

donc l'équation de la droite qui est Içi conjuguée de la tangente en son pied ^ est

y — frsiuf =:/ttang<p [x — acosy).

Remplaçant dan9 cette équation- sin^, cos^ et tang f par leurs yaleurs en fonction de tang-> il viendra

!XVàng*^'^^{na — 6-hiw;) tang*^ I — !»(/ui^-6 — R^cr) tang-^— *-^=o.

L'équation (36) montre immédiatement que d'un point donné à?, y on peut toujours mener quatre droites conjuguées des tangentes à leur pied, dont deux au moins sont réelles. . L'équation (36), comme l'équation ( i ), se ramène à la forme

ar*4-2(M-f.N)x»-|-2(M — N);r— i==o.

(?) On. dit que deux, droites dans une conique sont conjuguéoë par rapport à une autre.conique, lorsqu'elles sont parallèles à deux diamètres conjiij;ués de cette dernière courbe.

Legendre a trouvé qu'une pareille équation a quatre racines réelles, deux racines réelles et deux racines imaginaires, ou trois racines réelles, suivant qu'on a

i^ïHiï-î

Mais dans l'équation (36)

-, na — b - . nx

donc, suivant que le point sera intérieur, extérieur, ou isur la circonférence de la courbe dont Téquation est

/ ba^'x \~' / ±:ab"x y \dta»ft'«-6'a'V "^ \±a'b"'-bw) ~^'

on pourra mener quatre droites conjuguées des tangentes passant par leur pied, toutes quatre réelles, ou deux réelles et deux imaginaires, ou trois réelles dont Tune double.

On prouve d'ailleurs facilement par la méthode qu'on a employée pour l'équation (7) que l'équation précédente est l'envelopperdes droites qui sont les conjuguées de leurs tangentes en leurs pieds.

Remarquons aussi que l'équation (36) ayant la même forme que l'équation (2) jouit des mêmes propriétés et que pac conséquent les théorèmes I, II, III et IV, ou du moins des théorèmes d'énoncé analogue , ont lieu encore.

Ainsi, par exemple, on peut énoncer le théorème suivant :•

Si deux points sont tels, que leurs coordonnées a, p, a', p'

prises par rapport à deux diamètres conjugués quelconques

la Gi^b d'une ellipse ou d'une hyperbole sQnt liées entre elles

par les relations

acL' = — a\ pp'=q=^S .

les polaires des deux points couperont l'une ou l'autre des deux courbes en quatre points tels, que les droites conjuguées des tangentes en ce point concourront en Un même point du plan, pourvu que Von prenne pour conique auxiliaire l'une des coniques qui a un système de diamètres conjugués parallèles à ceux qu'on a pris pour axes.