MÉTHODE DU POLE
Ellipse et hyperbole.
Nous allons d'abord résoudre le problème suivant.
Étant menée une corde dans une' conique à centre, et ayant déterminé le pôle de cette corde, ainsi que lé point d'intersection des normales correspondantes à ses extrémités,, on propose, connaissant les coordonnées a, p du premier point, de trouver les coordonnées ar et j du second,
La conique est rapportée à son centre et à ses axes.^
a:', y y j;'',j^^' étant les coordonnées de Textrémité de la corde, on a
d'où
mais on a facilement
donc
Ici et dans le cas qui va suivre, le signe supérieur de b^ se
rapporte toujours à Tellipse, et le si^ne inférieur à Thyperbole.
Les formules (38) peuvent servir à donner des démonstra-
{*) J'avais d^abord démontré les formules (38) par lu considération de Tangle d'anomalie (iVom^eZ/ei Animales de Malhématiifucs, tome XIX, page 268); mais ayant rencontré les formules ( 37 ) dans le Traité de M. Salmon, j'ai préféré^ pour plus de régularité, en déduire la démonstfation actuelle.
Irations nouvelles dès principaux ihéorèrnes précédemment démontrés. »
Par exemple, on voitque les seconds membres (fes formules
ne changent pas quand on y remplace a et p par et ip — >
et cette simple remarque donne immédiatement la démonstration des théorèmes lïl et IV pour une conique à centre.
On peut aussi donner une nouvelle solution . du probiètne des normales menées d'un point donné à une. conique à centre. * • ,
Eh effet, si on prend .pour inconnue auxiliaire Fabscisse a du pôle d'une corde qui. joint les pieds de deux normales, en éliminant p entre les équations (38) on aura une équation du sixième degré en oc qui s'abaissera immédiatement au troisième en vertu de la propriété de réciprocité remarquée toutà l'heure; l'abaissement de l'équation sera d'ailleurs obtenue en prenant pour nouvelle inconnue auxiliaire l'abscisse du milieu d'une des diagonales du quadrilatère normal circonscrit, et on est encore conduit à la solution de Legendre.
Mais nous voulons faire servir principalefment los formules (38) à résoudre des problèmes qui sont compris dans les deux énoncés généraux suivants.
Étant données dans un même plan une conique à centre C et une ligne quelconque A ; de tous les points de A on mène deux tangentes à ^la conique et par les points de contact les deux normales correspondantes : quel est le lieu B des intersections de ces normales?
Réciproquement, connaissant la ligne B, de fous les points de cette ligne on mène des normales à la conique C, et par les pieds des normales les tangentes correspondantes : quel est Je lieu D des points d'intersection de ces tangentes,? ' »
D'autres questions se ramènent aux deux prpblènies précédents. ' .
Soit, par exemple, proposé de trouver le lieu des poins d'intersection des normales menées par les extrémités d'une corde dont les coordonnées satisfont à une équation de condition.
On cherchera d'afeord'le lieu A des pôles de celle corde, puis ia ligne B d'après le premier problème» * •
On peut aussi, comme dans la première partie, se proposer,
connaissant le lieu A d'un des sommets d'un quadrilatère normal circonscrit! de trouver le lieu des cinq autres sommets. Qn a d'àbôrd le lieu A' du sommet opposé à celui qui décrit fta ligne A» par rapplicatioti du théorème lll. Ayant ensuite déterminé la ligne B, puis le lieu D, on aura le lieu des quatre derniers sommets, en divisant le premier membre deTéquatlon de D par le produit des premiers membres des équations de A et A'.
Enfin on peut vouloir trouver J'enveloppe des cordes qui joignent les pieds des normales issues d'un point de B.
On ramènera le problème à celui des polaires réciproques, en cherchant d'abord la ligné.D.
Ce qui précède justifie suffisamment le nom de méthode du pôle.
Nous allons maintenant donner quelques exemples.
La lignb a est JMWti, trouveU la ligne B.
