SUR LES MOMENTS LINÉAIRES

La théorie des moments Unéaireê se lie intimement, d'un côté> à la théorie des moments des forces » pris par rapport à un point fixe , et représentés par des surfaces planes; de l'autre» à la théorie des couples établie par M. Poinsot: et fournit» comme cette dernière , les moyens de simplifier la solution d'un grand nombre de problêmes de mécanique. Elle a d'ailleurs l'arautage de faire disparaître les difficultés que présente , dans certains cas , le choix des signes qui doivent affecter les surfaces désignées sous le nom de moments. Enfin elle s'applique , non-seulement aux forces , mais encore à toutes les quantités qui ont pour mesure des longueurs portées sur des droites , dans des directions déterminées , par exemple , aux vitesses et aux quantités de mouvement. Nous nous bornerons » dans cet article , à exposer les principes de la nouvelle théorie , et nous considérerons en particulier les moments linéaires d'une ou do plusieurs forces appliquées h un seul point. Pour que l'on puisse facilement comprendre ce que nous avons à dire à ce sujet » il est d'abord nécessaire de rappeler quelques définitions généralement adoptées.

Soit P une force quelconque appliquée au point matériel {4) 9 ^^ représentée

par une longueur AB portée à partir du point {A) sur sa propre direction. Si, d'un autre point (0) pris à volonté dans l'espace, on abaisse une perpendiculaire sur la direction de la force P , le produit de cette perpendiculaire par la force ellemême représentera le double de la surface du triangle O AB ^ qui a pour base la

force AB 9 et pour sommet le point ( O ) . Ce même produit , équivalent , comme ou vient de le dire» au double de la surface OAB, est ce qu'on appelle le moment .de la force P , par rapport au point (O). De plus» le plan du triangle OAB,

ou» en d'autres termes» le plan qui passe par le point (O) et par la force ABt est ce qu'on nomme le plan du moment. Gela posé » il est clair que le moment d'uue

force AB reste le même, lorsque» sans changer la direction de la force» on déiplace le point [A) de manière à le transporter en un autre point {A') de la direction dont il s'agit. En effet» si ^ sur la droite AB prolongée » on prend A^B'=:ABs •les deux triangles VAS, OA'B\ auront des basea égales avec la même hauteur, A par conséquent des surfaces égales.

Le moment d'une force n'étant autre chose que le produit de cette force par la

(67) perpendicalaire abaissée d'an point denné sur sa direction , le point à partir duquel on abaisse la perpendiculaire» s'appelle l'origine ou le centre des moments. Le plus sduFont , OD place le centre des moments à l'origine même des coordonnées. La droite menée du centre des moments au point d'application de la force sera désignée soûs le nom de rayon veeteur* Ce rayon recteur est l'un des côtés du triangle OAB9 dont la surface doublée équivaut au moment de la force A B ; d*où il est aisé do conclure qu'on

obtiendra encore un produit égal à ce moment , si l'on multiplie le rayon vecteur O A par la perpendiculaire abaissée du point {B) sur ce rayon vecteur» ou, ce qui retient au même, par la projection de la force AB sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur

Si l'on projette sur un plan quelconque le centre des moments et la force AB , on obtiendra en même temps» pour projection du triengle OAB9 un nouveau triangle qui aura pour sommet la projection du point (O) » et pour base la projection de la force AB. Ce nouveau triangle sera donc celui dont la surface doublée mesure le moment de la force projetée par rapport à la projection du centre des moments. Ainsi » le moment de la projection d^une force sur un plan quelconque est égal h la projection sur ce même plan d'une surface équivalente au moment do la force donnée et comprise dans le plan du moment. C'est ce que nous exprimerons en disant que te moment de la projection (Cune force ne diffère pas de la projection de son mo^ ment.

Le plan du moment d'une force AB = P peut tourner dans deux sens différents aatoar du centre des moments. Si l'on vient à fixer ce même centre » et que le rayon vecteur se change en une droite rigide » la force appliquée à l'extrémité mobile de cette droite tendra évidemment à imprimer au plan du moment un seul des deux mouvements de rotation qu'il peut prendrOt Supposons que ce mouvement s'effectue et que l'on ait élevé par le centre des moments un demi-axe perpendiculaire au plan : un spectateur qai posera les pieds sur le plan de manière à s'appuyer contre le demi- axe» verra les différents points du plan se mouvoir » en passant devant lui » de sa droite à sa gauche oade sa gauche à sa droite; ce que nous exprimerons en disant que le mouvement de rotation a lieu de droite à gauche ou de gauche à droite (*). On doit observer au reste que si » par le centre des moments » on élevait à la fois deux demi-axes perpendiculaires au plan du moment , le même mouvement de rotation paraîtrait s'effectuer autour de l'un de ces demi-axes de droite à gauche » et autour de l'autre » de gauche à droite. Revenons maintenant au cas où l'on trace un seul demi-axe » et supposons que

(*) Le moyen qae noot emplojoof ici, et à l'aide daqael on dittingne fiicUement les deux espèces de monvementsde rotation que peat prendre un plan tournant sur lui-même autour d'an point donné» est celui dont H. Ampère a fait usage dans la Utéorie de i'éleetrieiii tfynmniqtte.

ce soit précisément celui autour duquel le mouremeut de rotation s'effectue de droite à gauche. Si , à partir du centre des moments » on porte sur ce demi-axe une longueur numériquement égale au moment de la force P , on obtiendra ce que nous appellerons le moment linéaire de cette force. La direction de ce moment linéaire sera celle du demi-axe sur lequel il se compte; et son intensité aura pour mesure le moment même de la force P .

Goncerons à présent que » dans le plan du moment de la force P , on fasse varier cette force en grandeur et en direction » de sorte qu^elle se change eu une nouvelle force P' toujours appliquée au point {A ) et propre à faire tourner le plan dans le même sens que la première , autour du centre des moments. Les moments linéaires des deux forces P, P\ devront être portées sur le même demi -axe; et si Ton projette ces deux forces sur un plan mené par le point [A) perpendiculairement au rayon vecteur , les projections auront encore la même direction. Imaginons ensuite que le plan du moment de la force P' vienne à se détacher du plan du moment de la force P , en tournant d'une certaine quantité autour du rayon vecteur. Pendant ce mouvement, deux demi-axes perpendiculaires au rayon vecteur, aboutissant à deux points différents de ce rayon , et assujettis à tourner autour de ces points avec le plan du moment de la force P , décriront évidemment des angles égaux. Or , comme on peut supposer que ces deux demi-axes coïncident, le premier avec la projection de la force P' sur le plan mené parle point {A) perpendiculairement au rayon vecteur, le second avec le demi-axe mené par le point (O) et sur lequel on compte le moment linéaire de la même force, nous devons conclure qu'après l'arrivée de la force P' dans sa nouvelle position, les moments linéaires des forces P,P\ comprendront entre eux le même angle que les projections de ces forces sur le plan perpendiculaire au rayon vecteur. Il est d'ailleurs essentiel d'observer qu'il suffit de choisir convenablement l'intensité de la force P\ sa direction par rapport au rayon vecteur dans le plan de son moment , et la quantité dont on fait tourner ce même plan , pour que cette force ^ parvenue dans sa nouvelle position, coïncide avec une force quelconque menée par le point (A). On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si deux forces quelconques appliquées au point [A) sont projetées sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur qui joint le point [A) avec le centre des moments, les projections formeront entre elles le même angle que les moments linéaires des forces données.

Considérons maintenant, avec deux forces P, P\ simultanément appliquées au point {A) ^ la résultante R de ces deux forces. Soit toujours ( O) le point pris pour centre des moments, et supposons que l'on construise tout-à-la fois les moments linéaires des forces P.P\R^ avec les projections de ces forces sur le plan mené par le point {A ) perpendiculairement au rayon vecteur. D'après ce qu'on vient de dire ,

les moments linéaires formeront entre eux les mêmes angles que les projections des forces correspondantes; et de plus ces moments linéaires seront ^ en vertu de leur définition même , respecliTement égaux aux produits qu'on obtient en multipliant le rayon recteur par les projections dont il s'agit. Gela posé, concevons, i.* que les droites

AB, AC, AD, représentent en grandeur et en direction les projections des forces

2^ que les droites * OE, OF, OG, représentent en grandeur et en direction leurs momenls linéaires. Les trois dernières droites seront proportionnelles aux trois premières , et , prises deux à deux » elles formeront entre elles les mêmes angles. Par suite » les deux figures ABCD , OEFG, seront entièrement semblables. Or » la force

projetée AD étant la résultante des forces projetées AB,AC, la figure ABCD est nécessairement un parallélogramme ; donc la figure OEFG en sera un également.

Donc le moment linéaire OG de la résultante B sera la diagonale du parallélogramme construit sur les moments linéaires des composantes; et» pour l'obtenir , il suffira de mener par l'extrémité du moment linéaire de la force P une droite égale et parallèle au moment linéaire de la force P\ puis de joindre le centre des moments arec l'extrémité de cette droite. Ainsi les moments linéaires se composent comme les forces elles-mêmes , et à l'aide de la même construction. Cette remarque ne se borne pas au cas où l'on considère deux composantes; elle s'étend à un nombre quelconque de

forces P» P\ P", etc Car il est clair qu'en répétant plusieurs fois de suite la

construction indiquée d'une part sur les forces combinées deux à deux , de l'autre sur les moments linéaires correspondants» on obtiendra par le même procédé» i.® la résultante de toutes ces forces, 2.* le moment linéaire de cette résultante. Enfin, la remarque subsiste, quelles que soient les directions des forces données et celles de leurs moments linéaires respectifs , et par conséquent dans le cas même où quelques-unes de ces directions viendraient à coïncider. ,

Pour indiquer que le moment linéaire de la résultante de plusieurs forces P, P\ P",., résuite de la composition de leurs moments linéaires, nous le désignerons désormais 5ou$ le nom de moment linéaire résultant.

Dans le cas particulier où les plans des moments de deux forces coïncident , c'està-dire , lorsqu'un seul plan renferme à-la-fois le centre des moments et les deux forces , leurs moments linéaires se comptent évidemment sur un seul axe perpendiculaire au plan dont il s'agit. De plus, ils se comptent sur cet axe dans le même sens ou dans des »ens opposés , suivant que les forces données tendent à faire tourner le plan qui les renferme dans le même sens ou en sens contraires. Si toutes les forces P, P\ P", . . appliquées au point matériel [A) 9 se trouvaient comprises avec le centre des monieots

(70) dans un plan unique , tous les moments linéaires se comptant alors sur le même axe , le moment linéaire de la résultante serait égal à la somme des moments linéaires des composantes » pris avec le signe 4" ou aTec le signe — » suivant que les forces correspondantes tendraient à faire tourner le plan de tous les moments dans le même sens que la résultante ou dans le sens inverse.

Revenons au cas où les moments linéaires des forces P, P^ P', -etc. , ont des directions quelconques. Dans ce cas , au lieu de construire géométriquement le moment linéaire de la résultante , on pourrait déterminer analyliquement son intensité et sa direction. En effet, soit B cette résultante , et désignons par

les perpendiculaires abaissées du centre des moments sur les directions des forces

Les moments linéaires des mêmes forces seront représentés par

Pp^Py^P^p" Rr;

et, si Ton suppose que ces moments linéaires forment respectivement^ avec le demiaxe des X positives , les angles

lyV,}.' *.. /;

avec le demi-axe des y positives , les angles

avec le demi-axe des z positives , les angles

les produits

Pp cos \ , P'p' cos \\ P'p' C08 ^^ . . . ilr cos / , Pp cos fA , P'p' cos /, P'p' cos pi'. ... Ar cos m , Pp cos V , P'p' cos v', P'p' cos v'. . . • Ar cos n ,

seront ce qu'on peut appeler les projeetiom algébriqueê des moments linéaires dont il s'agit» sur les axes des x^ y, z. Gela posé» puisque le moment linéaire Rr esta l'égard des autres ce qu'est la résultante R à l'yard des forces PtP^P"*..., les relations trouvées entre les projections algébriques des forces

subsisteront nécessairement entre les projections algébriques de^ moments linéaires

Pp,P'p\P'p' Rr.

En conséquence» la projection algébrique sur chaque axe du moment linéaire résultant sera égale à la somme des projections algébriques sur le même axe des moments linéaires des composantes. On aura donc les trois équations.

Rr ces / = Pp cos> + P'p' cos X + P >' cos X' + etc ,

(i) { Ar cos m=Pp cos H- P'p' cos ^ + P^p^ cos yf + etc ,

Rr cos n =Pp cos V + P'p' cos / + /^p* cos v* -|- etc

Si à ces trois équations on réunit la suivante

(2) cos' / + cos* m + cos' n = 1 ,

on obtiendra en tout quatre équations sui&sanles pour déterminer les valeurs des quatre inconnues

Rt f If n/ï , fif

c'est-à-dire , la direction et Tintensité du moment linéaire résultant , toutes les fois que Ton connaîtra en grandeur et en direction les moments linéaires des forces P, P^ etc. Les seconds membres des équations (1) étant , dans cette hypothèse, des quantités connaes » si , pour abréger , on les désigne par

ces équations deviendront respectivement

(3) iîrcos/ = L, Rrco$m=:M, Rrcosn = lf .

Or on tire de ces dernières, en ayant égard à la formule (s) ,

(4) {Rry=L*+M' + N\ Donc , par suite ,

(5) Rr= v/(/:' + Af' + 7V').

L'intensité Rr ou la grandeur du moment linéaire résultant étant ainsi déterminée ,

(7« ) on obtiendra les angles i, m^n^ qae sa direction forme ATec les demi-axes des coordonnées positives » par le moyen des équations

(6) cos i = -^^, cos m= — . cos « =-^ •

Ces angles seront aigus ou obtus, suivant que les quantités L, M, N seront positives ou négatives.

Les calculs qui précèdent subsistent ^ quel que soit le point de l'espace que Ton ait pris pour centre des moments. Dans le cas particulier où ce centre coïncide avec l'origine des coordonnées , on peut exprimer les projections algébriques du moment linéaire de chaque force en fonction de l'intensité de cette force » des coordonnées de son point d'application et des angles que forme sa direction avec les demi-axes des coordonnées positives. On y parvient facilement à l'aide des considérations suivantes.

Le moment de la force P appliquée au point {A) » savoir , Pp représente, comme on l'a dit ci -dessus , le double de la surface du triangle OA B qui a pour

base la force AB=^Pf et pour sommet le point ( 0) » centre des moments , c'està-dire , dans le cas présent , l'origine des coordonnées. La surface de ce triangle est donc

En la multipliant par cosX, c'est-à-dire, par le cosinus de l'angle que forme la direction du moment linéaire avec le demi-axe des x positives , on obtient la moitié de la projection algébrique de ce moment linéaire. Or» le moment linéaire se comptant sur l'un des deux demi-axes perpendiculaires au plan du moment Pp , et l'axe des x étant perpendiculaire au plan des 7 » « » l'angle X sera évidemment l'un de ceu que le plan du moment fait avec le plan des y*^» et qui , étant suppléments l'un de l'autre y ont, au signe près, le même cosinus. D'ailleurs, si l'on multiplie une surface plane par le cosinus de l'angle aigu compris entre le plan qui la renferme et un autre plan pris à volonté , on aura pour produit la projection de la surface sur le dernier plan. Donc le produit

Y-Ppcps>

sera égal, au signe près, à la projection du triangle OAB sur le plan des y^z* Donc, par suite, la projection algébrique du moment linéaire, savoir,

Pp cos > sera égale, au signe près, au double de la surface du triangle projeté j ou, en d'autres '

( 75 ) termes , au moment de la force P projetée elle-même sur le plan des y^ z. Ajou* tons que le produit Ppcos\ aéra positif on négatif» suivant que Tangle >, formé par la direction du moment linéaire avec le demi*axe des x positives sera aigu ou obtus , c'esl-à-dire » en d'autres termes , suivant que la force P tendra à fiiire tourner le plan de son moment de droite à gauche ou de gauche à droite autour de la perpendiculaire au plan prolongée de manière à former avec la direction des x positives un angle aigu , et , par conséquent, autour du demi-axe des '- x positives* Or, comme un plan mené par ce demi-axe et par le point {A ) laisserait d'un môme côté la force P et sa projection sur le plaa des jr»z, il est clair que cette projection tendra elle^^méme à faire tourner le plan des jpZ autour du demi--axe des ar positives', de droite à gauche dans le premier cas , et de gauche à droite dans le second. On peut donc conclure que le produit Pp cos 1 , c'est-à-dire , la projection algébrique du moment li^ néaire de la force P sur l'axe des x positives, sera égal au moment de la force projetée sur le plan des j , 2 , ce dernier moment étant pris tantôt avec le signs «4- » tantôt avec le signe — , suivant que la force projetée tendra à (aire tourner le plan des j.z de droite à gauche ou de gauche à droite autour du demi-axe des m positives.

On prouvera de même que la protection algébrique du moment linéanre de la force P sur Taxe des y ou des s esf égale au moment de la force P projetée sur celui des plans coordonnés auxquels cet axe est perpendiculaire , le dernier moment étant pris avec le sigue -4- ou avec le signe — , suivant que la force projetée tend à faire tourner le plan dont il s'agit de droite k gauche ou de gauche à droite autour du demi-axe des / ou des z positives. .

Considérons maintenant l'angle solide trièdre qui a pour arêtes les trois demi-axes des coordonnées positives , et concevons qu'un rayon mobile d'une longueur indéfinie , mené par l'origine, fasse le tour de cet angle solide, en s'appllquant successivement sur les trois faces. Son mouvement sur chaque face sera un mouvement de rotation , de droite à gauche ou de gauche à droite , autour de l'arête perpendiculaire à cette (ace. De plus , il est aisé de voir que les trois mouvemens de rotation sur les trois faces , c'est-à-dire , en d-autres termes , sur les trois plans coordonnés , seront de même espèce. Par exemple , si la disposition des demi-axes des coordonnées positives OX p O Y , OZ » e^t celle qui se trouve la plus usitée , les trois mouvements de rotation auront lieu de droite à gauche autour de ces trois demi-axes , lorsque le rayon mobile , en (aisant le tour de l'angle solide, passera successivement de la position OX à la position OY , et de celle-ci ^ la position OZ, pour revenir ensuite à la position OX. Si le demi-axe des z positives se trouvait transporté de l'autre côté du plan des x,j , alors les mouvements de rotation de droite à gauche auraient lieu dans le cas où le rayon mobile prendrait successivement les trois positions

OX. oz, or.

(34) ^our revenir ensu^lQ direçt^qiêak dQ la poaUioo OY à la poiitipa O X .

Afin it bi^ii 4i|tinguQr bs deux ee^ces do m^aveiaeDCs que peut pren^tti un rayon loobilq aiatt)etti k pM9er par rorigioe et à parcourir Tuoc après l'autre l«s trois faces dc) t'aogl^ AOltdfl OXy Z, iM^ufl dirons ^e ce njon BBoUte a dans oha^un des plans e<MNr4oi»Q4s M^ BifHiTaineilt cUrrol de l:olaiion » s'il passe «oeeesiiteme&t do la posilîbn QX :k la posîUon OY ^ èl de ooUe«cîà la positioa OZi nous difMift> daM le ca!i e^lr«iMt^» qM le wâfaa .ra]|«)n tiscteiir a un mouveaMnl d* rotation titf^ffmde. €ela posé , si Top Idopio 1a dîapoaitioo la plàis ordînairo pour les demî-^iites des ooordoimées posîtiïaa» l«a mopvfkraoals diraota de rotalioa antour de ces demi ^ axes auront lieu de droite h gatic}io » et les aïKiuf ekoeots rétrogrades ^ de gauche k droite*

Jo MVitoa aux projeèfietis algébriques du moment linéaire de la force P, ' et je vais d*âboNl eli^Mliér Uiie nouvelle expression de ia projection algébrique de ce moment sur Taxe des m^ en adtoettanl» pour fixer les idées « la disposition la plus commune des d^RBg^^^es des eot^rdonnées postHve9. La "force P pouvant' élr^ remplacée par ses ta*o}s ôompbâdMëè Veetangulaires , la projection algébrique de son moment linéaire sur Taxe des Ht i)era égale h la somme des protections algébriques sur le même axe des ttlomeii^ Ubéàiros de cta trois oaknpmantea , oa > et d'autres teraies , h la somme des iDOmeB&s éfA "mépnes compésantei projetées «ar le plan des y^z, ce^ derniers moments étant pria avec le sigals ^ du avee le signe "-^ > suivant ^e les forces projetées t^ndrofil à iioprimar au pian daa y^^ «n mouvement de retatteii direct on rétrograde* Or» al Ton noimne «» P» 7 ies angles formés par la force P avec les aies des x,y,z, prolongés dans le sens des coordonnées positives» les tr^is (composantes rectangulaires de , P : seront représentées par les valeurs nmnériqiiea des trote produits

Poos», Poosf^ Pcosv.

Si d'ailleurs on projette ces composantes sur le plan des 7,2, la première so trouvera réduite à zéro^ tandis que les deux autres conserveront leurs intensités respectives. Enfin if est clair que les projections des deux dernières composantes agiront suivant des droites menées parallèlement aux axes des 7 et ? par la projeciion du point d'application de la force P. Soient

les coordonnées de ce mémo poi^t dans Tespace, La projeetioa de la eomposante parallèle à Taxe des z aura un moment égal au produit de son ivtensité paria perpeadicMlaire abaissée de l'origine sur sa direction» o'ost-Â- dire i» parla valeur numériftto d» y- Ce moment sera donc représenté par la vafeur numérique du produit P cos^ X y* 0» prouvera de même que la projection de la composante parallèle à Taxe des j' a un moment représenté par la valeur numérique du produit P cos p X «. Ajoutons qite,

des deux ^vojeolloaê 4oM il ft*agii , U (Iroaiière ièndrà àr jkodiAre tia môineiiMnl de relation direct , si P cos y et j sont de même signe , c'e$trà-dire , si le produit Pjr cos 7 est posilif; fa seconde, si Pcosy et z sont de signes différents, c'est-à-dire, en d'autffs tefCHeë, ftr )e proddt ' iPi; cos ^ eâ(t hègàiit L^i ïnoiireUents de rôt&cTon deviendraient rétrogrades dans les suppositions contraires. Par suite, pour obtenir les projections «Igékri^ti Mé Véfkt èeê c6 dëè nftoihétîN llhdàifes que fotrmfssent les iéix compoSQftt«é é^ ior ibuM P pltttAMtf mix &xe^ dés- r ^' dei ^ , if (htidra prehAd le produit

Py cos V avec le signe -)- , et le prodok

Pzdo^p

arec le signe — . Là somihe des Atux résultais» savoir «

P{ycoBy — «cosp) ,

devant être équivalente à la projection algébrique sur l'axe des x du moinent linéaire de la force P , on aura nécessairement

PpCOSX=:P(jCOS7 — «COSp},

On irouTerait de même , en projetant les moments linéaires de la force P et de ses composantes sur les axes de^ jr et des z ,

. Pp cos {A=P (« cos a— » cos 7) , Ppoo$t:s::P{x4e$p^^yi»9è).

U «t au rem «kmilîel' d'#fasenror q^ ba IToia^ ^mticiia

Pp cos X==/>(jr cos 7 — COS P) , {7) ( PpCOS|i=P(»COSa — dos 7),

PpÇOSV = P(cBCOSp— COS«),

ont lien seoiement dans le caa 44 IW nddpte^poitr let diàH-âtetfd^ CodftiMnées positives la disposition la plus ordinaire , c'est-à-dire , lorsque les mouvements de rotation de drokt à^ ggiMbe suUur de <m àsuA^-mm^ Éàii^^ë. MHM^ t^mj^ des dlddvetiiêiits dîi^U, et tendent à faire passer un rayon mobile • i

( 76 ) dans le plaa des y 9 1^9 de la direction des y positires à la directioa des z positires;

dans le plan des 2» d;, de la direction des z positi?es & la direction des x positi?es;

dans le plan des x^ y 9 de la direction des x positi?es à la direction des y positives .

Si les mouvements de rotation de droite à gauche autour des mémos demi-axes devenaient rétrogrades « alors il faudrait remplacer les formules (7) par les suivantes :

Pp cos X=P(» cos p — y cos 7) ,

(8) { /^/9cosfA = P(a;cos7 — z cos cl) ^

Pp cos v:=P{y COS « 05 cos p) .

Lorsque , dans chacune des équations (7) , ^on supprime le facteur P commun aux deux membres» elles se réduisent à

(9) p cos X=^ cos 7 — z cos p , p cos fA= « cos a — X COS 7 , p COS v=a5 cos p — y cos a. On peut de la même manière réduire les équations (8) à

(10) pcos >=« cosP— j^cos7,pcosfA=:aîcos7 — z cos a,pco8 v=jrcosa— ajcosp. Enfin on peut comprendre les équations (9) et (10) dans la seule formule

, . ycos-7-«cosfi 2COsa-â;cos7 «cosS-ycosa ,

(11) ^ '- î- = '" = ^-^ =dbf>,

' cos 7 COSf* cosv ^

la lettre p devant être affectée du signe -)- ou du signe — » suivant que les mouvements de rotation de droite à gauche autour des demi-axes des coordonnées positives sont des mouvements directs ou rétrogrades. Ajoutons que» dans Tun et Tautre cas, les équations (9) ou (10)» combinées avec la suivante »

(1») COS*> + C08'tt + COS'v=: 1 ,

donneront

(i3) P' = (j cos 7 — z cos p)" -t- (^ côs a—x COS 7)'-|- (» cos p — y cos «)» 1 . == a^ + j^» 4- «? — j(incosa-4-.jrc<*p4-scôisy)^.

On trouvera donc , pour rexprosa^n de^kpoi^tHUculaire p abaissée du oentoe des moments sur la direction de la force P, \

(i4) p = t (j co» 7 — « cos pY 4" (« cos ot^^x coê y)' + {x cos P— j^ cos «)•]»

Après avoir ainsi déterminé la Taleur de p, on obtiendra celles des angles X, ^, v , par le mo jeu des formoles

-^ jrCOS 7-2 COSp j^«C08a-iFC08 7 , dPCOS Ô-y COSa

l5) COS> = dC^^ ' ^,C08fi = ± ^, C0Si»=3rt l--^i ,

dont les seconds membres devront être affectés simultanément du signe que Ton placera devant la lettre p dans la formule ( 1 1 ) . Les valeurs précédentes de cos "k, cos fx ^ cos v , satisfont évidemment aux deux équations de condition

(l6) COSa COB>-f-COSp COS fA -{- COS 7 COS v = O » 0 COS X -}-/ COS fi -f" ^ COSvz=0.

Or, comme les demi-axes des coordonnées positives forment les angles <^,Ppy avec la direction de la force P » et les angles > > ft ^ v avec la direction du moment linéaire Pp , la soomie

cos a cos X -f- cos p cos f* 4" C<>^ 7 cos V

représente qécessairement le cosinus de l'angle compris entre les deux directions. Donc la première des deux équations (16} exprime que ce cosmus est nul » ou , ce qui revient au Diéme« que les deux directions se coupent à angles droits. De même, puisque le rayon vecteur mené de l'origine au point d'application de la force P a pour projections algébriques sur les axes les coordonnées x,y,z, et forme par conséquent, a? ec les demi-axes des coordonnées positives , des angles qui ont pour cosinus respectifs

Tangle comp|U entre la direction de ce rayon vecteur et celle du moment linéaire aura Mdeomient pour .^oaînus

' ' ' ^ cos X '^y cosyt -{-g cos V

Donc la seconde des ^uatitfns (16) , qu'on obtient en égalant ce cosinus à «éro^ exprime que la direction du moment linéaire est perpendiculaire à celle du rayon vecteur. Ainsi, en partant de cette seule remarque, que le moment linéaire se compte sur une

C 7« ) droîle perpendiculaire , non -8e^le|nent à la force P , mais encore an rayon vecleur, on aurait pu établir immédiatement les équations (16) , desquelles on déduit la formule

/ ^x j'C087-2CO«p 2Cosa-«cos7 a;cosp-jco8a

1171 ' ' ■ ■ ■ 1 ^^^ I ■ I" ■ ■■ni» ^^ ■ ■■■■ — ■ ■

09s X COS^ QOSv

par Télimination successiye des trois coordonnées x^y^z. Ajoutons que l'équation ( 1 4) peut elle-même se démontrer directemeoi* En effet » le rayon vecteoir mené de Torigific au point â^appUcatîon de ta force P est représenté par

et l'angle que forme la direction de ce rayan Tecieur avec oaUe de la force P, ayant pour cosinus

X QOf «4*^ eo» ^^^ < ee>7

aura nécessairemest pour sinus

[(a?C08a+j cogp+gcoSY)*"]* [jr*+y*+g»"(d?co8g+yco8p+gc»S7)*]*

Or 9 en multipliant ce sinus par le rayon yecteur» on obtiendra évidemment pour produit te vdoar delà psrpendioiibm p^ telle qu« la donne l'équation (f4)*

Des formules (i4) et (17) réunie^, on déduit facilement la formule (11). Pour 7 parteoir , il suffit de s*appuyer sur on théorème d^algèbre en vertu duquel Péquatîon

= Tr=-2ï=^etc* y

entraîne toujours la suivante

[frayez V Analyse algébrique, noie II, i4** théorème.] Ce théofteiev i|>{iliqtté> U formule (17) » reproduit [ en vertu de Téquation (i4)l I^ formule (11); mais il ne donne pas le moyen de décider qnet signe on doit attribuer , dans la formule (11), à la quantité p. *

Copc9^0ip wiiiitaniml.qfi0:H»î®^i^ ^<^* ;

, ir, f Jr t Jf ^••••c#»

(79) le croavenl iMraIttnémeiit appliquée» au pouit {A) ^ a pour co<Mrdoiliiéeè 0i,j,:r.. Désignons par i? leur résultante, <)t par

les angles que les directions des forcés

formeai arec les dami^axes des coofdonnée* poailires» Lea équàtÎMtf (4) devieiidroAl

B (yco^e-^z cos h)z=zP{y cosy^^z cosp) -|-P'( jcosy'— « eos.y) 4- etc. , (i8) {/f(*coaa--«eeia)=£=P(»oe»«--«<W7)4*'^'(*c^*'-"«€e«y')H-ctc. , ^ {x cos6 — / cosa)=P(a5 cosp— / cosa) 4-P'(fiD cosp' — j cosa') -^ etc.

Or, si Ton fait varier k point d^application de toutes les forces» en transp .*ant toules ces forces parallèlement k elles-mêmes» les seules coordonnées x^j^z, .> rieront dans les équations (i8). Ces équations doirent donc subsister, lorsqu'on y considère les coordonnées x, j^ z, comme indéterminées; et par conséquent les coefficients de x,j,z, doivent avoir les mêmes valeurs dans les deux membres de chaque équation. En égalant deux à deux ces coefficients, on retrouve les formules (8) de la page4i* Ainsi, les trois équations relatives aux moments des forces entraînent celles qui se rapportent aux projections. Réciproquement, les formules (8) [page 4i] étant données, il est clair qu'on en déduira immédiatement les équations (i8).

Dans ce qvt précède» nous avons supposé qœ le point ( O) , oeatre des moments , coôicidatt aveo l'origiBe des cooniennées» ImegmoM i préstnl qae Ton iraÉsperie oe même œntre ea «b point (O^) dont les coordomiées soieM rspeetivement

et cherchons à exprimer les projections algébriques du moment linéaire de la force P par le moyen des quantités

Pour y parvenir, on observera que, si l'on transportait à-la-fois le centre des moments et l'origine aa posai (O'), les coordonnées dn point {A] par rapport k cette nouveUe origine étant slocs esprimées par les diflérënoés

les projectioDfl algébriques da moment linéaire de la force P par rapport h la même origine seraient égales [au signe près] aux trois produita

^{.Ky-^J^) ^^1 -^ (« -r- «o) COSp] ^

(19) \ i*[(2 — 2o)COS«— .(05— aJo)COS7]^

P[(X— a?o)coSp— (7— J^o)C08«].

Ces trois derniers produits > pris avec le signe -(- dans le cas où les mouvements de rotation direct» ont lieu de droite à gauche autour des demi-axes des coordonnées positives , et avec le signe — dans le cas contraire , représentent donc les projections al)^ébriques du moment linéaire de la force P par rapport au point (O').

Lorsqu'on donne à-4a-fois les projections algébriques d*une force et les projectioos algébriques de son moment linéaire» on peut aisément en conclure l'intensité de la force » la droite suivant laquelle elle agit , et le sens dans lequel elle est dirigée. En effet, soient P la force en question, Pf son moment linéaire, et a,p,7; X,p«v, les angles que la force et son moment linéaire forment avec les demi-axea des coordonnées posjtives. Si l'on suppose connues les six quantités

(20) P ÇOS a , P ÇOSp , P COS7 , Pp ÇOS.X , Pf COSf* , Pf COSv ,

on en déduira immédiatement les valeurs des suivantes

(ai) -P,«,P,v; P;5>,>,f*,v,

c'est-à-dire , les intensités de la force et du moment linéaire , avec les angles qui déterminent leurs directions respectives. On pourra donc construire, 1.* le moment linéaire en grandeur et en direction; ».° une force, non-seulement égale et parallèle à k force P , mais encore dirigée dans le même sens. Concevons cette force parallèle appliquée au centre des moments. Le plan mené par ce centre, perpendiculairement à la direction du moment linéaire, devra renfermer la force P et la force parallèle: et par conséquent , cette dernière devra couper à angles droits la direction du moment linéaire , ce qui aura lieu , si l'équation de condition

(«12) COS a COS^ -+- COS p COS fA 4" ^^^ V COS v = o

c^t satisfaite. Cette condition étant supposée remplie , on divisera l'intensité Pp nu moment linéaire par l'intensité de la force P , pour obtenir la perpendiculaire f abaissée sur la direction de cette force du centre des moments; puis l'on tracera, dans le plan dont nous venons de parler, àeux droites parallèles à la force déjà cons-

truite , et situées , de pari et d*autre du centre des moments » à la distance p. La force cherchée P devra nécessairement agir suivant une de ces parallèles » dans le même sens que la force déjà consruite» et de manière à faire tourner le plan de droite à gauche autour du centre des moments. L'obligation où Ton est de satisfaire à cette dernière condition , déterminera celle des deux parallèles que l'on doit préférer. Quant au point d'application de la force P sur cette parallèle » il restera complètement indéterminé; ce qu'il était facile de prévoir. Car, si Ton porte sur la même droite » mais à partir de deux points différents »j deux forces égales et dirigées dans le même sens , leurs projections algébriques seront évidemment égales, et il en sera de même de leurs moments , ainsi que des projections algébriques de leurs moments linéaires.

II est bon d'observer que l'équation (33) » multipliée par P*p , peut être présentée lous la forme

(sS) PcOSa^Pp C0»> 4" P COSP. Pp COSp 4" ^ COS7. Pp COSv = o ,

De plus» en attribuant des valeurs finies quelconques aux six quantités

PcOêOL, PCOSP» PCOS7;

PcosX, Pcosft, Pcosv; on en déduit évidemment des valeurs finies pour les suivantes

et même pour la quantité

Pp*

Pp .

à moins toutefois que la force P ne s'évanouisse » auquel cas ses projections algé*briques sont toutes nulles simultanément. Donc, lorsqu'on fait abstraction de oe cas particulier , la seule condition nécessaire pour que six quantités , prises au hasard , puissent être censée^ représenter, i.* les projections, filgébriques d'une force; s.* les projections algébriques de son moment linéaire , se réduit à celle que fournit l'équation (s3) , c'est-à-dire , à l'évanouissement de la somme qu'on obtient en multipliaul deux à deux les projections algébriques correspondantes, puis ajoutant les produits ainsi formés.

En vertu des principes que nous venons d'établir , il est clair que , si , plusieurs forces étant appliquées au mênie point , on donne , i."* les sommes

(8«) d» leurs projection» algébrique* sur les «z«s des at, y et <; >.* les sommes

des projections algébriques de leurs moments linéaires sur les* mêmes axes, on pourra déterminer Pintensité de la résultante, la droite suivant laquelle elle agit» et le sens dans lequel elle est dirigée. Gomme les six quantités

^. y. Zi

lit M» N,

représenteront précisément les projections algébriques de cette résultante et do son moment linéaire , on devra obtenir une somme nulle » en les multipliant deux à deux et ajoutant les produits. On aura donc

(24) L;r + ^fr+;v2=o.

De plus» la résultante ne pourra s'évanouir que dans le cas particulier où les trois quantités

seraient nulles simultanément. Soient toujours R cette résultante « Rr son moment linéaire, et a,b,c;ltm,n, les angles formés par sa direction et parcelle du moment linéaire avec les demi-axes des coordonnées positives. La valeur de R, déterminée par la formule (ii] de la page ^i , sera finie et différente de zéro, à moins que les quantités X , Y , Z , ne s'évanouissent à-la-fois. Si Ton fait abstraction de ce cas particulier^ les quantités

auront toujours des valeurs finies , déterminées par les formules ( i s) de la page 4 1 » ot par la suivante

et. il en sera encore de même des valeurs d« t, m, n, foarnies par les équations (6) , à. nMM'nS' toutefois que r ne s'éranouisso * o'est-à-dire , k moins que .les trois quantités

L.U,N ne devicuucut nulles en mémo temps. Mais, dans ce dernier cas , le moment Kiiéaire

se réduHaot h zéro » il n'y aiiraft'^i.lMa de chercher lès iingle» /, m, n^ ipie sa direction fait avec U» demi ax^ xlet coocdoiiDées -poslUyefi. Daas la même hypothèse » la brce Jt agtrail aiimunt «ne droite vmeiiée par Je centre des momento, de manière k ionner arec. ces demi-axes :lea angles « j. îfr» «« . AjoeiMs ifue » dans le cas général , la direction du moment linéaire , Rr detadt ôtreperpéndtculairia à celle de ta résoltatile /T, les Talears de a, b, c, l^ tn, n, doivent vérifier Téquation de condition

(sG) ces a cos / -f- cos ft cos m 4" cos e cos n = o.

Or, cette équation, en vertu des formules (la) [page 40 ^^ ^^ formules (6) , 5e réduit }k

, , LX-\-'itY + NZ

(«7)-. jr, = «»

et par conséquent à Té^pialion (24)*

Les valeurs de X , Y ^ Z^ L^M* Pf % ou» ce qni revient an mâme, celles des quantités B ^a^ bp e^r, l, m,n, sjupposées connues^ ne suffisent pas pour déterminer le point d^appticatîon de la force B. Soient ç» », (» les coordonnées de ce même point. Si Ton adopte , pour les demi-axes des coordonnées positives, la disposition la plus ordinaire , on ^k>nrnl donner aux équations (3) la forme suivante

A (n cos a — ç cos 6) = /i ^ ^ (28) / BUcosa — 5cosc)=ilf,

i?(Scos6 — u cosa) =N .

On en conclura » en ayant égard aux formules (9) de la page 4i »■ («9) ( Xti—Zi=M,

II semble , aii premier abord , que ces ti'ois dernières équations fournissent les moyens de déterminer les trois inconnues $ » n » ^ en fonction des six quantités X , Y , Z , L,M , N • Mais il fant observer que, si Ton | ajoute les équations («9) ,. après avoir multiplié la première; par X, la seconde par Y, la. troisième par Z, on retrouvera la condition (a4)«. Cotte condition devant top jours être remplie par les valeurs données des quantités X , Y, Z , L, JU ^JV p il en résulte que deux des équations (slq) entraînent la troisième. Donc il n'existera en réalité o'ue deux équations entre les coordonnées S» n » c* Ces deux équations étant du premier degré , les diiférens systèmes de valeurs qu'elles fourniront pour les coordonnées (^^^ correspondront à des points situés

sur une même droite. Cette droitesera préeùéméni celle suîvatit laquelle agit la résultante R. Sa projection sur le plan des jr$ z sera représentée par la première des équations (29) » sur le plan des s » sd , par la seconde , et sur le plan des x , y, par la troisième. Si Ton fait passer «ne parallèle A cette même droite par l'origine des coordonnées , les trois équations de la parallèle seront respectivement

(3o) «Z— çr=o, ç^— ç2=o, çr— i)J:=o,

et pourront être remplacées par la formule '

à laquelle on parviendrait directement on observant que cette parallèle est précisément la droite suivant laquelle agirait une force qui , appliquée à Torigine » aurait pour projections algébriques sur les axes » les quantités Xp Y , Z» -

Si Ton plaçait le centre des moments au point qui a pour coordonnées œ, , y. » s, , les équations (39) se trouveraient remplacées par les suivantes

(ç-a,,)J'«.(,— j.)^=/»r. En «apposant le même point situé sur la direction de la for^ R , on aurait k-la-fois (35) ^ = 0, ilf = o, iV = oj

ce qui permettrait de substituer aux équation! (Sa) la formule

(54) ^ir-ir-^Y^

de laquelle on tire immédiatement la suivante

(55) ■ ' ^sn ' ^M, s= * ■ m