Problème. Déterminer te rapport des deux itttégrateê

(4l) / X'«-'C0Sf fàSXjdx, (42)/ y "TV -r- K J.^'-''dx,

r et s désignant des quantités positives.

Solution. Pour résoudre la question proposée , il suffira de transformer les intégrales (4i) et (42) en intégrales extraordinaires à l'aide des formules (3i) et (34)* Eo effet, on tire des formules (34)

(rir \ , rir i , ' ^^ -

'cos 2sa5 =;a5'cos — cosasaj+ac'sm — smsso?

caS2s:r /^'ao dt sinaso; v^'ao . dz

= — ; — r / cosxz — ; — 7 A sinxt — -—

r(-r)y o ^ ^ ' jt+i et par suite , l'intégrale (40 peut être réduite & l'expression

la valeur de Z étant

Z= /"^e-"C08(2s + «)«.rfîB = Y«"'^''"*'^' • On aura donc

x'e^'cos — — 9sa5la»=-- — r / «••*"•;' — rrr* .0 La J r(-r)./ o «'+»

De plus, on tirera de la formule (3i)

(8-a?V^My+(s+a?V/:i)' 1

1 •»'« di

et par conséquent, l'intégrale (40 prendra la forme

(65) la valeur de Z étant

e""'*C08«aj.rfx= — e * • o a

On aura donc

(44) P"^ 'i^-x\riy+is+xi/r,y ^^,.^^ ^' /^^'«-'-^•J^

^ o a rj[-r)e/ o z'+«

Si maintenant on compare l'équation (4S) à Téquation (44) » on trouvera

On se trouve ainsi ramené à une formule que nous avons établie par une autre méthode dans le Bulletin de la Société philomatique de iSas.

Corolfaire, Si, dans Téquatien (45) on suppose r = n, n désignant un nombre entier , on aura

cosf asaj| = (-^i)«cosasaî ,

si n est pair , et

cosf — — 28aj| = (— i) » sinassD ,

/#/*s M •« 1. 3. 5... (an- 1 ) (46) / aî"e^''rfx= -i i

si n est impair. Si , dans la même hypothèse , on développe le second membre de la formule (45) , et si Ton a égard à l'équation

on trouvera » pour des valeurs paires de n ,

/oo a;'c""'cos 2saît rfaî=

et pour des valeurs impaires de n

«■«"••'sin2sa;.rf«=

JîziTrFs-r-'r n(n-i)^i y ,n(n^^)(n-2)(n-5)/,^4 "l

^-')* — r~v — r-U;+ ru U;- J

La formule (4) s'accorde avec l'équation (i8) de la page 54*

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