Théorème. Si, en attribuant au module r de la vœriabU

zzmr (cosp + V^^ sinp) des valeurs infiniment grandes, an peut Us choisir de manière que les deux fondions

(.6) A±tft±, . (.7) /«-/(-)

deviennent sensiblement égales, la première à une constante déterminée jf, la seconde à une autre constante ^, , ou du moins de manier^ que chacune des différences

reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse dHétre infiniment petite, en demeurant finie , que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de Cangle p ; on aura

pourvu que, dans le second membre de Inéquation (ao) , on réduise le résidu intégral.

à sa valeur principale.

Démonstration. Pour déduire cette proposition du théorème 5 dé l'article précédent, il suffit de substituer à la fonction f{z) ,.* dan» la fbroNile (itj4) de la page 275, le rapport

et d'observer que, dans Thypothèse admise, le produit

se réduira généralement à

pour des valeurs infinies du module de s. , Cela posé, la formule citée se trouvera remplacée par la suivante

qui coïncide évidemment avec l'équation (2o)« Epccmpks. Si l'on prend

on trouvera

/(*)+/(-») A') -fi") co»T

et par suite

Gela posé , la formule (so) donnera

(21) col — = aî4.<l^ .

= 35—205 ( ■ - + , + ■ -4- elc-

■ ff>fl?»-l ^K^X^-K 9«»fl»»-l

Soit encore

ba sm

ca*

a« 6 , c désignant trois coDAtanteii réelles ou imQgijiaires; et sup^o^oos le module du

rapport — égal ou inférieur à — , afin que la fonclion f{z) conserve une valeur finie quand on attribue à z — a une valeur tr^is-peu différente de zéro. On aura sensiblement , pour de très-grandes valeurs du module de z ,

a c'a* ae '

et Ton en conclura

Cela posé, la formule (20) donnera

ùa . ba »ui ^ sîn

ca sm

sin

siu'

ca^

COS — Sm —^ Cax COS Sin K ^^^a^r-^rj

cax

®T ^^ — ^^® ^^ »in -îiiliil-ii ca;»

ce . . c c

sîn — cosilî^SEIi .^» • ^^^ l^V^^-^^'c)

sm — COS ca' sin— — cos— ^î- ^ i ca*

ca*-7r(a"'X') air ca'-27r(a»-aî')

( .84) Si , poor fixer les idées , oo prend 6 = i , c =:= > , oa tirera de l'éqaalion («4]

oo.y'i'+"'

.in V"<"->

aax

t/a*Ciir + a)

afl"

V^aîr(j*..)

ao'-a,r{fl*-«')

co, l"'(S.+.)

aa'

aux

3lT

sl„ f*-».-.)

V/4«-(4^ + »J 3a"+4T(a'-«') V'4x(4«-î) aa'-4îr(a"-iF'}

Si l'on prenait 6 =; i , c = i , l'équqtion (94) se réduirait è la formule (3o] de la

page 1 59 du premier volume. Hais , comme on aurait alors — = i > — , on ne foat-

rait plus compter sur l'exactitude de l'équation (a4)< Nous avons effectivement recoDDu par un calcul numérique que la formule (3o] de la page i3g du premier volume esl inexacte.

Si , après avoir développé les deux membres de l'équation (a^) suivant les puissaucn ascendantes de x, on égale entre eux les coefficients des puissances semblables, on obtiendra de nouvelles formules, savoir.

. estait cosii2E±2. <5sia-î:!lco8i22EE±±

sinfr 9 e e I g ^^c , ^^^

^8in — C08 ^ ^ — ^ C81D— -C08— s: i -1,

^^ ir(ir-r) air(air-r)

- , - cco» — 81D —31 — i--LJ- CC03 sm "^ .^ '

bCOBO 0 C ^ I ^ ^1

CCO0 SID- ^ CCOB 61D — I ^ '

(tr-c)t/»'(^-c) («w-u)4/a»-(a».c) ^^'"'

etc

puis , en po»iDl 6 =^ , c = a « , on en conclura