I.*' Théobême. Si, en aUribuant au module r de la variable

z=:r (co»/> 4" V/^ sinp)

tlcê valeurs infiniment grandes, an peut les choisir de manière que la fonction f[z) devienne sensible/ment égale à une constante déterminée ^ , ou du moins de manière que la différence

f^este toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse (Cétre infiniment petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de Cangle p; on aura

pourvu que, dans le second membre de C équation {2), on réduUe le résidu intégral

( »78 ) à sa valeur princtpaUé

Démonstration. Pour déduire celte prepoeition du premier théorème de l'article précédent, il suffit de substituer à la fonction f{^)» dans la formule (s) de la page sSS, le rapport

et d'observer que , dans l'hypothèse admise » le produit

deviendra généralement égal à ^, pour des râleurs Infinies de s. Gela posé» la formule citée se trouvera remplacée par la suivante

qui coïncide évidemment arec l'équation (s). Exemple» Si Ton prend

la fonction

/(-) = /[»• (cosp + 1/7 sînp)]

conservera une valeur finie, quand le module r sera un nombre infiniment grand pris dans la série

— — , TT • • 8 If • — — » d ir , elC« • . ff

et celte valeur différera Irès-peu de l'unité» à moins que l'angle p ne defienne seosiblement égal à db — . Pur suite on trouvera ^==1 , et l'équation (a) donnera

= l + -2-— / • V^^ST*! 3l? 5^ 1

tang

3ïr I

( «79 ) ou , ce qui revient au même ,

Dans le cas particulier où la constante g devient nulle » on obtient , à la place du théorème premier » la proposition suivante.

s.* THioBÊMB. SI, en attribuant au moduU r de la variable

z = r {coup -f- |/rr sinp)

des valeurs infiniment grandes , on peut les choisir de manière que la fonction f{z) devienne sensiblement égale à zéro, quel que soit d*ailleurs CangU /> » ou du m4>ins de manière que cette fonction restô toujours finie ou infiniment petite , et ne cesse d^étre infiniment petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p ,' on aura

pourvu que, dan» te second membre de fiquation (5) , on réduise te résidu intégral

à sa valeur principale.

Exemples. Si Ton prend successivement pour f{x) les quatre fonctions

9\nx * cosa? ' e'-«— ' ' «'+«—' '

on tirera de la formule (5)

- . * éar é^ m m

(«-«) ((cosz)) \*+7 *"r/ 1*+-" «-— /

to)rrî7^

-=lr

OU , ce qui rcvieut au même ,

\ti^ixy/Tx v-xyTij \3ir+M\/ri 5)r-airi/.~,/

9jr'-43!»

a5jr*+4«'

Ces diverses équalions s'accordeDt avec celles qu'EuIer a données , dans Y Introduction à C Analyse des inftnîmtnt petits. Si^ après avoir développé les deux membres de chacune d'elles suivant les puissances ascendantes de œ, oo égale entre eux les coefllcienU des puissances semblables , on retrouvera les formules connues

Les équations (i4) > ^^^^ lesquelles les fonctions —, —, — > ••• sont précisément

les nombres de Bernouilli» pourraient être immédiatement déduites des formules (71) de la page 549 ^" premier volume.