II

restât toujours fini ou infiniment petit , et fini seulement dans le Toisioage de certaine*

valeurs particulières du quotient — » on pourrait en général aiErmer que les mêmes

conditions seraient remplies par Tun des produits

^ bina?

/(?)./(-«) Binai

sia«s

et le Ibéorême a de la page aSS ou le théorème 4 de la page 976 donnerait

En combinant cette dernière formule avec l'équation (49) , on en tirer»

(58) [/(») -/(— i)]sin»+t/(»)— /(— 9)]sihaa + ... = -i

irSinas sinirs

Les formules (67) et (58) continuent de substituer » dans te cas méine où aucun des produits (1 1) * (54) n® satisfait aux conditions énoncées » pourvu que ces conditions soient remplies par Tune des expressions (55), (56).

Lorsqu'on substitue, dans les formules (53); et (58) « la valeur de m tirée de Téqqation (46) » on en conclut

(59) t/(0+/(-Olc<»«-[/C«)-t-/(-»)lco««-hi.-=<î^^^^^((^)) r

(6o) [/(,)-/(-,)],in.-[/(a)-/(-5i)]Mn.«4-.= <i^4Fr^ ((/(»)))•

siDirf

Pour moatrer ratilité de ces diverses formules , concevons d'abord que /{z) désigne une fraction rationnelle. Si» dans cette fraction, la différence entre le degré du dénominatear el le degré du numérateur surpasse l'unilé, oo bien enooroj si , cette dif* ftrence étant réduite k Funité , la coDStaote « n'est pas précisément égale à ?r , les expressions (So) , (55) rempliront les conditions prescrites , et par suite les équations (53) » (58) feront connaître les sommes des séries renfermées dans leurs premier» membres. Ces séries ne dj£f<èrent pas de celles que nous avons considérées . dans le Mémoire présenté à l'Institut en i8i4 [voyez les Mémoires présentés par divers safants et publiés en 1897^ fH^ 7^^]» ^' * P^"'^ ^^^ '^ >^^ » ^^ P^*®

$ désignant une quantité réelle ou une expression imaginaire , on tirera de Téquation (53)

(61) L-L -|--l-]cosit-l- ( 1 jcosaa4- ( — =-H =r)cos5a-h..=ir-^

SiOir^ s

et de réqulMHi (58)

(6a\ lJ L. ] sina4- f ^| sin aa -f- ( — r r-Isî

, ^ «râinzJ

smoa4-.« = :

smns

Les formules (61) et (6s) coidcident avec deux équations données par Euler» dans le tome II des Opuscules analytiques , et peuvent s'écrire comme il suit :

cosa cosafl ^^ cosSa i n cobols

smn

asinaa SsînSa , ir sina«

Si Ton y remplace s par i{/^ , on en conclura

a smirs

*rj.^-»#

^09* cosaa . coso/t , 7: «•*+•

- sin<t . %m^* , 5wn8a . «^^ ***-»""

Lorsque » dans les quatre formules précédentes , on substitue la valeur de a tirée de l'équation (46), on trouve

.^ . COSoe ces a a COsSa ic COSas 1