TT»*" <C
tffISÎDf
rfr ((/-)) •
Cûdsme on aura d'ainèurs
'^^>"Itt5: i.2.3.4.5"*""J"t\ 1.2.5* 1.2.3.4.5 ■*'•'; * sItts* 1,2.3.4.5 +-j '
on tirera de la formule (21)
* + "jTT''^ "Pï"+*^4Tr'+ •••
mir
mm
\ p^q^r-k-.. {i.^Jù.,p){\.^A\\qY^\.^ji..r).. \r3'5/ \*' 1.2.3.4.5/ Vi. 2.3.4-5.6. 7/ " )
le signe S indiquant une somme de termes semblables à celui qui est renfermé entre les parentl^èses » et devant s'étendre à tous les systèmes. de valeurs entières nulles ou ptsHîves de^ f 9 9 « f* » ••• ' qni vériftqjt ta feonditiotn
Ifë'tJiiSinë'slrbtipfehd
IL* ANNiE.
la formale (i5) donnera
puU , on en conclura, en posant 4^ + ^ = — ^ t
111 i /wX»" r «ri(i-8înr) 1
Gomme on aura d'ailleurs
(27) 1(1— sinl)=lfi— — ^ ^- t7-r + -)
on tirera de la formule (a6)
iSM ■ lv*OT * m*M
/M ''"si ' i.a.5,.,(p-fy-fr+...) /j\ /» / I \ ^ / I y
le signe S indiquant une somme de termes semblables k celui qui est renfermé entre les accolades, et devant s'étendre. -à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de p , f , r , ••• qui vérifient la condition
(«9) > + 8? + 5r 4* «,..=;: am.
De plus , comme on a évidemment
(5«) » + 5ï^+iTr+-psr+-"=(»--ir)(« + i7r+3ir+4ir+
on peut affirmer que les sommes indiquées par le s^ne S dans les équations (aS) t\ (a8) sont entre elles dans le rapport de a"" — i k l'unité. C'est ce que Ton vériÇera aisément dans les cas particuliers. On trouvera, par exemple >
(3oS)
-i ■ -fa* i)f'f ' ]• ' )
Q vC* • • •
Si Ton prenait pour ?alear de f{t) , non plus le rapport -tt — ^;;7- , mab le rapport
ftiii-f»
alors , à la place de Téquation (a8) , on obtiendrait la formule
^^') • — 5.-.+. '♦•■57=+; prHr-l-- =
» Va/ (T+f+r+Tir (i.a.3...p)(i.a.3...f)(i.i.3...r)... Vi/ \ i.».3 / U-a-^i-^J "'j»
le signe S devant s'étondre i^ tontes les ralenrs entitees , nulles eu positives , de p § g » «*,... qui Térifient la condition
(33) p-4*37 + 5*' + -t = sm-|- !•
Les formules (93) et (5s) , dont la première était déjà connue [voyez le i.** volume, page 349], comprennent» comme cas parlicuUers, les- équations (71) [ibidem], et les équations (i5) de la page aSo.
Supposons encore que l^A pff<eaBe- . ' ' \' 'T ,
s désignant une quantité réelle ou une expression imaginaire. La formol^ (i5) donnera
puis on en conclura , en posant « = — ^ — - s , .
**" (^+1)'" ^ (*-i)"* ' (i+a)'» • t*-a)'« • ^ di ({f"))
r rfl(c08<-COtir<.SÎnf)
dt {{t"))
Comme on aura d'ailleurs » pour des yaleurs de t peu différentes de zéro , (36) l(eotl — eotiir^.sinO=^
ft P <5 \ 1 (t t* t^ \»
•— — C0lirj+ — — --cotir#«— .,. — — l -r COtir#+ — ^ — ^COini — ... — ...,
on tirera de la formule (55)
^o j i ' i.a.3...(p+y+r-f...) /cotir<\/»/ i \^/ cotir«\'' |
ie signe S devant être étendu à toutes les valeurs entières» nulles ou positi?es» de P t 9 > r,... qui fiérifient l'éf uaiten (a4). Si , pour 8x6^ les idées , on réduit le nombre m à l'unité , la formule (Sjj donnera ^
(58) 4.__4.i.4.__^4.___4....==,cotw#.
Si« dans odid défère, ^ouraupUce • fïït,ê^Tt , -ontroiifeni
(^9^ T + Tn^ + TIFT + Ti^^ + Tn^-^"'"' >'*-,-» •
Les formules (38) et (Sg) coïncident ^veo les équations connues
' il .1»! .■• :i ;ci. ... V I»' ^iJii »!'' ...
i 1 I ' 1 ir
1+*" 4+*» 9+*' •+■••• 3, #«r*-tf-«-' a«* *
Concevons k présent que , f{z) désignant iine fraction rationneUe dans laquelle le
( So5 )
degré da dâiiominateur surpasse le degré du numérateur , el a, b deux coDstantes positives dont la première sott la plus petite, ou prenne successivement pour f{z) les fonctions
Alors les équations (i5) et (16) serviront à transformer les séries comprises dans leurs premiers roeoabres. Ainsi » par exemple , si Ton prend
on tirera de la formule (16)
i^) 777^ CAO -/(- 03 + ^'*.7Z, [AO-A-«)] +
r <«co»ir» ê<'+e— ({f{.*)\\ Si l'on «appose en particulier f{t) = — , on trooTera
»• »• a»» . •«* SiH 5*»
d * +• • air 1 • ^ +« * aair , 1 « ^ +# ^ 3fljf . .
-~r— — T«a-r— • ;; ^oos- #: + » ^^ — ^"Tïrr^îo* — r^-f'-V
Si les produits (11) et (la) ne remplissent, ni l'un ni Vautre , les conditions que nous avons indiquées, on ne pourra plua se servir des formules (i5) et (16) pour sommer ou transformer la série (i) ou (3); mais on parviendra souvent au même but à l'aide des nouvelles formules que nous allons établir.
Si, dans la formule (7) , on remplace successivemenl f(z) par les deux produits
(5o6) /(«) e(}êaz , f{z) ixnaz , a détignant une quantité positire » on obtiendra les équations
(45) [/(0-/(-0]«in« + C/(«)-/(-»)]»iD.a + ... =<!:/{*) (( '""1^" )) '
Soit d'ailleurs a kn celui des multiples de la circonférence air » qui diffbre le moins de la somme a + ^ » ^^ *orte qu'on ait
(46) a-4-ir = aAir-t»fl[,
k désignant un nombre entier » et a une quantité positive ou négatire , mais comprise entre les limites — n , ^^n. On aura éridemment , pour toutes les valeurs entières j positives ou négatives, de la variable z ,
Icosascosir^ = cos (a -4* ^)^ = co^ {^kvz -f- >s) = tozaz , mazcoênz =: sin(a -4* ^)^ = sin(»ibiri; 4* *'} == siû'^ •
Par suite, les formules (44) ^^ (4S) pourront s'écrire comme il soit :
(48) Ui^)*f{-^)^cos» + m^)*/M}cos*a^...=>.l'^([^^^^'j).
(49) C/(0-/(-0]«in«*C/(«)-/(-«)]«n«« + ... = <!^/(*)((~^))-
Supposons maintenant que Tun des produits (11), (19) remplisse les conditions précédemment indiquées. Il en sera de même » k plus forte raison , de l'on des produits
sinir^
et le théorème a de la page 2 58 ou le théorème 4 d® I^ p^go 276 donnera
Eo combinant cette dernière formule avec l'équation (48) , on en tirera
(55) [/(!) + /(- i)lco,« + [/(«) + /(-«)lco.aa+...==.<C-^î^^((-^)).
II est lion d'obsenrer que les formule» (Sa) el (53) subsistent dans le cas mAme eii aucun des produits (n)» (la) ne salbfait aux conditions énoncées, pourru que ces conditions soient remplies par Tune des expressions (5o) et (5i).
Si Ton supposait la fonction /(s) telle que , pour des yateurs infiniment grandes , mais convenablement choisies , du module r de la Tariable z , Fun des produîta
