SUR UN MÉMOIRE D'EULER

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On trouTO/dans les Aeia AeadéfnlœPeiropoUtanœ pour famiée 1780, un Mémoire <f Euler qui a pour litre Nova Methodus fraetioneê (juaseumque tatianaUs infraeticnes sitnpUeeê reêolvendû Ce Mémoire , dont je n'ayais pas connaissance à Tépoque où j'établissais les bases du calcul des résidus, a defs rapports assez directs avec ce même calcul pour qu'il soit convenable de les signaler. Le procédé que Tautenr emploie pour déduire

d^une finrction rationnelle f{z) = 7^ « dans laquelle P, Q désignent deux fonctions

entières de la variable z » les fractions simples^ correspondantes à un diviseor linéaire s — a de la fonction Q , consiste à fiiire croître la valeur a de z d'une qnan-

tilé infiniment petite «1 , puis à développer la fraction -^ suivant les puissances

aséeddafit^ de « , en posant « xz: a ^- «1 » et. enfin à chercher » dans le développe* ment obtenà , les termes qui deviennent infinis pour e» = o , c'est-ik^ire » ceux qui renfbrùienl des puissances négatives de 'z — a. Il en résulte que., dans le cas particulier où h fonction Q est une ftenle fois divisible par le fiicteur z — a, la fraction

simple qui se rapporte à ce facteur, et se présente sous la forme , a pour nu^

mérateur le eoeificient de — dans le déveloj^ment de /(a 4-^) » ou ce que j'ai nommé le résidu de f{z) relatif à z = a. 11 serait aisé d'en conclure que la fraction simple » c'est-à-dire» la partie de /(s) correspondante

au facteur z — a est précisément le résidu de ^ ^^ relatif à la valeur a de la

variable u^ ou ce qui revient au même , le coeflicient de — dans le développement <lu rapport

suivant les puissances ascendanles de «»t Mais Euler n*a point énoncé cette proposition , comprise dans la formule (5) de la page 87g , et qui, s*étendant au cas même oii la fonction Q devient divisible par une puissance entière quelconque de 2— a»

fournit,pourla décomposition de — en fractions simples » une règle uniforme » égale-

ment applicable ^qoolle que soit la nature des racines , réelles oa imaginaiiea , ^es ou inégales de Téquation Q = o.

L'illustre géomètre que je viens de citer observe encore que le procédé dont il a fait usage peut être employé à la décomposition des fonctions transcendantes en fractions rationnelles. Mais les huit dernières pages du Mémoire, qui sont relatives à cet objet, oflrent 8eulemej:it un exemple de cette décomposition, et n'indiquent pas les conditions auxquelles les fonctions transcendantes doivent satisfaire pour que le procédé dont il s'agit leur soit applicable» Au reste, on concevra facilement comment il a pu arriver qu'Ëuler, dans son Mémoire., n'ait rien dit à ce sujet. Car la recherche des conditions dont nous venons de parler , et des propositions fondamentales qui s'7 rattachent dans le calcul des résidus, exige la connaissance des relations qui existent entre les résidus des fonctions et les intégrales définies. Par conséquent elle suppose [voyez le 1.** volume des Exercices, pages gS et suiv.] la détermination de la différebce ei^ les deux valeurs que peut prendre une intégrale double suivant l'ordre dans lequel on effectue les intégrations. Or cette différence a été signalée et calculée pour la première fois, à l'aide de la théorie des intégrales définies singulières, dans le Mémoire qae j'ai présenté k l'Institut le 28 août i8i4» et que l'on trouve inséré, avec le rapport approbatif de MM. Lacroix et Legendre , dans le recueil des Mémoires des savants étrangers pour l'année 1887.. Quoiqu'il en soit, la fonction qu'Euler a choisie pour exemple, étant une de celles qui remplissent les conditions énoncées dans le 4«* théorème de la page 389 , vérifie l'équation (36) de la page s go ; et en eflet les calculs effectués dans la dernière partie du Mémoire que je viens de rappeler conduisent définitivement Fauteur h une formule qui n'est que le développement de la suivante

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