L'ORDRE DANS LEQUEL ON EFFECTUE LES INTÉGRATIONS
Dans mott prooifir' Mémoire sur les intégrales définies, présenté à l'iBstitut le as ioûi i8i4 9 ]^i remarqué qu*mie iniégaaie double devient quelquefois indélermtnée » et qa'alors elle prend deux Taleurs différentes suivant l'ordre qu'on établit entre les deux jDtégmtioDs. Or 9 la diffi&rence de ces deux valeurs peut être calenlée directement» lonqui'l s'agit de cas particuliers. Mais on peut aussi la déterminer en général et à priori, k l'aide des intégrales singulières dont j'ai développé la théorie dans le Mémoire de i8i4 « dans le Bulletin de la Société philoma tique de iSas » et dans le résumé des Leçons sur le calcul infinitésimal. Je vais revenir un instant sur cette détermination , et je m'atta* cherai de préférence à quelques intégrales doubles dont la considération fournit les moyens d'évaluer un grand nombre d'intégrales définies.
Soient v {^fj) » xi^fj ) deux Fonctions propres à vérifiier l'équation
^ ^ dm dj "
Désignons d'ailleurs par V{xpy) l'un quelconque des deux membres de l'équation (i) » par x^^X deux valeurs réelles de la variable o) « et p^ "jr^ » y deux valeurs réelles de la variable y. Si la fonction ¥{x,jr) reste finie et continue pour toutes les valeurs des variables a; et ^ renfermées e^lre les limiles op sr d»«» m^=^X . y =7» » y^=zY ^ on aura
y^X pY pY pX
I F{x,y)dydœ= I I T\»,y)dxdy,
OU y ce qm revient au même »
iS
Si> au contraire, la fonction F{œ,y) devient infinie on indéterminée pour on ou plusieurs systèmes de valeurs de œ et de jr compris entre les limites x^^X; y^^Y , Téquation (3) cessera d'être exacte , et l'on aura
y-'X r>Y pY nX
I F{«.y}dydx= I I V{x,y)dxdy~-^ , a;» »/ y. J y*J Xi
ou , ce qui rericnt au même ,
A désignant la somme de- plusieurs intégrales singulières [voyez la 34** Leçon de calcul iniinkésimal ]. Concevons , pour fixer les idées , que les systèmes de valeurs qui , entre les limites ci-deasus menliomiées , rendent la fonction F{x,j) indéterminée ou infinie ^ se réduisent à un seul » savoir , ai = S » / = n . Alors , en représentant par c une quantité infiniment petite, on trouvera [voyes encore la 34** Leçon de calcul infir nitésimal }
Il importe d^observer que la condition (i) sera toujours vérifiée « si Ton prend
z désignant une fonction réelle ou imaginaire des variables x^ y. Supposons en particulier
(8) z = x^y^. fi.)=—-±^^
a,^l^ désignant deun constantes belles , et m on nombre entier qnefconque. Les formules (7) donneront
et la valeur de ^ , déterminée immédiatement par l'intégration , sera Tune de celles que nous allons indiquer.
Considérons d'abord le cas oh le nombre m se réduit à l'unité. Dans ce cas , on a évidemment Ç = a, 1 = 6.
et l'on lire de l'éqaation (5)
(»0 A l/nj^^ ^^^^^^j^^ x,.a+(y.b)i/r,j'^^
OU , ce qui revient au même ,
r^ (y-i)dy f^ iy.b)dy
J (A:-«)«+(y-*)> "^ J («-,.)»+(y-A)» /*^ (Y-b)dm r^ {b.y,)ds
Si maintenant oD'vffectoe 1m int^;ration8 indiquées, on reeonnattra que, dans la formole (ïs) , la partie réelle du second membre s'éTanenit, et l'on trouvera simplement
Y'b J-Vo T'-b i-Vo
+ arctang y^ + arcUng-^-^lî + arcUng-^^ + aretang -^-^
pourvu que Ton adopte les notations dont nous nous sommes toujours senis, et que Ton
désigne par arctang os celui des arcs compris entre les limites — - — » 4" - » «qui a
pour tangente la yariable x. Enfin, comme » en admettant ces notations, cm aura pour des valeurs positives de x
1 ir
ftrcUmgo? -{- arctang-- =- »
et pour des valeurs négatives de 09 .
arctang œ -f- arctang - = — - ,
on conclura de l'équation (iS) » en supposant a renfermé entre les limites x^,X, et b entre les limites yo^Y $
(i4) ÙL=i%n\/Z;;
au contraire » on trouvera » comme on devait s*y attendre » (l5) A=o,
si la quantité a est située hors des limites x^ttX, ou la quantité b hors des limites jo%y ' Alors , en effet , les fonctions t(o?9j) t x(^»/) déterminées par les formules (lo] , et par suite la fonction F(a9,j) cessent de prendre des valeurs infinies entre les limites cb = Xo, a? = ^» y=zy^^ y=,Y ^ Donc alors la formule (5) doit se réduire à l'équation (3).
Si la quantité a était équivalente à Tune des limites x^^X^ la quantité b restant comprise entre y*» et F» ou si la quantité h était équivalente à l'une des limites y^^Y ^ la quantité a den^eurant comprise entre Xo et X . Tune des quatre premières intégrales de la formule (is)» et par suite la partie réelle de a deviendraient indéterminées. Mais, en réduisant les int^rales comprises dans les formules (il) et (is) & leurs valeurs prindpaUê, on ferait encore disparaître la partie réelle de à » et Ton tirerait de la formule (is)
(i6) A = ir|/r7 .
Concevons» par exemple, que l'on ait a = A', et que b soit- renfermé entre les limites y^ , K. Llnt^ale
aura une valeur générale indéterminée [voyez les 94** et a5.* Leçons de calcul infinitésimal]. Mais, si Ton réduit cette intégrale à sa valeur principale, c'est-à-dire» à
--^^j , l'on tirera de la formule (ta)
arckang + arctang-
+ arctâng + arctangT
ou , ce qui reyient au même » A. = ir (/CT .. U est boa d'observer que la valeur de ^ » fournie par l'équation (18) , deviendrait nulle» si la quantité h cessait d'être renfermée entre les limites jo$Y.
Si les quantités a et 6 étaient à-la-fois équivalentes , la première à Tune des limites sCo » X\ la seconde à l'une des limites y^^Y ^ il ne suffirait plus , pour faire disparaître la partie réelle de A » de réduire chacune des intégrales comprises dans les formules (11) et (19) à sa valeur principale. Concevons , pour fixer les idées, que l'on ait en même temps
ei de plus a>« <^ , y^<Y. Alors , dans le second membre de la formule (1 a) , les deux int^ralcs
defieudropt infinies, et leur différence indéterminée. Mais, si, dans les formules (11) et (is), l'on remplace les limites supérieures des intégrales relatives à x eik y , MToir , A et y par les quantités « — cet6 — *, * dési|uaDt un nombre infiniment petit , ou , en d'autres termes , si l'on suppose ^ déterminé par l'équation
^^ / ((y-A)i/r. '"*.-a4-(r-*)V^.) ''^ J , (^~*-a+{y-*)vr.)*'*»
la formale (la) se trouvera réduite à
Si maintenant, après avoir effectué le* intégrations indiquées dans la formule (as], on suppose t = o , on trouvera
(t5) A = j arcUûg — ^ + arctang 4— ^ 1 1/^ »
et par coDsëquent
On arrivera généralement au même résultat , m , la quantité a . étant équivalente à l'une dea valeurs XofX delà variable Xg et la quantité 6 6 Tune des valeurs y^, y <le la variable jr , on remplace , dans les formules (i i) et (i n) , la Umite x. ou A^ des intégrales relatives à a; par a db c , et la limite jo ou Y des intégrales relatives à jr par 6 d= c .
Concevons à présent que, les fonctions <t{x,y), xi^^'X) ^tant déterminées par les équations (9) , on laisse au nombre entier m une valeur quelconque^ On tirera de la formule ^5)
y^^ \ri.dy f ^ \/r,.dj
^, . . (r.-*)iA]'
puis on en conclura , en effectuant les intégrations
Toutefois , la valeur de A pourrait cesser d'être nulle » si la quantité a était équivalente à l'une des limites o^o» A» la quantité 6 restant comprise entre jr, et 1", ou si la quantité 6 était équivalente k Tune des limites jr^fV, la quantité a ds
( 9» ) meurant comprise entre », et X, Suppptoiu, par exemple, a^X, b étant renfermé' entre les limites y,, Y. Alors Tintégrele
^ dy
deriendra iolinie » si m est un nombre pair , et indéterminée » si m est un nombre impair. Dans le premier oas , la valeur de à sera infinie. Dans le second , elle sera indéterminée ; mais » pour la rendre nulle , il suffira de réduire les intégrales comprises dans la formule (s5) à leurs valeurs principales. Les mêmes remarques s'appliquent aux autres suppositions précédenunent indiquées. Dans chacune de ces suppositiQua , pour qae la Talear de fA, fournie par Téquation (a5)« s'évanouisse, il est nécessaire, et il suiEt 1.* que 16 nombre m soit un nombre impair, s.* que Ton réduise les inté* grales renfermées dans le second membre de Téquation à leurs valeurs principales.
Si les quantités a et A étaient à-la -fois éqnlvaîentes , la première à Tune des limites x^fX , la seconde à Tune des limites y^%Y % il ne suffirait plus , pour faire disparaître la partie réelle de A « de réduire les intégrales comprises dans la formule (s5) à leurs valeurs principales. Concevons , pour fiïer les idées « que Ton ait en même
temps
et de plus* a;» <^, j'o < ^* Alors, dans le second membre de la formule (s S) , let deui intégrales
( Ç^ Vr..dy , . .-. r^ éy
r^ dx f
deviendront infinies; et leur différence, savoir,
détiendra iiifinie , si le nombre entier m — 1 , divisé par 4 » donne pour reste 1 , a ou 5 , et indéterminée » si m — 1 est un multiple de 4 • Ajoutons que , si , dans le dernier cas, on effectue les intégrations relatives à a; et à ^, non plus entre les
(9«) limites x=szXof (C = tf9 ;x=/o9 / = 6» maïs entre les limites x=x., as=« — c, y =^« > ^ = & — * > > < désignant un nombre infiniment petit » la formule (sS) sera remplacée par la suirante
ifd;
*+(ro-^)l/r.]-'
de laqureile , en posant après fes intégrations t = o , on tirera encore
On arriverait généralement au même résultat « si, la quantité a étant réduite ^ Tune des yaleurs x^^X de la variable œ, la quantité b à Tune des valeurs y. 9 Y de la variable y, et le nombre m — i à un multiple de 4 » on remplaçait, dans le second membre de la formule (25) , la limite Xo ou X des intégrales relatives à X par a db c • et la limite ^o ou Y des intégrales relatives à j par
En résumant tout ce qui a été dit ci- dessus relativement aux valeurs de A déterminées par les équations (ii) et (t5) » on obtient immédiatement les deux tbéorémef que nous allons énoncer»
1.*^ Théoaêhb* Soienl a, b deux quantités rielUs $ XotX deux limites réelles de la variable x; y^, Y deux limitée rielU$ de la variable y; et a une expression imaginaire dont la valeur soit fixée par C équation
r'^i L i ]rf.
On aura
si la quantité a est située hors des limites x.^X , au la quantité b hors da limites /«, F. On trouvera au contraire
si fan suppose àrla-fois la quantité a renfermée entre U$ limites x^,X et la quantité b entre les limites jotY • De plus , si , dans la dernière hypothèse , Cunc des différences
X — a, a — «o» y — *> b-^jTc» devient précisément égale à péro, on aura simplement
powvu que, dans le second membre de la formule (ii)« on réduise ^intégrale qui deviendra indéterminée à sa valeur principale. Enfin, si deux des différences
$ évanouissent êimultanément , on aura
ir - -
pouriÊU que, dans le second membre de la formule (ii) , on remplace la limite x^ ou X de Cintégrale relative à x par adz$» la Umite y^ ou Y de Cintégrale relative à y par 6 ±: c » et te nombre c par ^ro après les intégrations
tjfcetuées.
2/ Trèohbiib. Soient toujours a , b deux quantités réelles; x^,X deux limites réeUes de la variable x; et y^pY deux limites réelles de la variable y. Soient en outre m un nombre entier quelconque » et A une expression imaginaire dont la valeur se déduise de Céquation
J [aj-a+(I'-*)i/rO- +J [<r-a+(y,-*)t^r,]-
X^ Xq
On
aura
A = o, si' aucune des différences
ne devient égtUe à téro. Si Cune de eu différtnets $*évan<mit , A jprendra une
(94) valeur infinie ou indéterminée ^ suivant que m sera un nombre pair ou un nombre impair; et, dans le dernier cas, on pourra faire évanouir A , en réduisant, dans le second membre de la formule (s5) , Cintégrale qui deviendra indéterminée à. sa valeur principale. Enfin , si deux des différences
X — a, a — aco, y— 6, b — jo»
s^ évanouissent simultanétnent , A prendra une valeur infinie ou indéterminée , suivant que le nombre m — i sera ou ne sera pas divisible par 4» et, dans le dernier cas » on pourra encore faire évanouir ^ , en remplaçant la limite a?» ou X des intégrales relatives à x par a db c , la limite y^ ou Y des intégrales relati'ves à y par 6 du < , et le nombre t par zéro après les intégrations effectuées.
Si Ton suppose que des quatre quantités Xof jo9 X , Y , les deux premières soient négatives et les deux dernières positives , alors, en posant a=zo, b=zo, dans les théorèmes i et 3 , on en tirera
