ET LES INTÉGRALES DÉFINIES

Soit y*(2c) une fonction donnée de x. Si Ton pose

(0 fW — C — -^ — = w(a5),

la fonction ^{x) [voyez les pages 21 et 33] conservera en général une valeur finie pour tontes les valeurs finies» réelles ou imaginaires de la variable x. Par suite» si Ton intègre , par rapport aux variables x et /» les deux membres de l'équation identique

W • 7} ='^ di •

entre les limites x:=Xo, x = Xp y=ij^^ y=zY 9 on trouvera

puis » en remettant pour ^{x) sa valeur tirée de Téquation (1) » on aura

la valear de À étant

<!:((/(*) ))|i/Ty^(^f:4:^-^^^ [—l^^.--J-^^

dxi

Soit oMiiolcMnt tsi^a-^b^^ une quelconque de* valeon de z propres k vérifier l'équation *

et supposons que cette équation n'ait pas de racines égales « dont la valeur commune soit a + 6|/rr . En Ter tu du théorème i.** de la page 99 , la valeur de la différence

correspondante à s = a -f- ^ i/H* • se réduira simplement à zéro , si la quantité a est située hors des limites XopX , ou la quantité b hors des limites jotYi ^^ h ^'ny/T! , si les quantités a, 6 restent comprises, la première entre x^ ti X. le seconde entre j» et Y^ sans vérifier aucune des conditions

(8) a = x,, «^JT, (9) 6=j,, * = y.

Donc 9 si Téquation (6) n'a point de racines égales , ni de racines dans lesquelles la partie réelle coïncide avec l'une des limites a?o » ^ » ou le coefficient de f/TT avec l'une des limites j» • F , on pourra , dans le second membre de la formule (5) , remplacer généralement l'expression (7) par 2ff|/rr » pourvu que l'on écrive à droite et à gauche de la caractéristique £ comme on l'a déjà fait à la page i5 » le» quantités

Xt,,X, y^^y t afin de resserrer le résidu intégral entre les limites convenables. Od aura donc alors^

et par suite » l'équation (4) donaera

(97) Coocofoofi mainteuaofc que d=;:a4*^V^* éiaot un^ des racines inégales de l'équation (6) , yérifia l'une des condiiions (8) , ou Tune des conditions (9). Les formules (4) ei (5j continueront de subsister, si» dans chacune d'elles, on réduit l'inté^ grale indéterminée à sa valeur principale. De plus , en vertu du théorAme déjà rappelé, la valeur de l'expression (7) correspondante à s =^ a -f- ^ V^ ' ^^^^ ^^ « ^^ ^ quan* tilé a est située tors des limites Xo ,^» ou la quantité 6 hors des limites j^^Y , et T. y/T^ dans le cas contraire. Donc , lorsque la racine z = a 4- ^ V/T vérifie Tuoe des conditions (8) ou (9) , l'expression (7) prend toujours la moitié de la valeur qu'elle aurait dans le cas contraire. D'ailleurs nous avons remarqué [page 17] que, dans )e résidu intégral

le résidu partiel relatif à une semblable racine doit être pareillement réduit à la moitié de sa valeur. Donc , si l'équation (6) admet des racines de cette espèce , la formule (11) c4)Dtmuera de subsister, pourvu que l'on y réduise l'intégrale qui deviendra indéterminée à sa valeur principale.

Concevons encore que la valeur s = a -f- ^ |/^ t étant une des racines inégales de Téqualion (6), vérifie tout-à-la-fois l'une des conditions (8) et l'une des conditions (9). Les iotégrales comprises dans les formules (4) et (5) deviendront infinies. De plus, ces formules coDtÎDueroni de subsister, si Ton remplace la limite Xo ou X de l'intégrale relative à X par aihc, la limite jo ou Y de l'intégrale relative à y par 6dbc, et le nombre « par zéro après les intégrations effectuées. Ajoutons qu'en vertu du théorème déjà rappelé , la valeur de l'expression (7) , correspondante à z=:a + b ^TT ,

se réduira simplement à - f/!T , c'est*à-dire , au quart de la valeur qu'elle recevrait si

les quantités a, b demeuraient comprises , la première entre x^ ei X, la seconde entre j^ ei Y . Orj nous avons remarqué [page 17] que,, dans l'expression (is) , le résidu partiel relatif à une racine de l'équation (6) devait être préciaément réduit au quart de sa valear , lorsque , dans cette racine , la partie réelle coïncidait avec une des limites Xo,X, et le coefficient de |/rr avec une des limites yo»Y. Donc, si Téquation (6) admet des racines de cette espèce, la formule (11) continuera de subsister, pourvu que les limites des int^rales relatives à x et à j subissent les modifications ci-dessus indiquées. Il est d'ailleurs facile de a'assurer que , pour obtenir le résultat auquel ces modifications conduisent , il suflit de rapprocher Tune de l'autre les deux limites de chaque intégration , en diminuant ou augmentant chacune /le ces limite^ de la quantité infiniment petite &, puis de faire, après les intégrations effectuées, c =:= o .

La formule (ii)f établie comme on vient de le dire, suppose évidemment que la

(98) fonction y*(^+J^t/M) conserve une valeor anique et déterminée» au moins pour toutes les valeurs réelles des variables îr,j comprises entre les limites x=:x^, x = X ; y=jro,jr=^y» Cela posé , en résumant ce qui précède , on obtiendra immédiatement le théorème que nous allons énoncer.

I.*' Théorème. Soient x,y deux variables réelles , et z^x-^-y^ZT une variable imaginaire. Soient d*ailleurs Xo,X deux limites réelles de la variable x; yofY deux limites réelles de la variable y; et f{z) une fonction réelle ou imaginaire de z , qui conserve une valeur unique et déterminée pour toutes les vaUurs de X et de y comprises entre les limites x=zXo9 x=zX , y = jo » y= Y» Si Inéquation

n'a pas de racines égalu, on aura en général

J yo ^ a?o

Ajoutons que si, dans la formule (il), Cune des deux intégrales devient indéurminée, il faudra la réduire à sa valeur principale; et que, si elles deviennent taates deux infinies, on devra rapprocher Cune de C autre les limites de chaque intégrak, en faisant croître ou décroître ces limites de la quantité infiniment petite « , et supposer , après Us intégrations effectuées , e = o .

Supposons maintenant que Téquation (6) ait plusieurs racines égales , dont la valear commune soit zz=a-\'b \/T^ , et désignons par m le nombre de ces racines. Il est clair que le résidu de

relatif à la valeur a+b y/T^ de la variable z , sera le même que celui de la diffé-

rence

/{z) (^-fl-^t/TQ^/Cr) f{z) . {z-a'bl/7,)f{z) (z-a-^y/r.)-'

et par conséquent égal à

si l'on représente par

les résidus des fonctions

(16) /(^), (^-a-Av/r7)/(0. (^-a-Av/^)--"/(0.

relatifs à la valeur dont il s'agit. Par suite « dans le résidu intégral qui forme le second membre de Téquation (5) , la partie relative à « = a 4- A i/^ »cra

pourvu que Ton fasse généralement

Cela posé , concevons d'abord que la quantité a ait une valeur distincte de chacune des limites Xo^X ^ et la quantité b une valeur distincte de chacune des Kmites jo» }^* Eq vertu du théorème s de la page gS, ^a » ^3 •-•• '» s'évanouiront Quant à la valeur de s^f ou , ce qui revient au même, de l'expression (7)^ elle sera toujours déterminée par le théorème !•*' [page 92]. Donc la formule (11) continuera de subsister comme dans le cas où l'équation (6) n'avait que des racines inégales.

Admettons , en second lieu , que les quantités a , b vérifient l'une des. équations (8) ou (g). Alors, en vertu du théorème s [page 92] , s^, s^,se ,... acquerront des valeurs infinies , et • «3 » «5 , ^7 »• • • des valeurs indéterminées , que l'on pourra faire évanouir eu réduisant chacune des intégrales indéterminées h sa valeur principale. Donc , pour que le polynôme (17) se réduise à son premier terme A^St, il sera nécessaire , i.^que le second, le troisième, le cinquième termes disparaissent, c'est-à-dire que l'on ait

(19) /:/,= 0, ^4=0, >^6=o,etc. ,

2.* que l'on réduise les intégrales indéterminées à leurs valeurs principales. Si ces deux espèces de condition» sont remplies, la formule (11) continuera de subsister.

( ïoo )

Admettons enfin que les quantités a^b yérifient tout-à-la-fois l'une des équations (8) et Tune des équations (g). Alors, en vertu du théorème 9.* [page gS]» «, , «3, «4; «6 • '7 • '8 ; ^10 » oto. • . • > acquerront des valeurs infinies , et «1 » ^5 » «9 . • . • des valeurs indéterminées, que l'on pourra faire évanouir en remplaçant la limite Xo ou X des intégrales relatives à x par a db « , la limite jo ou Y def intégrales relatives à j par 6 ± c , et le nombre c par léro après les intégrations effectuées. Donc , pour que le polynôme (17) se réduise à son premier terme, il sera nécessaire, 1.* que Ton ait

(20) yi, = o, >^3 = o, /<4 = o; ^6=0, ^, = 0, y^8s=o; i<,o=o, etc.;

2.^ que les limites des diverses intégrales soient modifiées comme on vient de le dire. Si ces deux espèces de conditions sont remplies, la formule (11) continuera de subsister.

Il est essentiel d'observer que si, en supposant, dans la formule (18) « le nombre n plus grand que Tunité, on substitue, aux limites de l'intégrale relative à x ouà j, les limites plus rapprochées qu'on obtient en augmentant ou diminuant XofX ^jo^iï de la quantité infiniment petite c , la valeur de s^ , correspondante aux valeurs principales des deux intégrales , et développée suivant les puissances ascendantes de s ne renfermera jamais de termes finis , mais seulement des termes infiniment petiu proportionnels à < , à c* , à c' , etc. , et de plus , quand elle deviendra infinie , un terme

proportionnel à -t::^' Donc , si l'on réduit les intégrales\ comprises dans les formules

(4) et (5) à leur» valeurs principales , et les limites de ces intégrales à des limites plus rapprochées , respectivement équivalentes aux quantités Xo , ^ , /« » ^ » augmentées ou diminuées de t, la valeur de ^ , développée suivant les puissances ascendantes de c , aura pour ternie fini ta somme des produits de la forme A^êti c'est-à-dire, le produit

(2.) ^W'^^l'^iiA-)))-

Par suite , si l'on fait évanouir e , :^ ne pourra conserver une valeur finie qu'autant qu'il se réduira au produit (21). On peut donc énoncer la proposition suivante.

2.* Thêoaêvb. Les mêmes choses étant posées que dans le \.^ théorème, si la différence

conserve une valeur finie et déterminée, dans le cas oii i*on remplace les inUgraltt

ifuelU renferme par leurs valeurs principales , les limites de ces intégrales par des limites plus rapprochées p respectivement équivalentes aux quantités x^^X, j^%Y^ augmentées ou diminuées de t, et le nombre • par zéro, après Us intégrations effectuées, la valeur finip de la différence (22) sera précisément

En d autres termes, la formule (11) ^ trouvera vérifiée*

Ce nouveau théorème ne suppose pas , comme le premier , que l*équation (6) admette seulement des racines inégales.

Si, pour fixer les i4ées» on suppose Xo<X et j^o< Y, alors, eh désignant par i UQ nombre infiniment petit , on aura« en vertu du théorème 2.*

pour?a que le premier membre de la formule (iS) ait une valeur finie « et que Ton rédaise les intégrales comprises dans ce premier membre à leurs valeurs principales

Il nous reste à montrer quelques applications des formules (11) et (s3).

D'abord , si Ton pose , dans la formule (1 1) »

«0=0, JC==«, 7o = o, 1^=6,

oa bien

ou enfin

»«= — a, X^za, jo = o, jr=&,

a et & désignant deux quantités réelles , on obtiendra successivement les trois équa-

tioot

f V(«+*v^-/(«)]^»= •n* / [/(«4-ji/:7)-/(^i/T)]rfjr

r\f(x-\-by/T,)-f{x)-idx= \/T, Ç [/(a-»-:rV^)-/{-«+rV^)l«'j^

-*''l\{f{')))\rr>

dans lesqqellos les ioiëgrales iodéterminées doiyent toujours être réduites à leurs valeurs^ principales.

Soient encore

a?o = «, X=b, jr^ = a, jr=6.

Si Téquation (6) n*a point de racine équivalente à Tune des expressions imaginaires

(27) a + a\/z; , a-^-bi/Zt , A + av/TT , 6 + 6^/7 ^

on tirera immédiatement de la formule (1 1) , en remplaçant la lettre y par Ifi lettre scp

Si , au contraire , Ton compte au nombre des racines de Téquation (6) une ou plusieurs des expressions (27) , on tirera du 2.* théorème» ou de Téquation (sS)

puis , en réduisant t à zéro , on reproduira la formule (28). En conséquence , on peut énoncer la proposition suivante.