MÉCANIQUE

Mémoire sur le choc des corps élastiques , déposé à V Académie Royale des

Sciences le i^fémer 1827, par M. Cauchy.

Dans un Mëmoîre présenté à FAcadémie en 1811a , j ai donné les équations aux dtfierenees partielles qui déterminent les mouTements vibratoires des corps solides élastiques ou non élastiques. Dans le nouveau Mémoire, j^applîque ces équations au choc des corps élastiques. Je me bornerai pour le moment i Texposition des phénomènes que présente le cl>oc de deux cylindres droits et homogènes qui viennent se frapper par leurs bases avec des vitesses égales ou inégales^ dirigées suivant des droites parallèles à leurs généralrioes* Alors les équations aux di£férences partielles qui déterminent les mouvements Ats deux cylindres renferment seulement chi^cune deux variables indépendantes , savoir , une abscisse x et le temps ; et 9 en intégrant ces équations de manière que les variables principales satisfassent aux conditions du problème , on obtient immédiatement les résultats que je vais indiquer.

Supposons j pour fixer les idées , que les deux cylindres soient fermés de méoie matière ,

mais que leurs longueurs soient différentes. Comme ie centre de gravité du système se mouvra

uniformément dans Fespace , on pourra toujours ramener ta question au cas où ce centre a

une vitesse nulle , en rapportant le mouvement du système à c€l«i du centre dont il s agit. Gela

posé f soient ^x, A les longueurs respectives des deux cylindres ^ li , a leurs vitesses initiales

h dirigées en sens contraires ; — k hauteur qu il ûiudrait attribuer au second cylindre pour

qu^élant suspendu à une tranche infiniment mince du premier, il produisit une -dilatation mesurée par *— '^ el ^ la force aooéléralrioe de la pesanteur. Enfin faisons, pour abréger,

A' :=zghj comptons le temps t à partir de Tinstant où le choc commence, et soh

Ci a

Depuis le commencement du choc jusqu à la fin du temps qu on obtiendra en divisant , par la constante k , la longueur a du premier cylindre , les vitesses initiales 6» et il disparaîtront dans deux portions contiguës du premier et du second cylindre , et ces deux portions offriront

dans chaque tranche une nouvelle vitesse équivalente à la demi-différence 9 avec une

compression représentée par le rapport

Pendant le même temps, les longueurs des portions 4ont il s'agiit seront égales dans les deux cylindres , et croîtront comme le temps, de manière à devenir finalement équivalentes à la longueur du premier cylindre. Pendant un second temps égal au premier, ces longueurs varieront encore : mais celle qui se rapporte au premier cylindre diminuera proportionnelle • ment au temps , de manière à devenir finalement nulle 5 tandis que Tautre longueur relative au second cylindre croîtra sans cesse , si la longueur du second cylindre surpasse le double

de celle du premier , et crolira pour dîmiiiDer cMuiie dans le cas contraire. QiudI bu porlions resiaDtes det deoi cylindre* , elles offrirool dans chacune de lenn tranches , pendanl la période dont ïl est qoeslioD , dana le premier cyliacln , one vitesse constante ëgsle k la yiitmt initiale du second cylindre, avec une compression nulle en chaque point; et dans le Mcond cj'liodre la vitesse initiale du second on du premier i^Undre, suivant que la tonguenr du second cylindre sera infërienrc on supérieure au double de la longnenr do premier, A la fia de celte nouvelle période , le premier cylindre éunt animé dans tous ses poinU par une vitesse t^uivalente à la vitesse initiale du second , se séparera de celui-ci, et le choc sera lenniDé. A jonloa.s qu'après la séparation le premier cylindre, offrant parlonl des compressions nulles, ne changera plus de Terme , tandis que le second cylindre , composé de deux parties dont les vitesses seront dîGEfrenles , et dont une seule offrira des compressions nulles , cootinoera de vibrer dans l'espace. On doit senlemest excepter la cas où les deux cylindres , étant de même longneur , aunient eu primitivement des vitesses égales dirigées en sens contraires.

Le* conséquences qui se déduisent des principes que nous venons d'établir sont Irès^mporlantes dans la théorie de la dynamique. Ainsi , par exemple , on enseigne , dans la mëcanlqne rniionnetle, que , si deux corps parfaitement élastiques vîunnent à se choquer, — une des forces rives restera la même avant le choc et après le choc. Mais il est clf : ^u alors oa fait nhstFaction da mouvement vibratoire de chaque corps après le choc (i), et l'on ponrnit être cnricnx de connaître ce qui arrive dans le cas conlrairc.

Or, si l'on détermine, d'après ce qui ■ été dit ci- dessus, la somme des forces vives de deux cylindres avant et après le choc, on reconnaîtra i" que la perte des forces vir» est nulle dans un seul cas , savoir, lorsque les longueurs des deux cylindres sont égales, et que cette pei-te , bien loin d'fiire nulle dans les antres cas, comme on le snppose ordinairement, s'aère à la moitié de la somme des forces vives , quand la longueur de l'nn des cylindres devient infiniment grande , et qu'elle peut s'élever jnsquanx trois quarts de cette somme qoand les ilros cylindres offrent des longueurs doubles Tune de l'antre. Lorsqu'un cylindre vieql frapper un plan solide , il se trouve k peu près dans le même cas que s'il frappait un teindre dont la longueur fbt infinie, et par conséqueni il y a perle de forces vives.

Da^ un second Mémoire je montrerai comment on p^ut étendre les mêmes principes sti iIjoc de deux cylindres composés de matières différentes , ou au choc des corps dont k fOnne n est pas cylindrique.

(i) Dam ti ibiorie «dlnaire da cboc de* corp* éUiltque* , oa inppoie qu'l l'iaslaot où la detu oorpi m ••'parent, ctucuo d'eui eil reieoD à wm <!l*t oMuiel, laadia que, duu tiiéillli, le coomire inivcûui iji» le (JémoDiie ^vidrmmcnt le ton produit p*r le choc de deui tpUm méIdlîqM*. 7nppd de celM iUt, s»* M. BiDit iTMt tat de taa cité, U. Coriolii •oupçoDotit depuis long (eo pi qu'il j ivtit des dinrenea n»quica entre les riiulliii roninii par la thforie ordinaire du choc «t ceux que l'on poomit Mdnire de l'eipérieooe ou d'une théorie plui cocfornie à la nature , et il m'avait engagé , poor celle rsiioo , k traiter f» le calcul cette queillon délicate, en donaant luite tin Iraraui que f'ivab «nlrapri* m le* monvemeat* nbrf tmrMdncorptiolide*. Ajanl eaiTioeooBieU, je lui* parveau nos rfaollal* qoilbDirobfal de«et aciiol*, M qoi païaiMeal devait miriler l'altealLoa de* giomUit*.