DU RÉSIDU INTÉGRAL D'UNE FONCTION DONNÉE

Soit f{z) uoe fonction donnée de la variable z. Si le produit

& évanouit pour des valeurs infinies, réelles ou imag;inaires de cette variable , on aura [Toyes la page iix>] -

$i, au contraire, le produit (i) se tédtfiip pour des valeurs inCnies de z, i la constante fs on trouvera

Or, ù l'on pose s=- , le produit (i) «e ci^angera dans le rapport

el la constante désignée par ^ coïncidera j&videmuKent avec la valeur de ce rapport correspondante à « = o , ou , ce qui revient au même , avec le résidu de la fonction

relatif ^ uite Trieur n|il|e de u. On aura donc

et la formule (3) pourra être remplacée par la suivante

Or« cette dernière ne doit pas être restreinte au cas où le produit zf{:) conserve une valeur finie pour des valeurs infinies de z ; mais elle subsiste généralement lorsque le résidu de la fonction (5) , correspondant à une valeur nulle de ti , se réduit à une constante déterminée. C'est ce que nous allons faire voir.

Si l'on suppose le signe C relatif à la variable s » on aura , en vertu des principes établis à la page 21,

U représentant une fonction de u qui conservera une valeur finie pour u = 0 ; puis 4 en développant l'expression

et désignant par m le nooibre des racines de l'équation

qui se réduisent à zéro » on trouvera

~?~=«*'"((7ôr+i?'' «••» + — +1=ïr'- ((,.)) — ^^

Si , de plus , on remet pour u sa valeur — , et si l'on pose

(10) Vu* = v(z) nu V = z*v{z) ,

on tirera de l'équation (9) , multipliée par u'»

Si maiotenant oo prend le résidu intégral Jb^chacan des membres de la formule (i i) par rapport h $ , et si Ton a égard aux équations

((7)) = '. <î^((0)=0, L'{iz))=0.:., 1({Z''))=0.

on irouîera

/(JL)

'"^ lf{*)=l-j(;i^'^li{^{')))^

D'ailleurs, puisque la fonction V conserre une valeur finie, quand on suppose tt = o, la même supposition fera nécessairement éranouir le produit

Oo aura donc

el par conséquent Téquation (la) entraînera la suivanle

ln--) = ljr^.

qui ne diflëre pas de la foroMile (6), On pourraU encore établir lo même formule à Taide des raisonnements que nous allons indiquer.

Sil'on remplace immédiatement j dans la formule (7), u par — ^ et si Ton a égard à Féquation

on trourera

(,S) .. . . r /(t) . r Kt)

De plus , on rccopnaltra facilemept que Texpressbn

considérée comme fonction de la Tariable z^ donne pour résidu intégral relatif h celte variable une quantité nulle. En effet . ce dernier résidu ne pourrait différer de zéro , que dans le cas oti , en désignant par ^ une valeur finie de z, et par * = f, s = ç-4-«', des valeurs de ê et de «, infiniment rapprochées » Tune de zéro , l'autre de ç , on obtiendrait » pour le développement de la fonction

<iwe,) .[i.f(ç4-.'))

suivant les puissances ascendantes de c et de «' » une série de termes dont Tuo serait réciproquement proportionnel au produit «<'. Or» il est clair que le développement dont il s*agit ne renfermera point de terme de cette espèce. Cela posé , si Ton prend le résidu intégral , relatif à t , de chacun des deux membres de fa formule (i5) , on retrouvera évidemment Téquation (i 4) » ou» ce qui revient au mémo, la formule (6).

Concevons à présent que, dans la formule (6)^ on substitue à la fonction /(^) le rapport

On en tirera et par suite

Telle est l'équation que l'on devra substituer à la formule (5g) de la page lia, si U fonction f{^) devient infinie en même temps que la variable z .

Lorsque f{x) est une fonction entière de x, le résidu intégral

s'évanouit, attendu que f{z) conserve une valeur finie pour une valeur finie quelconque de la variable z , et Téquation (17) se réduit h

H est facile ée vérifier ceUe demièra formule. En èlfet » 8iippo»6tt«

d,b,c...»it»/ désignant des coefficients constahts, et m un nombre entier. Eo teriu de ce qui a été dit [page is]» le second membre de la formule (18) ne sera aatre chose que le terme indépendant de la quantité infiniment petite t , dans le dé- Teloppement du produit

7n^= (tï+t;;^: + THT + •••• + T+') (» + •* + •'«• + «^«"O

en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de cette même quanlité^ Or , le terme dont il s*agit.est évidemment égal au polynôme (ig).

Concevons à présent que f{x) représente une fonction rationnelle de la variable X, en sorte que Ton ait

f(x) et F(x) désignant deux fonctions entières de la même variable. Si le degré de f(x) est inférieur à celui de F(x), le résidu

s'évanooira, et la formule (17) » réduite à

suffira, comme on Ta dit (page sa) « pour la décomposition de la fraction rationnelle f[x) en fractions simples. Au contraire, si le degré de t{x) surpasse le degré de F (x) , la fonction

se trouvera décomposée par Téquation (17) en deux parties dont Tune^ savoir.

(«4) iSULûA

représentera la somme des fraotiMs simples dont raddition fomnlt \% reste de k division de f (x) par F (a? ) ^ tandis que l'autre partie , c'est-ji-dire , Texprcsaion {««) , représentera le quotient de Dette même division.

Supposons» pour fixer les idées.

On tirera de Féquation (17)

On trouvera d'ailleurs

et

(i+zr) ((*')) (,-«z)

Par conséquent la formule (s6) donnera

ce qui est exact.

Concevons enfin que la fonction f{^) devienne transcendante. Alors» pour que la formule (17) subsiste, il sera nécessaire que Texpression (22) se réduise à une constante déterminée. C'est ce qui arrivera » par exemple , sî l'on suppose

Pans ce cas particulier , on trouvera

(«.«)( (ces 7))

=» cot - .

4ir«

elCt.t

ir»

2ir

etc.,