L.,M. ri

les sommes des projections algébriques des forces P,P'^ P", et celles des projections algébriques de leurs moments linéaires, on aura, dans le cas d'équilibre,

(0 /(;!:*+ I" + Z«) = o, i/(L« + itf' + ^')=t);

et par suite

x=o^ y=o, Zi=o,

Réciproquement on peut affirmer que le triangle invariable sera en équilibre , toutes les fois que les équations (s) seront satisfaites, c'est-à-dire, en d'autres termes, toutes les fois que, pour le système des trois forces appliquées aux trois sommets du triangle, la force principale et le moment linéaire principal se réduiront à zéro. En effet , dans cette hypothèse , les directions des trois forces seront , ainsi qu^on l'a précédemment démontré [page 124], comprises dans le ptaik du triangle. Par suite, on pourra décomposer la force P' en deux autres dirigées vers les points {A)^ {A'), et trans-

porter ce» ^roièree comp^MDtes àt tamkiitt k lot appliquer ttix poiols êma% il s'agit. Ou subsiitoora par oe moyeo au ayalène des trok forcea dénuées un syalème de t|iialre

£oroea appUfuées a4iK deux estrémkéa {A) » (d') d'une droite iefrariable; et» colMne la force priocipale et le ttoment Jinéaire principal ne cfaao^roBl paa de Taleitra dans le passage du premier système au aecond , ces deux ^antités seront encore naUes pour le nouvean système , d'où Ton peut conclure qu'il y aura équilibre*

Si, le triangle AA^A^ reatanl inTariable» ehacun de ses sommets était soumis à l'action de pliisieai«s forces» on pourrait remplacer les différentes forcer appliquées à chaque sotiiBet par une résultante nniqu& Gela posé« comme le aystèaie des trois résultantes ainsi obtenues aurait la même force piiu^ipale et le même moment linéaire principal que le système des forces données, on trouverait toujours que les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre se réduisent à l'évanouissement de cette force principale et do ce moment linéaire principal, ou, ce qui revient au même, à l'éva* nouissement des six quantités que Too obtient en ajoutant j i.* les projections algébriques des forces données , s.* les projections algébriques de leurs moments linéaires.

Dans les deux cas que nous Tenons de considérer , et qui sont relatift à l'équilibre du triangle invariable , la sixième équation d"éqailibre ne se déduit plus des cinq autres , comme il arrive quand on considère l'équilibre d'une droite invariable.

Soient maintenant [A) , {A') , {A") . . , • des points liés invariablement les uns aux autres , et en tel nombre que l'on voudra. Ces poliits formeront ce qu'on appelle un système invariable» Cela posii^ , cherchons les conditions d'équilibre de plusieurs forces

respectivement appliquées k ces mômes points ; et désignons encore par

les sommes Ae^ projections algébriques de ces forces et de leurs moments linéaires , le centre des moments étant toujours placé à l'origine des coordonnées. Si l'on suppose d'abord que le plan mené par les trois points [A), {A')^ {A")..,., ne renferme aucun des autres points donnés , chacune des forces P''\ P\ etc. . . . pourra être remplacéç par trois 4:oinpo#antes respectivement dirigées suivant trois arêtes d'une pyramide qui aurait poqr base le triangle AA'A\ et le point d'application de chacune de ces coipposantes pourra être transporté à l'un des (rois sommets du triangle dont il s'agit. Quaqd , à l'aide de ces deux espèces, d'opérations ,. on aura substitué au système des forces donnée^ celui de plusieurs. force$ appliquées aux trois sommets d'un triangle iayariable, il sera A^çessaire, et i|l suffira pour Féquilibr^ qyiç la force principale ell«

( ^il )

moment principal r«Mife aipaoïiwia «ytIèiiM fr'évawMiiwmt 0?« cettr fiir^e pmidpiie el €• mraMiil Uoéaive principal 9e IromeAt ropvéMiilés pwtr t» preanv système pir les detK quantitAj > .

et comme» en passant du premier systtoe au second, on ne change ni les sommes des projections algébriques des forces; c'est-à-dire, les quantités

ni les sommes dos projections algébriques de leurs moments linéaires , c'est-à-dire , les quantités

ii est clair que les conditions nécessafres et suffisantes pour ré'quîKbre seront exprimées par les deux formules

auxquelles on peut substituer les mx équations

JbzsiO, jTsottM 2s=^'Oi

1^ = 0., M^=o, iV = o

Si Tune, dea foroea B"\ P^\ etc^ • . • . avait, son point d'application situé dans le plan da triangle AA^A",, il airiverait de deux choses Tune. Qu cette.force se trouverait elle-même comprise dans le plan du triaùgle , et alors elle pourrait être remplacée par deux composantes appliquées à deux sommets de ce triangle, par exemple, aux points {A), {A'). Ou elle serait dirigée suivant une droite qui couperait le plan, et pourrait alors être appliquée à un nouveau point de cette droite que l'on supposerait in- Tariablement lié avec tous les points du sptème. Ce nouveau point étant situé hors du plan du triangle, toute difficulté dispavaUrait. Dans l'un et l'autre cas, on parviendra évidemment aux conclusions que nous avons précédemment obtenue!. On arriverait aussi au même résultat, en substituant au triangle A A' A' un triangle quelconque dont les trois sommets seraient liés invariablement au système des points donnés. Donc en définitive, pour que des forces quelconques appliquées aux différents points d'un ijstème invariable se fassent équilibre , il est nécessaire et il suffit que la force principale et le naomeot linéaire principal s'évanouissent , ou , en d'autres termes , que les

( >3a ) sommes des projections algébriques des forces données et des )irojectioos algébriques de leurs moments linéaires se réduisent à séro. Lorsque le système des forces données ne satisfait pas aux conditions d'équilibre , on peut à ce premier système de forces eu joindre un autre choisi de manière que l'équilibre se trouve rétabli. Soient, dans celte hypothèse ,

JLi , Mit Zi 9 Lif Mm 9 Ni

ce que defiennent les quantités

X, y, Z. L, M, N lorsqu'on passe du premier système au second. On aura nécessairement

l XJ^X, = o, J'+J'. = o. Z + Z. = o;

( L+L, — o, flf+itf»=o, N+N, = o;

ou , ce qui revient au même

vX,=: — ^, x, = — X, ^i = — i!rf,

*=,— Lp iii, = — Jw, if, = — iV.

Réciproquement , si les équations qui précèdent subsistent , la réunion des deux systèmes produira l'équilibre. DonCj pour que deux systèmes de forces appliqués à des points liés invariablement les uns aux autres se fassent mutuellement équilibre , il est nécessaire et il suffit que , dans le passage du premier système au second , les sommes des projections algébriques dés forces et des projections algébriques de leurs moments linéaires conservent les mêmes valeurs numériques » mais changent de signes.