RELATIF AU CONTACT DES COURBES
Lorsque deux courbes se touchent eo un point donné (^)f et que Ton marque sur ces courbes » prolongées dans le même sens » deux points ( Q) » ( /^) » situés & des distances égales et infiniment petites du point de contact « eea distances atmt le» deux côtés d*un triangle isocèle; et» comme chacune d'elles forme avec la langenlc aux deux courbes un angle très-petit , on peut affirmer que la base du triangle isocèle est sensiblement perpendiculaire à ces mêmes courbes. On ne devra plus en dire autant , si
le rapport entre les cordes ou distances PQ% PU, supposées infiniment petites, n'était pas rigoureusement égal à Tunité, mais en différait très-peu; et , dans ce dernier
cas» on pourrait seulement assurer que la distance QB forme avec chacune des
cordes PQ, PR un angle sensible. Ainsi , quoique le rapport entre ces cordes se rapproche beaucoup de Tonité» quand les deuxarca deviennent rigoureusement égaux,
OÙ pourrait douter que« dans cette hypothèse, la distance QR (&t sensiblement normale aux deux courbes données, Cest -néanmoins ce que Ton peut facilement démontrer à TjEiide des considérations suivantes.
Supposons que les longueurs égales portée sur la première et la seconde courbe à partir du point de contact , aboutissent , d'une part , au point {x^y^z)^ de l'autre , au point (S»ir2;)* Soient do plusi « et ç les arps renfermés., t.* entre un point fixe de la première courbe et le point {x^y^ z) ^ s.* entre un point fixe de la seconde coujrbe et le.point . (|[>i»c)« .. Tftndistque Ips coprdonujées x,y,z; (»i,ç . ta-
cieront f^mpl^nément , la 4!9^éfe9(i|9!
restera invariable , et Ton aura en conséquence c = a 4" const. ,
(i) dç=zd$.
Soient d'ailleurs ««^«7 les angles que forme, avec les demi-axes des coordonnées positives 9 la tangente commune aux deux courbes» prolongée dans le même sens que les arcs a et c ; h la longueur de la droite menée du point (£»«!»(;) au point (x,j,9]i enfin ^ » ft t v les angles que forme cette droite avec les demi-axes des coordonnées positives. On aura isensiblement
as aç ^ d$ ffç ds d^
i/^ > ï"-* ''•-/ C** (4) C08A = , COSp= ^. CO«T»c= ;
et Ton tirera des formules (s) réoDÎes à l'équalion (i) ou, c« qui reTÎeoi au même.
Orales équations (3) donneront
(b) î = - ' = — 2. = ds 4- o« =^ î* o* •
^ COâflt ' COSp COS7
De plus , en faisant converger A vers la limite zéro , dans la formule (3) de Taddition placée à la soite des Leçons sur le calcul infinitésimal , on en conclût que , dan$ U volêinagc d^une valeur particulière de x, qui fait évanouir deux fonetUm donnéei , U rapport entre ces fanetions diffère trèê^peu dn rapport entre tmtr$'dérivée$f e$ par conséquent du rapport entre leur$ différemieUes , quand même ces différentielles et ee$ dérivée» ^^évanouiraient à léUr tour pour Ut valeur particulière dont il e'agit. En appliquant ce principe aux seconds membres des formules (4) » on reconnaîtra que les quantités cos^« cosp» cosv, peuvent é^re déterminées approximativement par les formules
/ , ^ dX'-dJi dy~dn dz'-dr
(7) COSX= , C0S/A=— — , 'CUSVT= ; — 2..
• av • dy d\i
Oo aura donc ^ très-peu près
dfi^dl dy^dn dt-dr
CQ$y. COSu . COSv
Cette dernière éqoalîpa sera d'autant plus exacte i|ne les points (^>7»^) et ({»«»() se trouveront plus rapprochés du point de contact des deux courbes. Si maintenant on remplace , dans la formule (5) , les sommes
4x + dl, dj + dn, dz + dt^
ao
par les qaàiatités cosx, cos^» CO87, qui lM>nt entre elles daoa les «écnos rapports, el les rlifférctotes
dx^-^dit djr — rf*j, dz — dç
par des quantités proportionnelles à ces différences » savoir , cos>, cosfi, et cosv , on trouTora défiffîtîvomeitt
(9) cos«cos^-f'^oâPcoafi*4-'COs^«ofv = o>
Or, la formule (9) expriilieK{ffee'k>df(Mteta«iièft duipoidl {sB:^y .s) au point ($« » , ;) est sensiblement perpendiculaire à la tangente commune aux deux courbes » ou » ce qui revient au méme^ sensiblement parallèle au pian normal. On péfOtïtolit éMlMiBr 1^ théor^raiB suivant, qui est fort utile dans la théorie des contacts des courbes.
1." THjfeoRâME. Étant dannéadeux courbes qui se touchent, si, à partir du point de contact t on porte sur ces courbes, prolongées dans U méhu sefiS , deêiongwM's égales, mais très-petites , la droite qui Joindra Us, exit^émités de ces longueurs sera sensiblement perpendiculaire à ta tangenie com^mune aux deux courbes.
Lotsque« dans ce théorème, on remplace la seconde courbe par une droite tangente k la.premi^rç, il se transforme en un autre donl voici l'ékiohcé.
1.^ ^ubmUmB. SL^ & fktrsir d^tfn ^poùu donné sur mu courie^ on ^porU sur cette imi«6e w$'S9tr*}sa4mmgemê9i, proiomgdes das^ te métnewons^t, des ligueurs ^ales et trèi- ^efàia» lia Uffciie qui joUsdtea 4eê ex$i^àAi$éê^ dis us Jamgueurs sera sensiblement peripénéè^utttire sa \ia Utngemâe , ou^ ee qui reviesu au méme^ sensiblemenl parallèle au f4afn }nomiUBL
Concevons , pour fixer les idées , que I^H désigtie ipar i <9blKMiBe t^ kttgueor» égales portées sur la courbe et sur sa tangente à partir du point donné. Les angles formés avec les demi-fei'xes des coordontiées .positives par la ^droite qui joindra les extrémités de ces deux lottgueurs , seront dei fonctions de i ; ^i, si Ton fait converger < vers la limite zéro, ces angles convergeront en général ver^ certaines Jimites, et s'approcheront indéfiniment de ceux qui déterminent la direction d'une certaine normale avec laquelle la droite dont il s'agH tendra flejihis en jri«s à se confondre. Cette normale, qui mérite d'être remarquée, est celle iitte nous appellerons normale prcnripa^* Pour en fixer la direction , il suffirait de recourir aux formules (7) et au principe énoncé ^ la page '(i40* ^ P^u^ &u«sr arrifel* trte-facîhnfiietft au tntme («ft «pur 'hi»MAlhod9Jitt« nous allons mSiquer,
Désignons par x,y,z les coordonnées du point de la courbe qui coïncide, noa plus avec l'extrémité, maïs ^vec l'origine Se la^ongneof • t , t'cat-à-dire , les coordon-
née« ^ {KfHtt p&l^ télpitA on YBtoe toi» Uftgnie à la CMrbe. Soie t0tt)<MiF* s l'are ct«i[rt6 ONir fa éotttta «MM lé fK>ifll (c»»y» 2) » ot n& (nriot Su f4aoé de mamère (|ae la longueur i serve de prolongement à Tare s. Soient encore a»{)» 7 le» aagles que forme, arec les demi -axes des coordoQAtes positives, la tangente au point i^'J» ^) prolcmgée dms le m4me sens i|ue t'apc s. Si Ton pTBoA cet arc pMjr variable indépendante, rextrémité de la longueur i, portée sur la courbe, aura évî-dtstûtiKftit i>ottr eew^otfrtiéea IMb eia|Mmana Aa h ^1
1,J^K devant s*èvanouir avec i; tandis que Textrémbé 'f^me auim hmgoeuf égale à i, portée sur la tangente , et comptée dans le mlSme tetis que ta pteaDièfe , aora pour coordonnées
aî + tcos« = 4c + » "7— » J^ + * cos p = jr = t — - ,
, .^ , , dz
Ceh i^oié , 9r fou tieiiHne ir ta •distance' oompnw «dtfe ;lfla êxâvémsléa -des d«u& Jon- ^ears, et >, fi, v les angles formés avec les dâmi'-tfaft 4ea CDioodttiinées positives par la droite qui , partant de l'extrémité de la seconde longueur , se dirige vers rextrémité de la première, on aura ëûdeoiment
cosA €os ft eo9 «
d*x - rf*y . d*z
ZfZUrl JlLZa-/ -l^J^jj;
ds^ ^ d$* ^ ds^ ^^
«^lB««éft*M«*BrtaMa«krt*«*«M*a
y^m^'M-^-^^ïH-^^'ï] '
: ( iM )
Si maintenant on- fUtconvei^r i vers ht. Umite .^éro, le» valeurs numériques de
l,JtK décrollronl indéfiniment ^ et» en passant aux limites, on tirera de la formule (i4)
C08A COSf* COSV I
, ^* ' • rf*« ~ d'y ~ 1^ ^ l/[(rf»a?)-4.(i/»jr)ii 4.(1/3^).] •
Les angles X^ |a, v déterminéa par cette dernière formule sont ceux qui se trouvent compris entre la normale principale» prolongée dans un certain sens« et les demi-axes des coordonnées positires. La même formule devrait être remplacée par la suivante
, ^, COSX COStt COSv l
si la normale principale avait été prolongée en sens contraire. Ajoutons que les équations (là) et ()Ç) sont renCeripées Tune et Tautre dans la ^eule éauation
^ ^ C09> COSft COSv
^*7) rf.^ d^y ^.^ •
D'ailleurs, on a évidemment
dx dy T18) cOSa = -T^> çoSÔ=--t-., C09 7 = ^ ' ds ^ ds '
dz d, •
et l'on en conclut, en prenant toujoars Tare s pour variable indépendante, que la formule (17) peut être réduite à >
COS X COS ft COS V
dcoioL i/cos^ dcosf
Si l'oi^ cessait de prendre l'arc s pour variable indépendante, la formule (17) deviendrait inexacte. Mab la formule (19) existerait toujours; et, en substituant dans celle-ci, à la place de cosa, cos^, C0S7, leurs valeurs tirées des formules (19) » on trouverait
COSX COSfA COSV
(ao) / rfa?
Nous observerons, en finissant, que la normale principale est toujours c#lle sur laquelle se compte le rayon de courbure de la courbe proposée. Dans le cas où cette courbe devient plane , ia normale principale reste comprise dans le plan de la courbe.
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