DE QUANTITÉS INFINIMENT PETITES

Dans quelques-uoes des questions qui se rattachent au calcul infinitésimal » et particalîèrement dans les questions relatives au contact des courbes et des surfaces » il peut être utile de considérer, non-seulement des quantités infiniment petites du premier, du second , du troisième ordre , etc. , mais encore des infiniment petits dont les ordres soient représentés par des nombres fractionnaires ou même irrationnels. La seule difficulté qu*on éprouve alors est de se former une idée précise de Tordre d'une quantité iafiniment petite. TootifiMS oetle difficulté disparattra » si l'an définit Tordre dont il s'agit comme nous allons le faire»

Désignons par a un nombre constant, rationnel ou irrieitionnel; par i une quantité infiniment petite; et par r un nombre variable. Dans Je système de quantités infiniment petites dont i sera la 6as6 , une fonction de i représentée por f{i)f sera un infiniment petit de Vardre a , si la limite du rapport

(.) Zlil

est nulle pour toutes les valeurs de - r plus petites que a , et infinie pour toutes les valeurs de r pins grandns que a.

(^ette définition admise, si Ton désigne par n le nombre entier égal ou immédiatement supérieur à Tordre a de la quantité infiniment petite /(t ) , le rapport

Ziil

^ra le premier terme de la progression géométrique

(^) f(i^ ^^'^ liîl li^ etc

qui cessera d'être ane quantité infiaimeut petite ; d'où l'on conclut , en raisonnaDl comme dans l'addition placée h la suite des Leçons sur le' calcul infinitésimal , que y^"^(t) sera la première des fonctions

qui cessera de s'évanouir avec t .

Quant au rapport

que l'on déduit de l'expression (1) en posant r = a, il peut avoir une limite finie, ou nulle , pu infinie. Ainsi , par exemple ,

sont trois quantités infiniment petites de Tordre a, et les quotients qu'on obtient eo les divisant par i', savoir ^

e'. -^JJ, e'l(i)

ont pour limites respectives

1 , o , et — .

Gela posé, on établira sans peine les propriétés des quantités infiniment petites, et en particulier les différents théorèmes que nous allons énoncer.

THikoRÊME 1.*' Si , dans un système quelconque, l'an considère deux quantités infiniment petites d^ordres différents , pendant que ces deux quantités s^ approcheront indéfiniment de zéro , celle qui sera d*un ordre plus élevé finira par obtenir constamment la plus petite valeur numérique. -

Démonstration» Concevons que , dans le système dont la base est i , Ton désigne par I^=if{i) et par / = /«'(t) deux quantités infiniment petites, la première de Tordre a, la seconde de Tordre 6 ; et supposons a < 6 . Si Ton attribue au nombre variable r une valeur comprise entre a et 6 , les deux rapports

auront pour limites respectives , le premier — , le second, zéro; et par suite, le

quotient de ces rapports, ou la fraction

aura une limite nulle. Donc la râleur' numérique du numérateur / décroîtra beaucoup plus rapidement que celle du dénominateur /, et cette dernière finira par deTenir conatamment supérieure à l'autre.

Théobêhe 2. Soient a, b , c tes nombres qui indiqtunt , dans un système

déterminé » Us ordres de plusieurs quantités infiniment petites ^ et a le plus petit de ces nombres. La somme des quantités dont il s'agit sera un infiniment petit de C ardre a . ^

Démonstration. Soit toujours i la base du système adopté. Soient de plus /,/, etc. . . • les quantités données » la première de l'ordre a , la seconde de l'ordre b , etc. . • . Le rapport de la somme / 4* ^ ""h ^^c- • • • ^ ^^ quantité / , savoir ,

1 ^^ "^" eic* • . • f

j aura pour limite l'unité , attendu que les termes — , etc. . . • auront des limites nulles.

Par suite » le produit

( 1 + y + etc. . . . J — =

aura la même limite que le rapport

et, puisque ce dernier rapport a une limite nulle ou infinie» suivant qu'on suppose r <: a ou r > a , on pourra en dire autant du rapport

/-f- J-f-etc....

Donc / + / 4- etc. . . . sera une quantité infiniment petite de l'ordre a .

Corollaire. Les raisonnements par lesquels nous venons d'établir le théorème !.•', montrent évidemment que , pour de très-petites valeurs numériques de la base i , la somme de plusieurs quantités infiniment petites , rangées de mÉttière que letars ordres forment une suite croissante , est positive ou négative , suivant que son premier terme est lui-même positif ou négatif.

THioBEMB 3. Dans un système quelconque, le produit de deux quantités infinifneni petites dont les ordres sont désignés par a et par b , est une autre quantité in,finiment petite de Cordre a + ^ •

Démonstration, Soient toujours i la base du système que Ton considère » et I ,J les ({uantités données » la première de Tordre a, la seconde de Tordre b. Les rappéris

auront des limites nulles» toutes les fois que Ton supposera r <z a , s<ib ; deé limites infinies , toutes les fois que Ton supposera r> a, s> b ; et Ton pourra en dire autant du produit

11 en résulte évidemment que le rapport

ir+»

aura une limite nulle pour r-|-«<a-f>fr» ^^ une lioûte infime pour r^s'>a^ù. Donc le produit / / sera une quantité infiniment petite de Tordre a^^b.

Nota, Si Tun des facteurs se réduisait à une quantité finie , le produit serait é?ide(nment du môme ordre que l'autre facteur.

Corollaire. Dans un système quelconque , le produit de plusieurs quantités infiniment petites dont les ordres sont désignés par a, b, o^.... est une autre quantité infiniment petite de Tordre a 4* ^ -f- ^ • • • •

-Théobbiib 4- Si trois quantités infiniment petites sont telles que , ta première étant prise pour base » la seconde soit de Cordre a , et que , la second^ étant prise pour base, la troisième soit de Cordre b, celle-ci, dans le système qui a pour base la première , sera d*un ordre équivalent au produit a b.

Démonstration» Soient i, I et J le» ^ois quantités données; en sorte que les deux rapports

aient dea litniles auUat quand on suppose à-la-foi« r<la» j< A, et des limites tniiiies ^«ând on t^pfiQso à4a^£oi» r^a^ t> b. Il est clair que le produit

aura une limite nulle pour rsKab^ uoe liipite infinie pour rs>ab; et par suite» que y si l'on prend i pour base, / sera une quantité infinimeut petite de Tordpe ab. ^ ■

C&rottaire i.** Le mpport enlre les ordres de deux quantités infiniment petites J et J reste le méme« quelle que soît la base du système que Ton adopte» et ce rapport «est équivalent au nombre b, qui indique l'ordre de la première quantité, quand on prend pour base la seconde. Donc » si » après arotr déterminé pour uue certaine base les ordres de plusieurs quantités infiniment petites , on vient à changer de base » les nombres qui indiquent ces divers ordrçs croîtront ou décroîtront tous à-lofois dans un rapport donné.

Corollaire s.* Si l'on suppose, dans le théorème 4» que 1^ quantité / se réduise

k la quantité i , on aura évidemment a 6 = i , b= — . Donc « si dans le s][s>

lème dont la base est i, la quantité / est un infiniment petit de l'ordre a,

i sera de l'ordre — dans le système qui aura pour base la quantité / . Ainsi , par

exemple, lorsque /» considéré comme fonction de i , est un infiniment petit du premier ordre , on peut en dire autant de t considéré comme fonctioa de /.

Le second corollaire , réuni au premier , entraîne évidemment le suivant.

Corollaire 3.* Si deux quantités infiaimen| petites sont telles que. Tune étant prise pour base , l'autre soit du premier ordre , le nombre qui exprimera l'ordre d'une quan- »tité quelconque restera le même dans les deux systèmes qui auront pour base les deux quantités données.

On parvient enoore assez facilement à démontrer, ainsi que nous l'avons fait à la page 170 des Leçons sur le calcul infinitésimal, un théorème qui peut être employé avec succès dans la théorie des intégrales singulières des équations diflS&rentielles , et que nous ^lons rappeler ici.

Théoxsiiis â. Si Con désigne par i et par f{i) deux quaniités infiniment petites, zéro sera la valeur unique ou Cune des valeurs que recevra le produit

lorsqu^on y fera évanouir ta qua$uité t.

Nous ajouterons que, si la fonction f{i)% dans le système de quantités infiniment petites dont i représente la base , est un infiniment petit de l'ordre a , le nombre a sera ordinairement la valeur unique , ou du moins l'une des valeurs que recevra le produit de i par la fraction (5) renversée « c'est-à-dire 1 le rapport

lûTtqu'on y fera évanouir la quantité i . C'e^t ce qui arrivera en particulier » ai l'on prend pour f{i) Tune dea fonctions . '

^*^'» TTT » **'(*)» i*»ll(t) , i«5in— » etc....

Toutefois il existe des fonctions auxquelles cette ' remarque n'est pas applicable. On peut citer , comme exemple , la fonction imaginaire

f « ( cos -r + l/T sin -7-) .

En effet, si Ton pose

/(t) ;= (« I C08 4- + V/m »in — j =1' t '

y(t) sera infiniment petit de l'ordre a; et l'on trouvera

if'(i) i ^

Or, il est clair que cette dernière expression acquerra une valeur infinie pour une valeur nulle de la quantité t.