PREFACE. VII

très général et très beau, n'épuise pas forcément une question. Il est bien d'autres théorèmes d'existence que ceux de Cauchy ('). D'ailleurs, des cas tiès intéressants peuvent se présenter ou cet énoncé tombe en défaut.

Cela nous amènera à la théorie àd^caractérlsliques, définies précisément comme inultipllcilés d^ exception relativement au théorème de Cauchy.

Et la théorie des caractéristiques nous conduit à la classification des équations du second ordre, en types elliptiques, hyperboliques, paraboliques.

L'équation de Laplace est du type elliptique; nous indiquons, après la théorie du potentiel, la solution qui résulte de l'œuvre de M. Fredholm, Puis nous parlons de certaines éfjuations du lype hyperbolique, linéaires et complètement intégrées; en particulier, ceci nous permettra de montrer la valeur de deux idées qui, dans cet ordre, se rejoignent constamment et se complètent : la Méthode de Riemann et les Approximations successives de M. E . Picard.

Enfin, on a, à ce jour, assez peu de résultats très généraux sur le type parabolique. C'est encore une équation intégrale qui semble devoir jouer ici un rôle important. Nous donnons donc simplement, à ce sujet, une étude rapide du célèbre problème d'invei'sion d'Abel et des équations intégrales de M. Yolterra.

Mon but sera atteint si j'ai amené quelques jeunes étudiants à réfléchir sur quelques-unes des hautes ques-

(^) Voir les Conférences de M. Picard et \a Notice sur les travaux de M. IJadamard. Paiis, Gautliier-Villars.

lions que pose le Cours classique de la Licence es Sciences mathématiques, si j'ai réussi à montrer des faits intéressants, et si j'ai ainsi aiguisé la curiosité de quelque lecteur.

M. Emile Picard a bien voulu me permettre d'user, pour ma rédaction, de ses belles Leçons, qui sont toujours un régal pour l'auditoire. J'ai largement profité de l'autorisation, en ce qui concerne les équations de M. Fredholm et de M. Volterra.

Il m'est agréable de dire à mon maître, à cette occasion, mon affectueuse et respectueuse reconnaissance.

Septembre 1908.

RappeJoDs quelques formules importantes et quelques théorèmes fondamentaux.