I. — Géométrie
Courbe plane. Rayon de courbure :
x=f{t), y = git), R =
dx d^y — dy d- x
Courbe gauche. Formules de Frenet-Serret :
^(5), yis), z{s), (5 = arc), A^ = dy d^z — dz d^y \
^ r^. dz d'- X — dx d'' z l Z = \\dx d^x d^x\\ (»), C = dxd^y- dyd^x \
R == rayon de courbure, T = rayon de torsion.
Cosinus de la tangente : a, p, y.
Cosinus de la ngrmale principale : ce', ^' y'.
(') Ce symbole représenle un déterminant dont on n'écrit que la première ligne.
Cosinus de la bi normale : a", [j", y",
R-^ ~ ds^
d'j. a' ds ~ ^'
ds~ K'
ds = T'
da! a Ts """ R"
Courbes tracées sur une surface :
i^' Lignes de courbure : les normales à la surface le lon<^ de ces lignes forment une développable, ou bien le rayon de courbure est maximum (ou minimum);
2" Lignes asjmptotiques : le plan osculateur est le plan tangent de la surface ;
3" Lignes géodésiqiies : le plan osculateur est normal à la surface.
Coordonnées curvilignes. — La théorie des surfaces comporte l'emploi des coordonnées curvilignes
ds^ = ^dx-^ = dx^ + dy^ -f- dz^
(carré de différentielle, non différentielle du carré),
ds^ =Edu'^-h'2F dudi^-hG dv'^, EG — F2 = H2 > o.
Ansle des directions det^'.
n dx ùx
, , ^ , r\ ax ox •
COS(rf.,0.)=Sj^-^
Iî; du ùit -i- ¥{duùv-^ dv ou ) -+- G dv Bv v/E du- . . . /E ou- . . .
^H Cosinus de la normale d'une surface : c, c', d' ^
On a les autres, en permutant circulairenient, x, y, s.
Posons
D = Il <, a?;, a?; Il, *
D = Il 00, n, :r„ 07 (, II,
D"=ii<. < ^;||.
On a, de suite,
^cd^x = -^ ( D du'^ + 2 D' o^a ^p -h D " dv^^ ) ;
d'où les asympto tiques
D ^w2 + 2 D' rfi< dv + D" ^p2 == o.
Angle de la normale ^ à la surface^ avec la normale principale n d'une courbe de la surface. — N a pour cosinus c, c', d' .
La courbe a pour cosinus de sa tangente a, a! ^ a", et pour sa normale principale n : b, b', h\
da h UN
— - = - (r rayon de courbure),
dx
d'où
ds
H ^, \y da^ + 2 D' du dv + D" dv"^ — cos(N, Al) = ,, , ., ^r-y — -j TT-rr-)
d'où le théorème de Meusnier, et aussi les Lignes de courbure.
Soit R un maximum pour r, dans une section normale I cos ( N , /i ) I = I
(nous négligeons la question de signes). Écrivons donc que l'équation
a ses racines égales
{Edu^-^...} = o
D du -+■ D' dv — ^ {E du -h ¥ dv) = o,
D'du-^ï)"di>— ^4{^du^Gdv) = o; n
d'où les lignes de courbure
{Ddu^ D' dv) (F du -¥■ G di>) = (D' du -h D" di>) (E du -h¥ dv);
d'où les rayons principaux
Soient R, et R2 les rajons principaux, on a (O. Rodrigues)
dx -^ Ride = o, dy -+- Ri de' = 0, dz -\- Ri de" = o, Sa? -i- R2 3c = o, ^y -t- R2 oc' = o, Bz -h R2 oe" = o,
d et ^ sont les deux directions des lignes de courbure. Les lignes asymptotiques sont encore données par
o = dp dx + dq dy pour
Les lignes de courbure par
o = \\dx dX A II,
A{u^ v)^ B, G étant les paramètres (pas forcément les cosinus) de la normale
dx -\- p dz dy -\- a dz .. .
dp ^ de, P°"' ^=/(^.r),
et alors l'équation en R,, Ro sera
Surface déve/oppable
Ou bien : même plan tangent le long d'une génératrice
X = âz -+•/>, y= bz-^q-,
a, 6, /?, q, dépendent de a; ce qui donne db dp — da dq = o.
Surface réglée. — Le point central I est tel, qu'en 1, le plan tangent fait un angle de 90° avec le plan tangent à l'infini,
lange =KÏM (Chasles),
9 est l'angle des plans tangents en M et en I, K est constant sur une génératrice.
Congruence de normales :
X = az H-/?, y^bz-^q;
a, 6, /?, q dépendant de a, [3.
Ces droites sont les normales d'une surface si l'on a
a/?a -4- bq'y^ ap'u -+- bq'<A
, =^ «a H — — ==== d^ = différentielle exacte
La surface est alors donnée par z =
Surface moulure. — Un système de lignes <ie courbure est formé de courbes planes et situées dans des plans parallèles. Le plan étant celui des xy^ on a
X = 4^(a) cosa — ^'(ol) sina -H ^{z) cosa, j^ = ij;(a)sina -+- ^' (oc) cosa + cp(2) sina.
Le plan étant celui des xz^ on aurait
IL — Intégrales et séries.
(Domaine réel.)
Une fonction f{x)^ continue, a une intégrale, limite de somme.
L'intégrale existe encore si l'on a un nombre fini de discontinuités finies ou de discontinuités infinies de certain genre.
Exemple :
r" f{x)dx , J^ {a — xyn
est bien déterminé si l'on a f{x) borné et /?i < i . Exemple :
/J(jv dx (4^= logarithme)
est bien déterminé.
Dans certains cas, aussi, on peut prendre un champ d'intégration infini.
Exemple :
f(x) dx
est bien déterminé si l'on a/(^) borné et [a > i . Exemple :
Jf sina? dx A ^
est bien déterminé.
Soit
F(^)= f fi^)dxy •A on a
F est l'intégrale générale ou primitive.
Si /est rationnel, F contient une partie rationnelle, des logarithmes et des arc-tangente.
Soit
f=R(sinx^ cosx) (R = rationnel),
on peut intégrer, car sin^ et cos^r sont rationnels
en ^ = tang — .
Soit
/= e^^'^Rix),
il s'introduit une transcendante nouvelle
C e^ dx r dx , • , . . 1
/ ou / — — = logarithme intégral.
J ^ J Kj^
Soit
y = ew^R(sina7, cosa?),
nous avons la transcendante nouvelle
e^^ cot— dx
(Hermite, Cours d'Analyse, 1878, Gauthier-Villars).
Soit P,i un poljnome de d(^gré n.
Si /= K(œ, y/Po )j on ramène aux fonctions rationnelles.
Si y^ R (^, y/P/^j, on a des quadratures elliptiques (ai ^ 3, 4) ou hjperelliptiques, dont la théorie des fonctions complexes montre le vrai sens. Soit
on peut rendre rationnel si p ou ou p -\ est
entiej\
Soit une série ^w„(^), si eWeconwev^e uniformément, elle représente une fonction continue, et l'on obtient l'intégrale en intégrant chaque terme.
bi > — -1 — - converge aussi unitormement, elle représente la dérivée de la somme / ^Un{oo)'
Même théorème pour une intégrale, oix J\x) contient un paramètre a, lorsque le champ est infini ou bien lorsque la fonction devient infinie, de façon que les intégrales convergent uniformément.
Changem^ent de variable clans une intégrale. — Posons X = cp(^), C5 est continu, ainsi que cp', à un point x correspond un point t, et réciproquement.
Si /{ce) est continu, f^o(t)^ = F(t) est continu, on a alors
f{x)dx= F
{t) dt
Ceci suppose o'{t) non nul.
Si ^ et cp' sont discontinus en ^25 'es deux membres sont égaux, tous deux déterminés ou tous deux indéterminés.
On passe ainsi au cas où l'on a un nombre fini de discontinuités.
Même résultat pour un champ infini (*). *
(' ) Pour ces questions fondamentales, voir, par exemple, les Mémoires de M. C. Jordan et M. de la Vallée-Poussin, dans le Journal de Mathématiques de M. Jordan, 1892.
Bien eolendii, on passe au cas où cp' s'annule un nombre fini de fois.
Intégration par parties. — Quand il n'j a pas d'ambiguïté à craindre, U^"^ ou U'^ représente ■^^*
Q. = U V«-i — Ui V«-2-h . . . H- (- I )'^-i vu«-i. Soit le cas élémentaire
i" Si / et C5 sont continus dans le domaine a6, /' et cp' ayant des discontinuités isolées.
Si / /cp' t/x a un sens, j f o dx aura un sens.
v° Si 6 = 00, si deux des trois termes oai^ un sens
J'ff'; ff'f> l/?lâ-
le troisième est bien déterminé.
L'intégrale multiple est encore une limite de somme. Une intégrale multiple se réduit à des quadratures successives, dans un ordre arbitraire, si la fonction n'a qu'un nombre fini de discontinuités finies sur une parallèle quelconque aux axes.
S'il y a des discontinuités infinies ou si le champ d'intégration est infini, l'intégrale n'est déterminée que si cela a lieu, la fonction étant remplacée par son module.
Sinon on aurait l'analogue d'une série semi- convergente, dont la somme dépend de l'ordre des termes. C'est une différence profonde entre l'intégrale multiple et l'intégrale simple, qui tient à des considérations à' Analysis situs.
La dérivation, par rapport à un paramètre, donne lieu au même théorème que pour une quadrature simple.
On peut changer de variables, soit ^^ = c2/(wa), J est le jacobien
j ^ Il àxj
V ¥{xi) dxx dxi . . . dxn — }^ F [cp/( M>i )] | J | du^ du^ . . . dun'
Ùx et Çiu sont les champs correspondants.
On suppose J continu et ne s'annulant qu'en un nombre fini de points sur toute parallèle aux axes.
Etudions maintenant les intégrales généralisées : fonction ou champ infini.
Si la fonction ne change pas de signe, l'intégrale multiple se réduit à des quadratures successives, dans un ordre quelconque, si cette opération conduit à un résultat déterminé (l'infini compris); le théorème subsiste si, la fonction changeant de signe, la réduction est possible en prenant son module.
Quant au changement de variables, la formule subsiste, les deux intégrales sont égales, déterminées ou indéterminées, si, à la frontière, les dérivées des ^ sont discontinues, si J est nul, si la fonction est discontinue.
Formule de Riemann, dans le plan. — Soit C un contour simj)le, coupé en deux points par une parallèle aux axes, (C) l'aire renfermée :
