I. H2 = o pour

Ceci donne u{xQ^y) par une quadrature.

II. H, = o ^onv X ^= Xq^ équation différentielle linéaire d ordre i en - —

Donc nous pouvons annuler M. De même pour N.

III. Il nous faut étudier l'intégrale u de (2), aVec ces données imposées :

U et 3 — sur OB,

OXq

U et -r — sur OA.

àyo

Lemme de m. HoLMGiiEN. — Avec ces donnécs , U cxiste une intégrale continue ainsi que ses dérivées premières dans l'angle AOB; les dérivées secondes seront discontinues sur la caractéristique OC.

Prenons le cas simple •

^ ^ \0x dy ) dx dy

ou

V est connu sur O^, OG est caractéristique pour Téqua-

ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. I77

tion (y). Donc, dans la région GOB, nous avons une solution p, de (y); c^ est aussi connu sur Oy] donc, dans la région AOG, nous avons une solution Ç2 de (y).

Sur OC, Cl = const. et V2 = oonst.

En effet, soit

— - = ha-— (dérivée en 37, sur OC);

àx àcc ây

dcc dx ' >

Donc c, solution de (y), égale à v^ dans une région, à ^2 dans l'autre, est discontinu.

Intégrons alors (^)

^ , , 1 ', • ' I j ' du du

co et «i> sont détermines par les données ; m, t- > t- sont con-

1 » r ^ ^ dx dy

tinus, mais - — — = ç [x, y) est discontinu.

C'est le lemme de M. Holnigren.

Pour le cas général, on mettrait un deuxième membre

/{x,y), dans (a) et (y).

Puis on ferait des approximations successives. Nous admettons donc que (2) soit intégré.

IV. Il reste à étudier les intégrales suivant OC qui a pour équation dy = a dx.

M -h -r: ) les dérivées secondes disparaissent.

Donc cette partie de l'intégrale totale est nulle. N contient le terme

d /du dx \ dx

àu,\ d /du\ ^ ^d^J ~ d^\d^)''

or — est continu sur OC. Donc, cette partie, aussi, est

nulle.

Le problème est achevé, sauf que la (juestion A^ approximations, dans le cas général, est très délicate et qu'il faudra constamment, ou bien se placer dans le domaine analytique, ou faire, sur toutes les dérivées des fonctions données, des hypothèses voisines de celle d'analjticité.

Remakque.

M. Burgatti et M. E.-E. Levi (*) passent ensuite au cas général : équations à deux variables, d'ordre /i, les n caractéristiques étant réelles et distinctes.

11 faut remarquer que M. Delassus (2) avait résolu le problème de Gauchy, les caractéristiques réelles se réduisant à une ou deux distinctes, pour l'équation à deux variables, d'ordre n.

De nombreux travaux devraient encore être mentionnés, en particulier ceux de MM. Le Roux (3), Bianchi ("*), Nicoletti (5).

Nous ne pouvions donner ici que des aperçus (^).