V. — Extension de la méthode de Riemann a des
ÉQUATIONS d'ordre QUELCONQUE, A CARACTÉRISTIQUES RÉELLES.
M. Holmgren (^) a fait une très belle application de la méthode de Riemann. Soit une équation du troisième
Fig. 27.
ordre dont les trois caiactéristiques sont réelles et ramenées, par un changement de variables, à étie, à l'origine
dx = o, dy = o, dy = a{x^ y) dx.
\ r(^)=- ha-— -. — T h Oi^p-iQ
(i) ; ^ ' \âx OyJ dxdy ^'"
biiPii-+- 6o2/?o2-f- Ciopio-h C01P01-+- dz =2 o.
(') Arkiv for Matematik, Stockholm, 1904.
KQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. 170
L'adjointe est
G(a) =— — — -r^««« ^-x^»2oW +:3 — —bn u
' ôx^ dy ùx ôy^ ôx^ dx dy
H 6o9 u — -7— Cio u --C01 u-^ciu = o.
dy- ' dx dy
^ ' ' ^ ' dx dy (Jx dy
M =zU,^^U,,
N= -K!+— K,, dy -
d-^ u d-^ H 1 = ^ 1 — ; — - au
dx dy dy'^
— 6>oo u — 6>n i« -f- Cin U.
dx dy
d'- dUi Kl = - — — aw+ -— ;-■
dx dy dy-
-'■J^^^l''--^^02U^CoiU,
du ,
U^ = ^ h boou,
dy
K2 = — ^au^bo^u,
dz dz\ d du\ P =. u\ \-a—-\—z\ — au A \^0\xuz,
\dx dy j \dy dx J
Soit une courbe rencontrée en un seul point par chaque caractéristique OA, OB, OCÙ. Pour tout contour fermé,
d'après (3), z satisfaisant à (i) et w à (2). Le contour OCAO donne :
f M«[r + Po-PA+ r = o.
Le contour OBGO donne :
/ —Ndx-^l = o-
Si r on peut avoir M nul sur OA, N nul sur OB et 5/ les intégrales suivant OC et GO se détruisent^ (4) et (5) donnent :
Si, sur AB, sont donnés z et ses dérivés d'ordre i et 2, Po est connu.
Or ceci nous donne une équation du premier ordre
Z étant connu sur BA.
Le problème sera résolu. Étudions ceci :
