Cela posé, voici l'énoncé du problème d'Abel
/ est V inconnue, g est donnée, et V on a o <C. n <Ci pour que V intégrale ait un sens. H faut avoir
(^) V. V^OLTERRA, Leçons faites à Stockholm en ]9o6. — Poisson, Théorie de la chaleur, i835. — P. Appell, Journ. de Math., 1892. (En paiLiculier, dans ce beau Mémoire, sont retrouvés des théorèmes d'Hermite sur des polynômes spéciaux.)
(^) Ace. di Torino, 1896; Ace. dei Lincei, Roma, 1896.
La solution est aujourd'hui classique; on effectue sur les deux membres ro[)ération
avec la remarque de Diriclilet. Grâce à la nature de la fonction F, on obtient de suite, k étant une constante,
3. Le problème est résolu. On doit remarquer qu'on a à dériver une intégrale à élément infini et que, par suite, le résultat est immédiat par l'emploi de la notion de partie finie. Nous représenterons la partie finie d'une intégrale infinie par | .
da
d da {a -
-yy-
-.dy
dy {a -
-yy-
-.dy
\ é^(y) y , f" s'iy)dv
U i^-yy-"
La solution n'est régulière^ à l'origine, que si g est nul en ce point.
l'équation intégrale de m. volterra.
1. Il j a deux équations intégrales fondamentales : /est l'inconnue, F et g sont donnés : ,
(EO f(:v) + X f F(x,y)f{y)dy = ff(x) (M. Fredholm), (EO f{x)-i-lf ¥{x,y)f{y)dy = g{x) (M. Volterra).
ÉQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE. l8l
La seconde se résout par des a|)proximations successives :
Si les fonctions F et ^ sont bornées, les approximations convergent, quel que soit X, et la solution est unique,
La même méthode ne réussirait, pour la première équation, que pour des valeurs assez petites de X. Gomme d'ailleurs M. Fredholm a montré que la solution est méromorphe par rapport à X, on obtient, par les approximations, une sorte de limite inférieure du module du pôle Àq. le plus voisin de l'origine.
2. M. Picard a mis en évidence que les approximations successives simplifient les beaux travaux de M. Volterra. Suivons ce mode d'exposition.
Dans (E2) on posera
d'où
/o=^, fiÀ^)=- f F{^.y)fp-i(y)dy.
Si l'on a
on a de suite
(JSx)P
\fpi^)\<M
d'où la convergence, quels que soient M, N, X.
11 j a aussi unicité de solution, car, soit h{x) une solution ^A^^e de
. / F(x,y)h(y)dy = o;
l82 CHAPITRE V.
nous avons donc
\hir)\<?,
d'où
\h{x)\<\i\ f m* dy = \i\m'x,
ou bien
\Hy)\<\M^Vy.
Revenons à l'équation par itération, d'où
\h{c En général,
l^(-^)l< l>'l' r ^'S''ydy = \\\VN^~^
quelque grand que soit /?, d'où
3. On peut étendre ce résultat. Supposons que !a fonction F devient infinie, mais est intégrable. On a l'équation
Les approximations reviennent à poser
f{y) =My) + ^Aiy) + ^''Mr)-^- - ••
C^ f,{x)dx
On posera
r' dt
et l'on trouvera, M étant une limite supérieure du module
de g :
EQUATIONS DES TYPES HYPERBOLIQUE ET PARABOLIQUE
( \A(r)\<yiby^-^ ^ !.A(r)l<M(6J^l-«)^
iS'i
La convergence est assurée si l'on a
Donc, si y est assez petit, il y a une solution et elle est unique. (Même raisonnement par itération.)
4. Il faut mentionner que le point de départ de M. Vollerra a été, non point l'équation (E2), mais, bien celle-ci :
Par dérivation en y, on retombe sur (Eo) si G{y^y) ne s'annule pas (' ).
