VO

Une intégration, suivie de dérivation, ramène encore à (Ko), comme l'a montré M. Volterra.

C'est très simple pour le cas, très général, où l'on a

lî{x,y)=^h,(-T)^^,(r).

(') Si cette fonction s'annule, il faut, pour l'étude de ce problème, se reporter aux travaux suivants : V, Volterra, Annali di Matematica, 1897. — E. HoLMGREN, Soc. l'oyale des Sciences d'Upsal, 1900. — T. Lalesco, Thèse {Journ. de M. Jordan, 1908). Ce Mémoire est extrêmement intéressant. — Koir aussi une courte Note de l'auteur, Congrès de Rome, 1908. Notons que, dans sa Thèse, en 1894, M. Le Roux avait abordé ce genre de problèmes.

On emploie l'artifice d'Ahel (*) : inU'gralion avec la remarque de Dirichlel,

\ I hu{x)f{x)dxl '' • = fonct. connue.

PosanLy — X ^= t{a — x)^ nous remplaçons la variabley par t et nous intégrons, d'où

C'est une équation (V,).

Elle se ramène à (Ea) si la fonction

^Gp{a,a}hp{a)

ne s'annule pas.

Or, cette fonction est, à un facteur constant près,

^gp(a)hp{a) = H(ff, a).

Donc, discussion encore si H(x^x) s'annule.

(*) M. Picard donne une autre solution, pour le cas où H (a, a) ne s^anoule pas, dans les Comptes rendus en 1904. M. Burgaiti a résolu un problème plus général {Ace. dei Linci-i, 1908).

On passe assez facilement au cas ivon linéaire (Lalesco), tandis qu'il n'en va pas de même pour l'équation de Fredtiolm.

i. On donne l'équation

x^y — -icpy — 4jK = iP sina? -H (a + bx^) cosa7.

Établir, entre les constantes a, b, une relation telle que l'intégiale soit une fonction uniforme.

2. F(x) étant holomorphe au voisinage de l'origine, trouver une solution, holomorphe autour de l'origine, pour l'équation

x^y -i- "ixy -\- y = ¥{x).