Soit la surface

x = vco?,u^ y = V ûnu, z = f{u) -\- v g{u).

Trouver les trajectoires orthogonales des génératriees? Former l'équation des asymptotiques.

Intégrer lorsqu'on a

g =^ a cos u -\- h sin u

{a et b sont constants).

Dans ce cas, peut-on déterminer f de sorte que les asymptotiques aient pour projection sur le plan xOy des cercles passant par l'origine?

46. On donne la partie réelle P(^, y) d'une fonction f{z). Montrer que f{z) s'obtient à l'aide de la fonction W^ si l'on a posé

Zq étant conjugué de z. (R. Alezais, Nouv. Ann., 1907.)

47. Soit une surface telle que, sur une ligne asymptotiquCy on ait

S étant l'arc d'asymptotiqiie, /' la distance d'un point de l'asymptotique à un point fixe^ C une constante.

Cette surface est de révolution, ou bien elle est un cône. (G. TziTzÉicA, T. Lalesco, Nouv. Ann., 1907.)

48. Lignes asjmptotiques de la surface lieu du milieu des cordes de la courbe

(J. DE Vries, Nouv. Ann., 1907.)

49. Note. — I. Les diamètres conjugués de V Indicatrice de Dupin fournissent les lignes conjuguées sur une surface. Uune de ces lignes a pour tangente l'intersection de deux plans tangents dont les points de contact sont infiniment voisins sur Vautre. Soient «? et 0 deux directions conjuguées; la même voie qui a donné

^cd-^x (p. 3), donne

d'où

Y) du ùu + D' {du Zv -^ dv ou) -\- D" dv ov =^ o.

Si les lignes w= const., v = const. sont conjuguées, on a

{Voir le théorème de M. Koenigs, G. Darboux, Leçons, t. [, p. 112.)

H. Surface minima. — La somme des rayons de courbure principaux est nulle, l'indicatrice est partout une hyperbole équilaière

{\-^ q^)r — ipqs -^(i-i-p^)t = o.

Nous rappelons que, la surface étant rapportée à son plan

tangent,

2 il \A '

l'indicatrice est

Cp2=ï.