PREMIÈRE PARTIE

Description générale et théorie des roues verticales à aubes courbes y mues par-^lessous .

1. Làk fig. 1, PL r*., représente une roue verticale à aubes courbes , disposée de façon à éviter, autant qu'il est possible, le choc de Peau et la perte de vitesse qui a lieu d'ordinaire après qu'elle a agi : ces aubes sont encastrées , par leurs extrémités , dans deux plateaux annulaires , à la manière des roues à augets , sans néanmoins recevoir de fond comme celles-ci ^ elles peuvent être composées de planchettes étroites lorsqu'on les exécute en bois ^ autrement elles doivent être d'une seule pièce , soit de fonte de fer, soit de tôle , et alors on peut se dispenser de les encasti*er dans les plateaux annulaires , en y adaptant des oreilles ou rebords cloués ou boulonnés sur ces plateaux. Dans certains cas , on trouvera plus à propos de supprimer les anneaux et de les remplacer par des systèmes de jantes , ainsi que cela se pratique ordinairement pour les roues en dessous : les aubes courbes devront alors être soutenues par de petits bras ou braçons en fer, dont la partie inférieure soit boulonnée sur la jante après l'avoir traversée j le reste du braçon , plus mince et plié suivant la courbe qui sera examinée plus loin , devra êti*e percé , de distance en distance, de petits trous pour recevoir les clous ou boulonnets destinés à fixer l'ailette. Dans le cas dont il s'agit il sera d'ailleurs utile, pour l'effet, de placer des rebords en saillie sur les ailettes, suivant le système de Morosi: ces rebords pourront avoir de ^ à 3 pouces^ mais il sera préférable, sans contredit , de fermer entièrement les côtés des aubes par des planches ou feuilles de tôle mince , qui prendront très-peu de place dans le coursier et seront soutenues par les jantes et les courbes.

2. Voici maintenant les principales dispositions du coursier et du vannage.

Le coursier BC est incliné ici au n ? dans la vue de restituer à l'eau la perte de vitesse occasionnée par le frottement contre les parois \ son inclinaison pent, sans inconvénient, être beaucoup moindre lorsque la lame d'eau est épaisse ou que la vitesse est petite comme il arrive dans la plupart des cas.

La largeur du coursier doit être égale , ou ^ ce qui vaut mieux encore , un peu moindre que celle des aubes de la roue. A cet effet , il coûvient de creuser dans les parois latéi^ales des renfoncemens circulaires REC (Jig* i^ a et 3), propres à recevoir les anneaux et une portion des aubes de la roue : il doit exister le moins de ]eu possible enire leat uuutcIUs paroî<« i^t les anneaux ; enfin , il faut pratiquer un ressaut ou seuil FF à une certaine distance au-delà du plan vertical passant par Taxe de la roue ^ afin de donner du dégagement à Peau après sa sortie des courbes; le coursier doit en outre être élargi (Jig. a) le plus possible aux environs de ce seuil, dans la vue de faciliter davantage ce dégagement. Quant à la retenue ou tête d^eauBO, il est nécessaire de fincliner en avant, de façon à rapprocher le pertuis de la roue, et, sous ce rapport, il conviendrait peut-être aussi , quand les parois de ce pertuis sont très-larges, de placer la vanne BR en dehors, en la composant d\me feuille de tôle forte, ou d^une plaque de fonte mince , glissant avec peu de jeu dans une feuillure pratiquée sur les joues du coursier : la manœuvre peut s^effectuer au moyen d'un cric ou de toute autre manière.

JN[ous reviendrons plus tard sur ces diverses dispositions , quand nous aurons établi , par la théorie et Fexpérience , les données particulières de la question : il nous suffit , quant à présent , d'en avoir donné une idée générale.

3. Pour établir la théorie de la roue dont il s'agit, nous admettrons que Feau, en sortant du pertuis, prenne une vitesse dont la direction soit, à peu de chose près , tangentielle à la circonférence de cette roue : de sorte que , si l'on suppose le premier élément de la courbe des aubes tangent luimême , ou à peu près tangent à cette circonférence , il n^ aura pas de choc sensible lors de l'entrée de l'eau dans la roue. L'eau glissera donc le long de chaque courbe , suffisamment prolongée , avec une vitesse relative égale à sa vitesse propre diminuée de la vitesse uniforme de la roue , et s'élèvera , en pressant la courbe , à une hauteur sensiblement égale à celle qui répond à cette vitesse. Par conséquent , si le seuil F ou ressaut du coursier est tellement placé que le bord inférieur de la courbe y soit précisément arrivé au moment où l'eau va parvenir à sa plus grande élévation , celle-ci redescendra le long de la courbe , en la pressant de nouveau , et s'échappera par la partie inférieure avec une vitesse relative sensiblement égale à celle qu'elle possédait en y entrant , et qui aura pour direction celle de l'élément inférieur de cette courbe. Quant à la vitesse absolue conservée par l'eau, elle sera égale à là différence de sa vitesse relative le long de la courbe et de la vitesse propre

r*. PARTIE, DESCRIPTION GÉNÉRALE ET THÉORIE. l3

de la roue^ puisqu^on peut encore supposer ici le dernier élément de la courbe sensiblement tangent à la circonférence de cette roue : or , pour qu^il n!y ait point de force perdue , il faudra ^ comme on sait , que cette vitesse absolue soit nulle.,

D'après cela, nommant V la vitesse de Teau à Pendroit du coursier où elle commence à monter sur la roue, H la hauteur due à cette vitesse, m la masse d'eau écoulée pendant une seconde , g la gravité , enfin ç la vitesse uniforme que doit prendre la roue , V— f^ sera la vitesse relative avec laquelle

Peau s'élèvera le long de la courbe , et ^ ^ sera la hauteur à laquelle elle

parviendra le long de cette courbe : diaprés ce qui précède , elle acquerra de nouveau, en descendant le long de cette même courbe, la vitesse V — çf ainsi (V — f^) — f=V — 3f> sera sa vitesse absolue au sortir de la roue: cette vitesse devant être nulle pour la production du maœimum d'effet , on aura V — 3f=o, d'où ç=z\'S'^ c'est-à-dire que la roue devra prendre la moitié de la vitesse du courant , précisément comme cela a lieu , d'après la théorie , pour les roues à aubes ordinaires.

Il est d'aifleurs évident , d'après le principe des forces vives , que la quantité d'action fournie par la roue sera alors théoriquement égale à mg^H, c'està-dire à celle que possède l'eau à l'instant de son entrée dans les courbes^ ce qu'on peut constater directement ainsi qu'il suit (*).

4* Le mouvement de la roue étant supposé parvenu à Puniformité , et F étant PefTort constant exercé à sa circonférence , lequel peut toujours être censé représenter un poids égal élevé par une corde enroulée sur un tambour de même diamètre que la roue , Vs^ sera , dans l'unité de temps , la quantité d'action qui correspond à cet effort 5 celle qui aura été dépensée pendant le même temps par la chute sera d'ailleurs m^H^ ainsi mgYL — Pf^ sera la quantité d'action totale communiquée au système. D'un autre côté, la vitesse absolue qui reste à Peau après avoir agi sur la roue, est, d'après ce qui précède, V — :kv : donc la force vive qu'elle aura acquise au bout du temps en question, sera m(\ — a^)'; et par conséquent on aura, d'après le principe des forces vives , m(V — 3f')*=3(mg^H — Vi^) :

(*} Le lecteur qui désirerait de plus amples explications sur Papplication du principe des forces Tives aux roues hydrauliques, les trouvera dans les excellentes notes de VArchUecture hydraulique de Bélidor, tome i«r,^ liy, a, chap. I, rédigées par M. Navier.

l4 MÉMOIRE SUR LES ROTIES A AUBES COURBES,

d'où Pon tire,

Vv=^mgïL — mi i.,

ou, à cause de V*=:ag^H,

TeUe est la quantité d'action théoriquement transmise à la roue dans lunité de temps, lorsque son mouvement est parvenu à Puniformité. En ladiiFërrendant par rapport à v^ on trouve, comme ci-dessus, pour la vitesse qui correspond au maximum d'effet, f'=îV, et la quantité d'action communiquée à la roue dans ce cas est

Pf'=m— =mg^H5

c'est-à-dire qu'elle est égale à la quantité d'action totale possédée par l'eau ellemême, à l'instant où elle entre dans la roue.

En nommant D la dépense d'eau dans une seconde , exprimée en volume , et observant que g^=9",8o9, on aura, comme on sait, mg=ioo6G^^' i^ d'après quoi , les formules ci-dessus , qui expriment la quantité d'action transmise à la roue, deviendront, pour le cas d'une vitesse quelconque f^,

et pour le cas du maximum d'eiffet ,

Pf'=ioooDH.

Les pressions ou efforts exercés , dans les mêmes drconstauces , à l'extrémité du rayon de la roue, seront ainsi respectivement,

P=!io3,894D(V— f)^"-,

P=ioooD;rT = ioooD- = ioi,947DV^'K

D'après cela, on voit que , théoriquement parlant , i^« la roue dont il s'agit produira un effet double de celui des roues en dessous ordinaires, et égal au plus grand de tous les effets possibles ; tx^. la pression ou l'effort exercé sur la roue sera pareillement double de celui qu'éprouvent les roues en dessous , pour les mêmes vitesses , avantage précieux àax^ tous les cas où la résbtance à vaincre

P^ PARTIE, DESCRIPTION GÉNÉRALE ET THÉORIE. l5

au départ est considérable ] 3^. enfin la vitesse de la roue qui répond au maxi-^ mum d^efFet sera moitié de celle du courant ^ et par conséquent la même que celle qu^indique la théorie pour les roues à palettes ordinaires.

5. Différentes circonstances empêchent que les choses se passent tout-à-fait ainsi dans la pratique : il convient donc de les examiner avant d^aller plus loin ^ tant pour connaître leur influence respective sur les résultats , que pour en déduire des règles sur la meilleure disposition à donner aux diverses parties du système.

La théorie qui précède suppose en effet que l'eau entrera dans la roue sans choquer les courbes , et qu'elle en sortira avec une vitesse dirigée en sens contraire de celle que possède la circonférence de la roue : or, ces deux conditions sont très-difliciles à réatiser en toute rigueuF dans la pratique^ on peut même dire qu'elles s'excluent réciproquement.

La dernière exige eu effet que la courbe des aubes se raccorde tangendellement avec la circonférence extérieure de la roue ^ et pour satisfaire à l'autre , il conviendrait d'incliner son premier élément d'une certaine quantité par rapport à cette circonférence.

Considérons , par exemple (Jîg. 4) ? ^^ ^'^^ quelconque a & de la lame d'eau , et proposons-nous de rechercher quelle doit être la direction du plan bcf pour que ce plan ne reçoive aucun choc de la part du filet fluide ab^ k cet effet, portons la vitesse V de ce fUet de 6 en c , dans la direction de son mouvement , et pareillement la vitesse correspondante ^ de la circonférence de la roue de & en J, sur la tangente en & à cette circonférence ^ la droite 0^2 ou sa parallèle b d exprimera évidemment (*) la direction à donner au plan pour remplir le but proposé. On voit donc que l'angle dbdàxk plan et de la circonférence de la roue doit être encore très -appréciable, et qu'il varie i®. avec la position particulière du filet fluide ab^ !2^* avec le rapport des vitesses (^ et Vj 3®. enfin avec la grandeur de la circonférence de la roue.

6. Relativement à la position particulière du filet fluide à l'égard de la lame d'eau dont il fait partie, on voit que l'angle dbd devra être nul pour le filet inférieur de cette lame , et qu'il sera le plus grand possible pour le filet supérieur, dans une même roue et pour les mêmes vitesses v et V. Supposons , par

(*) On peut, en effet, considérer la vitesse V ou 6c de Peau comme composée dedeux autres , dont Puné hd est celle v que la masse fluide prendra en commun avec k circonRrence extérieure de la roue, et dont la seconde nécessairement dirigée sui* Tant la parallèle bé kcd^ ne pourra ainsi agir pour presser ou choquer la courbe.

l6 MÉMOIRE SUR LES RODES A AUBES COURBES.

exemple, que Parc embrasse par la lame d*eaa da com'sier soit de 25^, ce qui convient en particulier au cas ou cette lame aurait une épaisseur de ^5 centim* et la roue 5 met. de diamètre ^ Pangle cbd correspondant au filet supérieur sera donc aussi de a5^ ; et , si Ton prend pour la vitesse i^ celle qui convient au maacimum d^efFet, elle sera sensiblement égale à ; V : or, on conclut de ces valeurs respectives, par le triangle bcd^ que Fangle dhd supplément de hdc^ est d'environ 47^5 c'est donc entre o° et 4?*^ ^^ devra se trouver l'angle d'inclinaison moyenne le plus convenable pour le plan b c// en prenant ^4^ pour cet angle , on ne s'écarterait probablement pas beaucoup de l'inclinaison qui donne le minimum du choc ^ du moins , on peut s'assurer directement que la perte de forces vives due à ce choc serait alors peu de chose relativement à la force vive totale possédée par l'eau.

Nommons en effet a l'angle c'^J que forme la tangente hd avec la direction de la palette plane b d supposée dans une position quelconque ^ puis b l'angle cbdîoixxai par cette même tangente avec la direction du filet fluide &c/ la foTce vive perdue pourra être censée proportionnelle à l'épaisseur de la lame d'eau qui choque directement le plan bd^ et au carré de la différence des vitesses Y et f^, estimées suivant la perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire à [V sin. (a -6) — 9 sin. a]* : m étant la masse totale de fluide qui s'écoule dans l'unité de temps, cette force sera moindre que m [Vsin. {a-h) — f^sin. a]*, puisque cette expression suppose qu'en général la masse d'eau dépensée m choque le plaù b d sur toute la hauteur qu'elle occupe dans le coursier, circonstance qui arrive tout au plus pour la position où l'extrémité inférieure b de ce plan atteint le fond de ce coursier. Or, en donnant à f^ et a les valeurs ci-dessus îV, ^4^9 ^^ faisant varier l'angle b ou c&J depuis zéro jusqu'à sa limite ^5^, on trouvera que les valeurs de la formule précédente demeurent comprises entre o et o,o5mV% La force vive perdue par l'effet du choc n'est donc pas même le i de la force vive mV', possédée par la masse d'eau afiluente , et il est probable que moyennement elle n'est pas la moitié de cette quantité , toujours dans les hypothèses précédentes , qui sont défavorables , puisqu'il arrive rarement , dans la pratique , que la lame d'eau choquante embrasse la roue sous un arc de plus de 25^ (*).

(*} On remarquera, d'après Pezpression trouvée ci-dessus y que, dans certaines positions de la palette plane hd^ la pression de Peau peut devenir négative, c'est- à -dira agir en 9ens contraire du mouvement de la roue: or, si l'on se reportç aux aubea courbes , on reconnaîtra aisément que cet elTet n'a lieu que pour une trè^petite portion