S.SI

La sixième colonne de ce tableau montre que la surface du liquide, dans l’intervalle compris entre les faces latérales du réservoir et les bords correspondants des orifices, ne s’est exhaussée au-dessus du niveau général, relevé à sa véritable position, que pour trois expériences , et que , pour les neuf autres , elle est restée au-dessous. La plupart des différences de hauteur sont d’ailleurs fort minimes, car les exhaussements au-dessus du niveau général

SUR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU, varient entre o,a3 et o,38 millimètre; et, parmi les abaissements au-dessous de ce niveau, 5 sont compris entre 0,01 et 0,2a millimètre, en sorte qu'il est d'autant plus permis de considérer ces différences comme provenant d’erreurs, que M. Castel déclare , en termes exprès ( 1 4 1 ) , que toutes les opérations qui se rapportent au réservoir de o“,36i présentent beaucoup d'incertitude.

145. Il résulterait des profils qui nous occupent, que les plus grandes distances entre les points où l'inflexion de la surface île l’eau, dans le sens perpendiculaire au courant, commence à se faire sentir, et les bords verticaux des déversoirs de o“.o499 , o".09i8, o“. ioo4, om. 1994 et o“.3ooa de largeur, seraient respectivement de om.or]9>, o“.o83 , o“.o53, o".oa4et o“.oo5, c’està-dire qu’à ces distances des côtés verticaux de l'orifice, la surface de l’eau serait à la hauteur du niveau général tel que l’indique M. Castel, et demeurerait horizontale à partir de ces points jusqu'aux parois du réservoir. Mais, en relevant ce niveau à la position qu’il doit avoir pour tenir compte de la vitesse acquise par le fluide, ces distances se trouvent modifiées en ce qui concerne les déversoirs de o“, 1994 et o“,3ooa de largeur. En effet, en continuant de sentiment les courbes résultant des sections de la surface de l’eau , construites d'après les données du tableau numéro 7 de M. Castel , les points où elles rencontrent le niveau général ainsi exhaussé, sont éloignés des bords des orifices de o“,oa 1 à o“',o44 pour celui de om. 1 994 de largeur, et de o“,o 1 à o“,o3a pour celui deo“,3ooa. Ainsi, la sphère d’activité du premier, dans le sens perpendiculaire au courant, s’arrête à o",o368 des faces latérales du réservoir, tandis quelle va au delà de ces parois pour le second.

146. On peut conclure de ce qui précède : 1” que les faces latérales du réservoir de o“,36 1 de largeur, n’ont aucune influence sur les dépressions de la surface du liquide pour le déversoir de o", 1 994 de largeur, et à plus forte raison pour ceux qui sont plus étroits, puisque les limites des sphères d’activité, dans le sens latéral, sont encore plus éloignées de ces faces pour ceux-ci que

pour l'autre; a" que ces mêmes faces exercent au contraire de l'action dans le cas du déversoir de om,3ooa , dont la largeur esl les 0,83 a de celle du réservoir, puisque leur distance aux bords de cet orifice est moindre que la sphère d’activité de celui-ci. Ce dernier fait est, au reste, constaté par nos propres expériences, car nous avons trouvé une différence sensible entre la charge moyenne et l’épaisseur effective de la nappe , pour un déversoir dont la largeur o“,ao était les o,833 de celle o°\a4 du réservoir (dispositif de la fig. 9).

M. d’Aubuisson fait remarquer ( Annales des mines, t. XI) que l'étendue des sphères d'activité est d'autant plus grande, que les déversoirs sont plus étroits. Si cette loi était générale, il s’ensuivrait que, pour l’orifice de o“,3q98 qui est situé, par rapport au réservoir de o",74 de largeur, à très-peu de chose près comme le déversoir de o”1, 199/1 l'est par rapport au réservoir de o“, 36 1 , l'inflexion de la surface du liquide ne commencerait à se faire sentir latéralement qu'à environ o^oiS des bords de l’ouverture, et par conséquent à om, 1 55 des parois correspondantes du réservoir. Au surplus, comme les largeurs des orifices de o”, 1994 et de o",3998, sont respectivement les 0,55a et les o,54 de celles des réservoirs dans lesquels ils sont pratiqués , il est évident que, puisque les laces latérales n’ont aucune influence sur les dépressions de la surface du liquide pour le premier de cos déversoirs, elles ne doivent pas en avoir, à plus forte raison, pour le second.

1 47. Ou doit donc admettre d’une manière générale, que tout déversoir isolé par la base, et dont la largeur n’excède pas les o.55a de celle du réservoir, peut , sous le rapport des dépressions de la surface du liquide, être considéré comme étant dans le cas des minces parois (dispositif de la fig. 1); c’est-à-dire que pour un tel déversoir on peut, sans erreur sensible, prendre l’épaisseur de la nappe de fluide au centre de l’orifice et dans son plan , pour la charge moyenne déduite de faire entière de la section de la veine par ce plan, lorsque la charge totale est un peu forte.

Sun LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU. 99

Ainsi, les résultats obtenus par M. Castel ne peuvent s'accorder avec les nôtres, que pour ceux de ses déversoirs qui , remplissant la condition que nous venons d’énoncer, ne sont pas d'ailleurs tellement étroits, que l'effet de la capillarité rende la charge moyenne sensiblement plus forte que l’épaisseur effective de la veine (i35). Comme cet ingénieur n’a jamais mesuré que cette dernière quantité sans s’occuper de. l'autre, ainsi que nous l’avons déjà dit (i 38), nous manquons de données pour établir entre ces deux quantités une relation qui permette de déduire directement l’une de l’autre, de façon à rendre nos résultats elles siens exactement comparables, dans tous les cas où la charge moyenne diffère sensiblement de l’épaisseur effective de la veine, ce qui a lieu lorsque la largeur de l’ontice est très-petite ou quelle excède les o,5âa de celle du réservoir; mais nous espérons que ce qui va suivre lèvera jusqu'à un certain point la difficulté.

RECHERCHE DES CIRCONSTANCES QUI FONT VARIER LES DÉPRESSIONS OE LA SURFACE DU LIQUIDE, DANS LE PLAN DES DÉVERSOIRS ISOLÉS PAR LEUR RASE ET DÉBOUCHANT LIBREMENT DANS L'AIR.

148. Pour vérifier si nos expériences et celles de M. Castel s’accordent entre elles, dans les cas où il est permis de les comparer, nous avons naturellement cherché à appliquer à ces dernières une formule très-simple que nous avons trouvée en i 828 , pour un déversoir de om,ao de largeur en mince paroi plane, et qui reproduit, avec un degré d’approximation très-satisfaisant, tous les résultats qui concernent cet orifice. Cette formule , qui a été insérée aux numéros 1 37 et 1 67 du mémoire de 1 839, est basée sur des considérations qu'il est nécessaire de rappeler ici , pour l’intelligence de ce que nous avons à dire sur ce sujet.

En prenant pour abscisses les rapports -y- de la charge totale sur la base du déversoir en question, à la charge moyenne dans le plan de cet orifice, et pour ordonnées les dépressions moyennes

A' = II — A qu'éprouve la surface <lu liquide dans ce même plan, on obtient une courbe parfaitement régulière, qui a évidemment deux asymptotes parallèles, l’une à l’axe des ordonnées et l’autre à celui des abscisses. En effet, la charge moyenne ne pbuvant jamais excéder la charge totale, le rapport -r ne saurait devenir plus petit que l’unité, mais il peut en approcher indéfiniment, puisque l’expérience démontre que ce rapport diminue sans cesse, à mesure que la charge totale augmente; on doit donc admettre une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées et correspondant à la valeur i de l’abscisse. D’un autre côté , nous avons souvent remarqué , ’ en vérifiant la position de la base du déversoir, que l’action capillaire de la paroi dans laquelle cet orifice était pratiqué, maintenait le niveau général de l’eau dans le réservoir, tantôt à i,5 et tantôt i 2 millimètres au-dessus de cette base , sans que pour cela l’écoulement eût lieu. Ainsi, la charge H était encore moyennement de 1 ,8 millimètre lorsque A était nul, et comme alors A'=II — A=H, nous en avons conclu que la courbe avait une asymptote parallèle à l’axe des abscisses et correspondante à l’ordonnée i- n‘,8, ce qui lui donnait la forme d’une hyperbole équilatère , dans laquelle les produits — i j (A' — • i ,8) devaient être constants. En les effectuant, nous avons trouvé qu’en prenant le millimètre pour unité, ils s'écartaient généralement très -peu de leur moyenne 1,319. C’est pourquoi nous avons posé ( — 1 ) (A' — 1 ,8 ) = 1 ,3 1 9.

D’où l’on déduit, en remplaçant A' par sa valeur H — A :

H = A-t-o.9-I-\/ i,3ig A -|-o,8i A = H — o,s4o5 — y/ i,3i9H-l-o,o5784.

». • "*/» jX

Cette formule est très-remarquable en ce que , non-seulement elle donne pour H et A des valeurs qui diffèrent extrêmement peu de celles què l’expérience a fournies, mais encore elle satisfait aux deux limites extrêmes du phénomène, au cas où la charge totale est infinie , comme A celui où elle n’est plus suffisante pour

SL' R LES LOIS OE L’ÉCOULEMENT DE L’EAU, vaincre l’action capillaire de la base du déversoir et déterminer l’écoulement du liquide.

149. M. Poncelet, en comparant les résultats que nous avons trouvés pour le déversoir de o",20 de largeur en minces parois, avec ceux qu’ont obtenus MM. Bidone et Eytelwein avec des appareils différents des nôtres, a cru remarquer. que les valeurs de -r-, ou plutôt du produit — i ) (A’ — 1,8), dépendaient du rapport de la largeur l de l’oriCce à celle L du réservoir. C’est pourquoi il a remplacé dans notre formule, pour la généraliser, le coefficient constant i ,3 1 9 par uue quantité k fonction de ^ , et il a posé l’équation (^— — i) [h'- — 1,8) = A, dans laquelle k, déterminé approximativement pour le cas où ^ serait au-dessous de o,3, a pour expression k = 0,01 96 |" 1 g-(- ^ 100 ■£- — 1 5,5 J. (Mémoire de 1829, SS 169 et suivants.)

Notre formule ainsi modifiée satisfait, avec un degré d’approximation suffisant pour la pratique, à nos expériences et à celles de MM. Bidone et Evtelwein pour lesquelles le rapport -j- est inférieur à o,3. Mais, M. Poncelet alui-méine fait remarquer quelle élail déduite d’an trop petit nombre d'expériences pour qu'on pût, quant alors, la considérer comme autre chose qu’une formule empirique, propre à en représenter les résultats avec un degré d'exactitude raisonnable cl dans une certaine étendue, notamment pour le cas où la largeur de l’orifice égale au plus le -j ou les 0,3 de celle du réservoir. Les prévisions de cet illustre savant se sont réalisées; les opérations que nous avons faites depuis la publication de nos premières expériences, jointes à celles que M. Castel a exécutées plusieurs années après nous, jettent de nouvelles lumières sur cette question, et la font envisager sous un autre point de vue.

150. Si, dans l’équation (ÿ — 1 ) [h' — 1,8) =A\ les valeurs du terme k dépendaient, comme on l’avait pensé, de celles de -j- pour tous les cas où celles-ci sont au-dessous de o,3.

EXl’ÉHIENCES HYDRAULIQUES il s’ensuivrait qu’à égalité de ce rapport et dans les limites dont il s’agit, les dépressions A' de la surface du liquide seraient les mêmes, à charge totale égale, quelles que fussent les largeurs des déversoirs. Or, en jetant un coup d’œil sur les tableaux 9 et 1 o de M. Castel et sur notre tableau du numéro 1 07, on voit qu'il n’en est point ainsi. En elfet, le réservoir de ora,36 1 étant un peu inférieur à la moitié de celui de les dépressions qui, pour

le premier de ces réservoirs, se rapportent aux déversoirs de 5 et de 1 o centimètres de largeur, devraient cire un peu supérieures à celles qui, pour le second, concernent les orifices de 10 et de ao centimètres de largeur, tandis qu elles sont, au contraire, en général de trois à quatre fois plus petites. Pareillement, pour nos déversoirs de ao et de tio centimètres de largeur, pour lesquels les valeurs du rapport ~ sont de o,o544 et o, 1 63 , et qui correspondent par conséquent à des largeurs de 4 et de 1 a centimètres dans le réservoir de o”*,74, et de a et de 6 dans celui de o“,36i, les dépressions devraient être notablement moindres, que celles que M. Castel a trouvées pour les déversoirs de 5 et dé ao centimètres avec le premier de ces réservoirs, et de 5 et dé to centimètres avec le second, tandis qu’elles sont au contraire beaucoup plus considérables.

151. Fin faisant ces' rapprochements, nous avons été frappé de cette circonstance, que les dépressions pour le déversoir de ao centimètres de largeur, obtenues par nous avec un réservoir de 3‘",68, diffèrent extrêmement peu de celles que M. Castel a trouvées pour le même orifice avec un réservoirde o"\74, quoique ce second réservoir soit cinq fois moins large que le premier. Celte observation nous a donné lieu de penser que ces dépressions pourraient bien, entre certaines limites des valeurs de — , être indépendantes de ce rapport et ne varier qu’avec la largeur absolue des orifices.

Four vérifier ce soupçon, nous avons dû, avant tout, examiner dans quelles circonstances les produits — 1 j (A’ — 1,8) ne

SUR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU. 103 changent pas, pour un même déversoir, quelle que soit la charge totale, parce que ce sont les seuls cas pour lesquels on pouvait espérer de généraliser la formule que nous avions établie pour le déversoir de o“,20 de largeur en minces parois, sans lui faire perdre la propriété remarquable quelle a de satisfaire aux limites extrêmes du phénomène ( i 48).

1 52. L’orifice de s centimètres de largeur, que nous avons soumis à l’expérience , s’est naturellement trouvé exclu de nos recherches, parce que les dépressions qui le concernent sont inférieures à 1,8 millimètre, lorsque les charges totales ne sont pas très-fortes

(table du n° i 99). En effet, les produits ^ 1) ( h ' — 1 ,8), que

dorénavant nous appellerons p, étant alors négatifs, b quantité qui entre sous le radical dans l’équation

H = h -+- 0,9+Vp A -+- 0,8 1 ,

qui donne la charge totale en fonction de la charge moyenne, deviendrait elle-même négative pour les valeurs de A qui rendraient ph plus grand que 0,81 , et par conséquent H serait imaginaire . ce qui ne peut avoir lieu.

Ce que nous disons du déversoir de 2 centimètres de largeur /doit se présenter, à plus forte raison, pour ceux qui sont plus étroits, et si M. Castel a trouvé, pour cet orilice comme pour celui de o'",o 1 de largeur, des dépressions supérieures à 1 ,8 millimètre , même pour les plus faibles charges totales, c’est que toujours il s’est borné à prendre l'épaisseur effective de la veine au centre du déversoir, et l’a retranchée de la charge totale pour avoir la dépression. Or, cette épaisseur est, dans ce cas, sensiblement plus faible que la charge moyenne, en sorte que les dépressions ainsi obtenues se trouvent toutes trop fortes. Tour ces petits orilices, les dépressions suivent une tout autre loi, que nous indiquerons plus foin en ce qui concerne celui de 2 centimètres de largeur, sans chercher à la généraliser pour d’autres ouvertures, non-seulement parce que nous manquons des éléments nécessaires, mais

encore parce que, pussions-nous réussir dans nos recherches, le résultat serait sans utilité réelle pour la pratique, attendu qu'on n’y fait pas usage d'aussi étroits déversoirs.

153. M. Castel, par les motifs que nous venons de rappeler, ne fournit aucun moyen d’assigner directement le minimum de largeur des déversoirs, pour que les dépressions soient toujours supérieures à 1,8 millimètre, quoiqu’il ait opéré sur un grand nombre de petits orifices. Toutefois, il nous semble que cette limite doit peu s’écarter de 3 centimètres. En effet, nous avons fait remarquer au numéro 1 3G que, par suite de l'action capillaire des parois, l’excès de la charge moyenne sur l’épaisseur effective de la veine au centre des déversoirs devait , toutes choses égales d'ailleurs, être d'autant plus grand que les orifices étaient plus étroits. Mais admettons, pour prendre le cas le plus défavorable, que la différence soit la même pour les déversoirs de 3 et de a centimètres, en sorte qu'en nommant A et h' les charges moyennes respectives qui, pour ces deux orifices, correspondent è une même charge totale 11 , et e et e' les épaisseurs effectives de la veine, on ait e=A — i et c" = A' — i. Pin désignant par D et D' les dépressions évaluées d’après la méthode de M. Castel, on a D = H — e = H — A-f-i et D =11 — e'= 11 — A'-t-i: d’où D — D'=A' — A. Soient au contraire d et d' les dépressions calculées selon la marche que nous avons suivie, on a d— H — A et ii'=H — A', d’où d — d'—h' — A. Donc D; — D' — d — d\ et D — D'-^-d'—d. D’où il résulte que pour avoir la dépression d, relative à l'orifice de 3 centimètres, telle qu’on l’ofitiendrait en retranchant la charge moyenne de la charge totale, il faut ajouter aux différences D — D' données par le tableau numéro 9 de M. Castel, les dépressions d que nos expériences nous ont fournies pour l’orifice de 1 centimètres de largeur. Or, les plus petites valeurs que l’on trouve pour d, en opérant ainsi, sont très-peu inférieures à 1,8 millimètre; on peut donc admettre que le minimum de largeur des déversoirs pour lesquels les produits p sont toujours positifs, diffère très-peu de 3 centimètres.

154. Quoi qu’il en soit, si, faisant abstraction de quelques ré-

sultats qui se rapportent en général aux plus fortes et aux plus faibles charges, et proviennent évidemment d’erreurs ou de l’impossibilité où s’est trouvé l’observateur de prendre toujours des mesures exactes, on effectue les calculs pour toutes les expériences de M. Castel {tabl. IX et X), on reconnaît que, pour des largeurs de déversoir depuis 3 jusqu’à 3o centimètres, dans le cas du réservoir de o™,74. et jusqu’à 50 centimètres dans celui du réservoir de o°\36i, les produits dont il s’agit sont sensiblement constants, quelle que soit la charge totale, pour un même orifice, et sont d'autant plus grands que celui-ci est plus large. Ces mêmes produits varient au contraire avec la charge pour les déversoirs de o“,4o de largeur et au-dessus, dans le premier cas, et de o”,3o et au-dessus dans le second.

Ainsi, p varie avec la charge totale pour le déversoir de o“,4o de largeur et le réservoir de om,-j !\, tandis (pi’il est encore constant pour celui de o"\20 et le réservoir de o",36i, quoique dans le premier cas la largeur de l’orilice ne soit que les o,54 de celle du réservoir, et que dans le second elle en soit les o,5âa. Mais il semblerait que les opérations relatives au réservoir de o”,36 1 sont entachées d’une erreur générale, indépendamment de celles qui peuvent être dues aux vices mêmes de l’appareil, et qui font que M. Castel déclare accorder beaucoup moins de confiance à ces opérations qu’à cédés qui concernent le réservoir de ( 1 4 ■ ) -

En effet, en jetant un coup d’œil sur les tableaux IX et X, on remarque avec surprise qu’à égalité de charge totale et de largeur des déversoirs, les dépressions de la surface du liquide sont cou.v tamment plus fortes pour le réservoir de o”,74 que pour l’autre. Il n’y a d’exception que pour 3 expériences sur 54, dont 2 se rapportent à l’orifice de om, i o qui , sous les charges de 4o et 3o millimètres, a donné le même résultat pour les deux réservoirs, et une à l’orilice de o",3o qui, avec la charge de i4o millimètres, a fourni une dépression de o",ll-,4 plus forte pour le réservoir de o",3Gi que pour celui de Nous indiquons ci-après le

maximum, le minimum et la moyenne de ces différences.

Orifices de. 10 20 30 50 100 200 300 millimètres de

largeur.

(Maximum... 0.7 -0,9 -1.5 -1.9 -4,1 -0.8 -1,7 j

Différences. < Minimum .. . 0,4 --0,6 — 1,1 —1,1 —0,0 -0.2 — 0,6 V millimètres.

I Moyenne ... 0.53 -0.67 -1,3 -1.6 -0.83 -0.43 -0.9 )

On voit que les différences dont il s’agit, après avoir augmenté

avec la largeur des déversoirs, diminuent brusquement pour celui de o“,ao et sont ensuite plus fortes pour l’orifice de o”,3o. Quelle peut être la cause de ces différences, toutes aQ'eclées du même signe, sauf une seule que nous avons indiquée plus haut, et d’où vient leur brusque diminution pour le déversoir de o",ao? Nous ne saurions le dire; mais d est évident, d’après cela, que, sans exclure de nos recherches les résultats relatifs au réservoir de on,36i, nous devons du moins, en cas de désaccord, donner la préférence à ceux qui concernent le réservoir de

155. Nous devons donc admettre que les produits p varient avec la charge totale lorsque ~ est égal ou supérieur à o,54 , et comme d’un antre côté nous avons vu (l 54) que, pouT le réservoir de o",74, ces mêmes produits demeurent au contraire constants, quelle que soit cette charge, pour les orifices de o",3o de largeur et au-dessous, c’est-à-dire lorsque j- est égal ou inférieur à o,4o54, il s'ensuit que la valeur de ce rapport au-dessus de laquelle p varie et au-dessous de laquelle il demeure au contraire constant, est comprise entre o,4o54 et o,54. H n’existe, à notre connaissance, aucune expérience qui puisse servir à déterminer avec précision la ligne de démarcation entre ces deux cas distincts; mais, comme pour ~ = o,54 les produits p, sans être constants, n’éprouvent que de légères variations comparativement à celles qui ont fieu pour de plus grandes valeurs de , nous pensons nous écarter peu de la vérité en faisant correspondre le point de partage à -j-= o,5o.

Ces faits sont d’ailleurs pleinement confirmés par les expériences' que nous avons faites nous-même, en ce qui concerne

SUR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU. IU7 le premier cas, sur des déversoirs de o“.ao et de om,6o de largeur avec les dispositifs des figures i, a, 3 et A, pour lesquels les valeurs de sont respectivement de o.o544. 0.0806, 0.1 563 et o. i63o; et, en ce qui concerne le second cas, sur un déversoir de om,20 avec les dispositifs des figures 9 et 10, pour lesquels on a successivement ~ = o,833 et j-= 1. Enfin, les opérations de MM. Eytelwein et liidone elles-mêmes, malgré les incertitudes qu’elles présentent , s’accordent bien avec celles que nous venons de citer.

DÉPRESSIONS DE LA SURFACE DU LIQUIDE DAKS LE PLAN DES DÉVERSOIRS ISOLÉS PAR LEUR RASE ET DÉBOUCHAIT LIBREMENT DANS L'AIR,