DONT LA LARGEUR EST INFÉRIEURE AUX 0,0 DE CELLE DU RESERVOIR

156. Ainsi, pour tout déversoir isolé par sa base et débouchant librement dans l’air, dont la largeur l est d’au moins 3o millimètres, mais n’excède pas les o,5 de celle I, du réservoir, on a, entre la charge totale II, la charge moyenne A et la dépression h', en prenant le millimètre pour unité, la relation

D'où l’on tire, en remplaçant A'=I1 — A par sa valeur :

A = H-I-Ç — 0,9 — Vp (j-p -0,9 -+- II) -t- 0,81.

Dans ces équations, p exprime une quantité constante pour un même déversoir, mais d’autant plus grande que cet orifice est plus large (i54). Pour découvrir la loi quelle 'suit par rapport à l, nous avons pris pour abscisses ses diverses valeurs données par l’expérience, et pour ordonnées les largeurs correspondantes des déversoirs. Nous avons trouvé par cette construction une courbe parfaitement régulière, qui a la forme d'une branche de parabole ordi-

EXPÉRIENCES HYDRAULIQUES naire et est représentée, avec un degré de précision bien suffisant pour la pratique, par l'équation p=5,4 2 8 — (o,ooi 7.8/ — -3,373)’.

D’après cette expression, les valeurs positives de p ont un maximum qui est de 5, 4a8, et s’obtient en faisant 1= 1 37 t ,68 millimètres. Comme il n’a point encore été fait, que nous sachions, d’expériences sur d'aussi larges déversoirs, dont les bords soient éloignés des parois correspondantes du réservoir autant que le suppose le cas que nous considérons, on ne saurait affirmer que le nombre 5,428 soit précisément la limite supérieure des valeurs positives de p. Néanmoins, nous l’adopterons quant à prisent, et comme d’un autre côté il n’est pas naturel de penser que p, après avoir augmenté graduellement avec la largeur de l’orifice, comme le démontre l’expérience, diminue lorsque cette largeur dépasse une certaine limite, noms admettrons que ce chiffre reste constant pour toutes les ouvertures qui excèdent 1371,68 millimètres, et que la branche de la parabole, qui donne pour p des valeurs positives toujours croissantes avec /, satisfait seule à la question. Sur cette branche de la courbe, p devient nul lorsque /= 34,86 millimètres, c’est-à-dire que, pour une telle ouverture, la dépression ne changerait pas, quelle que fût la charge totale , et serait égale à 1,8 millimètre. Pour des valeurs de l plus petites, p deviendrait négatif, ce qui est conforme à la loi générale indiquée par l’expérience; car, pour l’orifice de a centimètres de largeur et les charges totales au-dessous de 5g3,5 millimètres (table du n° 199), les dépressions, ainsi que nous l’avons déjà fait remarquer (i5a), sont inférieures à 1,8 millimètre, et par conséquent les valeurs correspondantes de p sont négatives.

157. Nous avons réuni, dans le tableau suivant, tous les résultats de nos expériences et de celles de MM. Castel, Bidonc et Eytelwein, relatifs à des déversoirs qui remplissent les conditions énoncées au numéro précédent, et nous avons calculé la charge totale H, en introduisant successivement les valeurs de la charge moyenne h , dans le plan du déversoir, déduites de l'observation, dans la formule :

SUR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DF, L'EAU

H — h = 0,9 — t- pl‘ -+- o,8 1 ) p = 5,4 28 — (0,00173/ — a . 3 7 3 )2 )

dans laquelle le millimètre est pris pour unité et / représente la largeur du déversoir.

On fera remarquer que les orifices dont le plan n’est pas perpendiculaire aux faces latérales du réservoir, ou dont les deux bords verticaux sont situés à des distances de ces parois d et J, inégales entre elles, et telles que l’un des deux rapports et j — excède o,5o, ne font pas partie de ceux que nous considérons ici ; ils sont classés dans une catégorie à part dont nous parlerons plus loin.

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SCR LES LOIS DE LÉCOl'LEMENT DE LEAC. 111

158. On voit, par la dernière colonne de ce tableau, que les différences entre les valeurs calculées de II et celles que l’observation a fournies, sont généralement très-petites et ne s’élèvent à plus de ~ de ces valeurs, que pour 19 des 78 expériences qui y figurent.

De ce nombre, 1 5 se rapportent aux déversoirs de M. Castel, dont a (la a 4e et la 4i'). relatives à ceux de 10 et de a o centimètres de largeur, proviennent évidemment d’erreurs dans les mesures, ce qui n’a rien d’étonnant de l’aveu même de cet ingénieur ( 1 4 1 )• En effet, si, pour chacun de ces orifices, on prend pour abscisses les valeurs de H et pour ordonnées celles de h, telles qu’elles résultent de l’observation, on obtient deux courbes dont la régularité est brusquement interrompue au point correspondant à II = 1 4o millimètres, pour la première, et H = aoo millimètres pour la seconde. En les assujettissant à passer

par ces points, elles se dépriment l'une et l’autre de telle sorte ({u’étant continuées plus loin, li au lieu d’augmenter incessamment avec 11, comme l’expérience et le raisonnement l'indiquent, cesserait tout à coup de croître et même diminuerait. Ces courbes conservent au contraire un coure régulier, lorsqu'on retranche île II ou qu’on ajoute à li précisément la quantité dont elles différent des valeurs données par la formule (A), ce qui témoigne en faveur des résultats déduits de cette formule.

Des i il autres expériences de M. Castel dont nous nous occupons, G concernent les déversoirs de 3 et de ô centimètres de largeur, et 7 ceux de 20 et 3o centimètres, sous les plus faibles charges. Les différences dont il s’agit doivent, pour les unes et les autres, être attribuées en grande partie à ce qu’on a pris l’épaisseur effective de la veine pour la charge moyenne. En effet, pour les étroites ouvertures, cette dernière quantité excède l’autre dans une proportion d’autant plus grande, que la charge de liquide est plus faible ( 1 35) , tandis que c’est l'inverse qui a lieu pour l’oriüce de 20 centimètres de largeur et sans doute aussi pour ceux qui sont plus larges (129). Ainsi, en introduisant dans la formule (A) l’épaisseur effective de la veine au lieu de la charge moyenne, le calcul doit donner pour H des valeurs plus faibles que celles qui résultent de l’observation, dans le cas des déversoirs de 3 et de 3 centimètres (expériences 7, 8, 9, 19, 20 et 21), et plus fortes au contraire dans celui des orifices de 20 et de 3o centimètres de largeur (expériences 4g, 5o, 5i, 69, 70, 71 et 72). Or, c’est précisément' ce qui a lieu, de manière que la formule (A), dans laquelle h représente toujours la charge moyenne, rectifie en quelque sorte, sous ce rapport, les résultats des expériences dans lesquelles on n’a pris en considération que l’épaisseur effective de la veine au centre de l’oriüce et dans son plan.

159. Parmi les expériences de M. Bidone, 3 donnent des résultats très-satisfaisants, tandis que pour les deux autres, numérotées 38 et 4o, les différences proportionnelles de H sont de

Sun LES LOIS DE L'ÉCOULKMEMT DE L'EAU. 113 208 et i3o dix-millièmes; mais, pour ces deux dernières, les charges totales ne sont pas indiquées dans le texte du mémoire de ce savant, et on les a déduites de la comparaison des ligures qui l’accompagnent, ce qui a pu conduire à des erreurs. Enfin, l’observation et le calcul s’accordent très bien pour deux des quatre expériences d’Eytelwein; mais, pour les 3/' et (>4‘, les différences dont il s’agit sont de 276 et 2Ü2 dix-millièmes. On 11e salirait s’en rendre compte que par de fausses indications de mesures, ce qui est d’autant plus probable, que M. (l’Aubuisson (Traité d'hydraulique à l'usage des ingénieurs, p. 73 et 7/1) annonce que Funk, en rapportant les 4o expériences faites sur le canal de Bromberg, dont celles qui nous occupent font partie, donne des charges totales un peu plus fortes que celles qu’il indique luimême; or, en les augmentant, on les rapprocherait de celles que fournit le calctd.

Il résulte donc de tout ce qui précède que la formule (A) lionne, avec un degré d’approximation siillisant pour la pratique, la charge totale H en fonction de la charge moyenne h et réciproquement, pour tous les déversoirs qui, par leur largeur et leur position par rapport au réservoir, sont dans l’un des cas définis aux n“ 1 57 et 1 58.

'Jttv 4'x '.c ' *• * •

DÉI’HESMO» DANS LE CLAN UES DEVEilSOIRS ISOLÉS l'AII l.ECIt BASF.

ET DÉBOICHAKT LIBBEUEST OASS L'AII,

DONT LA LAHGEFn EXCÈDE LES 0,5 l)E CELLE DC 11FSEKÏOIB

160. Lorsque ~ est plus grand que o,5o, les dépressions de la surface du liquide, dans le plan des déversoirs, suivent une loi précisément inverse de celle qui les régit quand, au contraire, ce rapport est plus petit que o,5o. En edet :

1° Elles croissent avec les valeurs de -r. ce qui ressort clairement de nos expériences sur un déversoir de o“\2 0 de largeur, avec les dispositifs des ligures 10 et 9 (labl. du n° i65), car dans le premier cas, où | = 1 , elles sont beaucoup plus fortes que

iS

dans le second, où ^- = o,833; et, dans celui-ci, elles sont notablement plus grandes que celles qui se rapportent aux dispositifs des figures i, a et 3, pour lesquels -j- est inférieur à o,5o (tabl. du n° 157).

a" Elles sorti indépendantes de la largeur absolue des déversoirs , car pour le cas où -j-= 1, les résultats relatifs aux orifices de o“,74 et de o°',36 1 sont à très-peu de chose près égaux entre eux, et ne diffèrent de ceux que nous avons obtenus avec notre déversoir de o",ao (dispositif de la fig. 10), qu'en ce que M. Castel a fait entrer dans ses calculs l’épaisseur effective de la veine-, au lieu de la charge moyenne ( 1 38) ; ce même déversoir de o“,ao, dans le cas où -j- = o,833 (dispositif de la fig. 9), nous a donné, salifies différences «pie nous venons de mentionner, les mêmes dépressions que celui de om,3ooa de M. Castel, dans le cas où j = o”,83 1 6; enfin, une expérience de M. Eytelwein sur un déversoir de o”\673, placé par rapport au réservoir de telle sorte qu’on avait -j- = o,538, s’accorde parfaitement avec celles que M. Castel a faites sur un déversoir de o“,3998, pour leipiel la valeur de -j- était de 0,54 (tabl. du n° 1 65).

161. Ainsi, des orifices plus larges les uns que les autres depuis 1 ,5 jusqu’à 3,7 fois, donnent, à égalité du rapport ^ et pour toutes ses valeiirs supérieures à o,5o, les mêmes dépressions de la surface du liquide, d’où l’on doit conclure «pre ces quantités sont indépendantes de la largeur absolue des déversoirs; et, comme d’un autre côté nous avons vu tju’elles croissent au contraire avec j-, il s’ensuit que les résultats des expériences ne peuvent être reproduits que par une formule générale qui soit fonction de et ne contienne pas l.

Pour la trouver, nous avons d’abord cherché à établir, pour cha«pie orifice auquel correspond une valeur distincte de -r-, une relation entre la charge totale II et la charge moyenne h. A cet

SI R LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU, effet, nous avons pris pour abscisses les dépressions H — h , et pour ordonnées les charges obtenu, par cette construction, des courbes qui avaient l’apparence de paraboles ordinaires, et que nous avons toujours réussi à représenter, avec lui degré de précision satisfaisant, par des équations de la forme H — h = a-\-bh ch‘. Pour lier ces équations entre elles, nous avons pris successivement pour abscisses toutes les valeurs de a, de b et de c, relatives à chaque orifice en particulier, et pour ordonnées les valeurs correspondantes de -j-. Nous avons ainsi trouvé trois nouvelles paraboles, que nous avons pu exprimer très-approximativement par des équations de la forme a = A-t-B-£ — l-C-jj, et qui, combinées entre elles, nous ont donné, en prenant le millimétré pour unité, la relation générale :

moyennes correspondantes h. Nous avons

H — A = aA’-f-|3A — y .

<x=o,oo3i5 [ (y o,656)’-(-o,o37] I

,41 sb >

162. Cette formule n’a pas, comme celle qui concerne le cas où J- est inférieur à o,5o, la propriété de satisfaire pleinement aux deux limites extrêmes du phénomène. La valeur de H correspondante & A=o est de 3,o3 milbmètres, pour —= 1 comme pour -L = 0,08 ; elle diminue ensuite avec ce rapport, se réduit A 1 ,8 millimètre lorsque -j- = 0,6 1 a , et n’est plus que de o,g3 millimètre quand est arrivé à sa limite inférieure o,5o. Nous avons vu (i48) que, dans le cas où les bords de notre déversoir de o“,ao étaient à une grande distance des faces latérales du réservoir, l'action capillaire de la parbi dans laquelle cet orifice était pratiqué, maintenait le liquide à 1,8 millimètre au-dessus de la

iS.

base de ce dernier, sans que l'écoulement eut lieu. On conçoit que cette hauteur augmente lorsque, les faces latérales étant très- rapprochées de l’ouverture . leur action capillaire s’ajoute en quelque sorte à celle de la paroi qui contient l’orifice, et qu’elle puisse devenir de 3,o3 millimètres. C’est d'autant moins invraisemblable, qu’une expérience rigoureuse nous a démontré que le liquide ne commençait à s’.écouler par l’orifice, que lorsque la charge totale sur sa base était de 5,3 millimètres, dans le cas du dispositif de la figure 4, où les deux bords du déversoir sont distants de >",74 des faces latérales du réservoir, tandis que sa base est au niveau du fond de ce réservoir.

I.a diminution des valeurs de H avec celles de y , lorsque A = 0, n'a donc rien qui ne paraisse admissible; mais, on ne comprendrait pas qu’après avoir atteint la valeur 1 ,8 millimètre, correspondante à y =0,6 n, H put continuer à décroître avec ce rapport , puisque l’expérience a démontré qu’elle avait cette même valeur de i“,u;8 lorsque, y n’étant que de o,o544, les parois latérales étaient tellement éloignées des bords du déversoir, qu’elles ne pouvaient avoir aucune action pour maintenir le niveau de l’eau au-dessus de la base de cet orifice. On doit donc conclure de là , que la formule (B) ne reproduit pas avec une entière exactitude les dépressions de la surface du liquide, dans le plan des déversoirs, correspondantes à la limite inférieure des charges; mais il ne saurait en résulter aucun inconvénient pour la pratique, où l’on ne fait jamais usage que de charges de beaucoup supérieures à celles dont il s'agit.

163. D’après cette même formule, d’accord en cela avec l’expérience, le rapport a un minimum correspondant à des valeurs

de A et de H variables avec j- , et qui sont respectivement de 78,54 et g3,3 millimètres lorsque y= 1. Ce rapport ÿ augmente, soit que les charges qui se rapportent à son minimum diminuent , soit qu’elles augmentent elles-mêmes. Dans le premier cas, il devient

SUR LES LOIS DE L’ÉCOULEMENT T)E L’EAU. 1 17 infini quand h = o, ce qui doit être; mais peut-il, à l’inverse de ce qui a lieu lorsque est plus petit que o,5o (i48), croître indéfiniment à mesure que A et 11 prennent des valeurs supérieures à celles qui correspondent à son minimum, ou ne doit-il pas plutôt avoir un maximum qu’il ne dépasse pas, quelque fortes que soient les charges?

Malheureusement notre appareil ne nous a pas permis d’opérer sur des charges totales qui excèdent celle de a 4 4 millimètres, pour laquelle ” = i,aa3, et les plus fortes que MM. Bidone, Eytelwein et Castel aient soumises à l’expérience, ne sont respectivement que de i6o,i5a et î ao millimètres, en sorte que les résultats qu'on en déduit ne fournissent pas des données suffisantes pour éclaircir la question. Mais M. Navier cite, dans la nouvelle édition de l’Architecture hydraulique de Bélidor (avertissement, page la), des expériences d’après lesquelles le docteur Robison a trouvé = 1,4- Ces charges sur lesquelles ce savant a fait ses observations, et la position de ses orifices par rapport aux faces latérales du réservoir, nous sont inconnues. Mais, en supposant que son dispositif fût tel qu’on eut j-= i , le rapport ”, calculé par la formule (B), ne serait de i,4 que lorsqu’on aurait H = 8i i,di et 4 = 579,66 millimètres.

Or, les valeurs de ces deux charges correspondantes à ? = 1 ,4 l *

sont d’autant plus fortes que -j- est plus petit; donc la formule (B) ne pourrait, dans aucun cas, donner pour ” des valeurs sensiblement supérieures à i,4, qu’autant que H et A excéderaient notablement om,8o et o",6o. Nous disons notablement, parce que ” ne croit pas aussi rapidement qu'on pourrait le penser; car les charges totales correspondantes aux valeurs 1 ,5 et 1 ,6 de ce rapport, sont de 1 i65,a3 et 1 588,5 1 millimètres.

164. Au surplus, rien ne dit que i,4 soit une limite que j ne doive pas dépasser pour les fortes charges. Il semblerait au

EX PÉRIEPiCES HYDRAULIQUES contraire que ce rapport puisse atteindre de bien plus grandes valeurs, à en juger par comparaison avec ce qui a lieu pour le dispositif de la figure i/j, dont nous parlerons plus loin. Pour ce dispositif, dans lequel y = i , mais où la base de l’orilicc , au lieu d’ètre isolée, est au niveau du fond du réservoir, l’expérience nous a donné -^=1,97 pour 11 = 3 1 6,5 et /i=i6o,4 millimètres. Il ne serait donc pas étonnant qu’on eût aussj, comme l'indique la formule (B), ^=1,97, pour des charges environ onze fois plus considérables que les précédentes (U = 345o,8i et 4=1701,68 millimètres), dans le cas où, ÿ étant aussi égal à 1 , la base de l’orifice est isolée du loud du réservoir.

165. Ainsi, cette formule ne donne que des résultats parfaitement admissibles, soit pour les plus faibles, soit pour les plus fortes charges qu’on puisse avoir en général à considérer dans la pratique. Nous en avons fait l’application, dans le tableau suivant, à nos expériences et à celles de MM. Castel et Eytelwein. Nous n’y avons pas compris celles de M. Bidone, parce que ce savant ayant pris, pour la charge totale, la hauteur à laquelle s’élevait le liquide dans un tube recourbé dont la courte branche était plongée dans la veine fluide, ses résultats, d’ailleurs peu d’accord entre eux, ne peuvent être comparés à ceux qu’ont obtenus les autres observateurs en’ mesurant directement cette charge.

Nous ferons remarquer, au sujet des expériences de M. Castel, (pic, toutes les fois que nous l’avons pu, nous avons eu recours aux tableaux dressés par cet ingénieur lui-même, plutôt qu’à ceux qui portent les n“ IX et X, parce que dans ceux-ci M. d'Aubuisson, qui en est l’auteur, a altéré les charges totales pour ne les présenter qu’en nombres ronds de millimètres, ce qui a pu, dans certains cas, avoir de l'influence sur les résultats.

Les sections de la veine fluide par les plans des déversoirs dont nous nous occupons ici, étant le plus souvent une fraction

SUR LF.S LOIS DK L'ÉCOULEMKNT DE L'EAU, notable de celles du courant dans le réservoir, il y a lieu de tenir compte de la vitesse acquise au point où MM. Castel et Eytclwein ont relevé les charges que nous avons nommées H, (col. 5). La hauteur i (col. 6), due à celte vitesse, a été obtenue en divisant la dépense par l’aire de la section du liquide au point dont il s’agit, et nous l’avons ajoutée à II, pour avoir la charge totale réelle H = H, -t- i (col. 7). La colonne 9 donne, en fonction de A, les valeurs de H — A correspondantes à celles de -j-; enfin, dans les colonnes 1 1 et 1 a, nous avons comparé H déduit de la formule avec H, et 1 1, — | — *.

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