On peut déduire quelques indications à cet égard, d’ex

SUR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU. 225 péricnces que M. Castel a faites plusieurs années après que les nôtres étaient terminées, et que nous avons déjà citées ( 1 38 et suivants). Cet ingénieurs barré, sur diverses hauteurs, 1 extrémité d’un canal rectangulaire découvert dont la largeur, qui était primitivement de o”,741 augmentait ou diminuait au point où était établi le déversoir, chaque fois qu’on abaissait la base de cet orifice. M. d’Aubuisson, en faisant connaître ce fait dans sou rapport sur le Mémoire de M. Castel ( Mémoires de l'Académie des sciences de Toulouse, t. IV, 1" part. 1837, p. i5a), dit que de semblables variations peuvent avoir eu lieu sur la longueur du canal , gui était de 5m,96.

Si ce canal s’était uniformément rétréci ou élargi à partir de son origine, la convergence ou la divergence de ses parois ne serait pas assez considérable pour avoir une influence appréciable sur la dépense; mais, il en serait tout autrement si le rétrécissement ou l’élargissement prenait naissance à une petite distance de son extrémité d’aval, parce que, la largeur du déversoir ayant varié de om,72 93 à om,gàlà, les portions attenantes des faces du réservoir auraient alors une inclinaison sensible sur le plan qui contient cet orifice. Celte circonstance a donc pu, indépendamment des vices inhérents & l’appareil que nous avons signalés aux articles »4o et suivants, altérer en général la valeur absolue des coeflicients de la dépense, mais la valeur relative de ceux qui se rapportent à des déversoirs de largeurs peu différentes, doit être à peu près la même que si le canal dont il s'agit était rectangulaire dans toute son étendue.

288. C’est pourquoi nous avons comparé, dans le tableau suivant, les résultats relatifs aux orifices de o“.73g8 et

om.gl\\ 8 , dont les bases sont respectivement exhaussées au-dessus du fond du canal de o".2a5, o"'. 170 et o‘\og3. Nous n’y avons pas fait figurer le déversoir de o“',7'j<)3, parce que les coeflicients qu’il a fournis font évidemment anomalie dans la série générale, ce qui s'explique parla différence de sa largeur comparée à celles de tous les aulnes orifices. Enfin, nous avons dû considérer

comme non avenus les résultats qui concernent ceux dont la base est éloignée de moins de o°\093 du fond du réservoir. En effet, M. Castel a mesuré la charge en un point où le liquide n'était pas stagnant ( i 39); il faut donc, pour avoir la charge totale, ajouter à la hauteur qu’il a trouvée celle qui est due à la vitesse moyenne possédée par le fluide en ce point. Mais cette dernière hauteur est, pour les déversoirs dont il s’agit, une fraction notable de la première (de -j- à ^j); or, nous avons démontré qu’en procédant ainsi on n’obtenait jamais la charge entière, et qu’on pouvait, en pareil cas, commettre des erreurs considérables {1 a 7).

Nous avons ajouté sur ce tableau les coefficients de la dépense qu'a donnés notre déversoir de o“,ao de largeur, avec les dispositif des figures 1 o et 6 (première et dernière ligne horizontale). Ils s’appliquent, comme tous les autres, à la formule ordinaire d=^lh\'igh, dans laquelle h représente la charge obtenue, soit en la relevant directement en un point où le. liquide est parfaitement stagnant, ainsi que nous l’avons toujours pratiqué, soit , dans le cas contraire, en ajoutant à la hauteur mesurée celle qui est due à la vitesse moyenne acquise par le liquide. Pour les expériences de M. Castel, nous avons pris les éléments du calcul dans les tableaux mêmes de cet ingénieur, sans arrondir les nombres comme l'a fait ML d’Aubuisson dans certains cas. Après avoir déterminé les coefficients correspondant aux charges sur lesquelles il a opéré, nous en avons déduit par interpolation, pour faciliter la comparaison que nous voulions en faire, ceux qui conviennent à des charges comprenant des nombres ronds de centimètres , lesquelles,'d'ailleurs, diffèrent très-peu des premières. On rappellera que, peut notre dispositif de la figure 6, la largeur du déversoir n’est que les 0,833 de celle du réservoir, tandis que ces deux largeurs sont égales entre elles pour le dispositif de la figure 10, comme pour les trois orifices de M. Castel dont nous^nous occupons ici.

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289. En examinant ce tableau, on reconnaît que les coefficients de la dépense croissent, comme l’ont démontré nos expériences, au fur et à mesure que la distance R entre la base du déversoir et le fond du réservoir augmente, depuis R = o jusqu'à R— o“,aa5. Pour cette dernière distance et les charges supérieures à o“,o5, les coefficients sont les mêmes que pour notre dispositif de la figure i o , où cependant la distance dont il s’agit est de o"t,54- Quoique les résultats obtenus par M. Castel nient pu être altérés par les causes énoncées plus haut (287), on n’a pas moins le droit d’en conclure que la limite d’écartement entre la base du déversoir et le fond du réservoir, au delà de laquelle ce fond cesse d’avoir une influence sensible suri» dépense pour les charges de o”,o5 et au-dessus, doit peu excéder om,aa5, et qu’en la portant à environ o'",ao on ne court pas le risque de s’éloigner beaucoup de la vérité.

Mais cette distance parait devoir être notablement plus grande pour les charges au-dessous de o^.ob, à en juger par la différence des coefficients correspondant à R = o“,a a 5 et R — om,54. En effet,. si, dans l'intervalle compris entre R = om,aa5 et la limite cherchée, les accroissements de ces coefficients étaient proportionnellement les mêmes qu’entre Rrr^o"1, 17 et R — om,225, il s'ensuivrait que, pour la charge de om,o3, ils n’atteindraient la valeur 0,45g relative au dispositif de la figure 10, que lorsqu’on

aurait R = o,1.537. Cela ne semblera pas étonnant si l’on considère que les faces du réservoir, lorsqu’elles ne sont éloignées que de om,54 des bords verticaux du déversoir, ont une influence sensible sur la dépense, surtout pour les très-faibles charges de liquide (281); car il est naturel d’admettre que le fond du réservoir étend son action à peu près à la même distance que ses parois latérales.

290. Dubuat et M. Bidone ont aussi fait des expériences sur des déversoirs dont les bords verticaux étaient situés dans le prolongement des faces du réservoir. Le premier de ces savants a mesuré la charge de fluide au point le plus élevé des remous, en amont de l’orifice, et, pour avoir la charge totale, il a ajouté à la hauteur ainsi obtenue celle qui est duc à la vitesse moyenne acquise par le liquide en ce point. Le détail de ses expériences , numérotées de 189 à 192, est rapporté dans ses Principes d’hydraulique, tome II, page 116, S 4 1 3 , et les éléments du calcul sont réunis en un tableau dans le tome I du même ouvrage, page 202, S 1 45. M. Bidone a pris pour la charge totale la hauteur à laquelle s’élevait l’eau dans la branche verticale d’un tube recourbé, dont la branche horizontale, plongée dans la veine liquide qui passait sur le seuil du déversoir, en recevait le choc (Mémoires de l’Académie des sciences de Turin, t. XXVIII, 1824). Nous avons réuni , dans le tableau suivant , les résultats de toutes ces expériences, en y ajoutant les coefficients correspondants pour nos dispositifs des figures 1 o et 6.

SLR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L’EAU. 229

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Tour les deux premières expériences de Dubuat, la hauteur due à la vitesse moyenne acquise par le fluide est une portion considérable (d’environ — et jj) de la charge mesurée au point le plus haut des remous; par conséquent, la somme de ces deux quantités doit être notablement plus petite (127) que la charge entière, telle qu’on l’obtiendrait en la relevant directement en un point où le liquide serait parfaitement stagnant, comme le suppose la formule d. La dépense théorique calculée par cette formule est donc trop faible, et par suite les coefficients correspondants sont trop forts. En outre, la seconde de ces expériences, abstraction faite de cette circonstance, forme évidemment anomalie, ce qui ne doit pas surprendre, car Dubuat déclare lui-mème (S i45) ne pas pouvoir répondre de l’exactitude de ses mesures à une ligne et par conséquent à —pp = ^ près, dans le cas dont il s’agit. En tenant compte de ces observations, on voit que, dans le cas des déversoirs de Dubuat et de M. Bidone , pour lesquels on a R.= om,ito5 et R = om,t557, les coefficients sont tous plus faibles que dans le cas du dispositif de la figure t o, pour lequel R = o““,54i et plus forts que dans celui de la figure 6, ouR— o ; ce qui s'accorde parfaitement avec ce que nous avons dit au

EXPÉRIENCES HYDRAULIQUES sujet de la diminution qu’éprouve la dépense, au fur et à mesure que la distance R entre la base de l’oriüce et le fond du réservoir diminue.

291. La différence entre les résultats obtenus par MM. Castel, Bidone, Dubuat et par nous, en opérant sur des déversoirs dont les bords sont dans l’alignement des faces latérales du réservoir, ne saurait, abstraction faite des variations qui peuvent provenir des appareils et des moyens employés pour relever les charges, être attribuée à d’autres causes qu’à la différence de largeur de ces orifices, ou de position de leurs bases par rapport au fond du réservoir. Mais, les déversoirs de o“>74 çt de o".3o de largeur donnent des coefficients qui se rapprochent de plus en plus, à mesure que la position de leur base diffère moins, et finissent par devenir égaux pour les charges supérieures à o",o5 (a 89). On doit donc en conclure que ces deux orifices ainsi que ceux de M. Bidone et de Dubuat fourniraient, toutes choses égales d’ailleurs, les mêmes coefficients quelle que fût la charge, si leurs bases étaient placées à des distances égales du fond du réservoir, et que par conséquent, dans le cas dont il s’agit, la valeur de ces coefficients est entièrement indépendante de la largeur absolue des orifices.

292. M. d’Aubuisson , dans son rapport déjà cité ( 1 38) , déduit la même conséquence des seules expériences de M. Castel, et il l’étend à tous les cas où la largeur du déversoir surpasse environ le quart de celle du réservoir. Il en conclut ed outre que, lorsque la première de ces largeurs est moindre que le quart de l’autre, et qu’en même temps elle est inférieure à o'“,o8 , les parois du réservoir n’ont plus d’influence sur l’écoulement et chaque déversoir a un coefficient particulier.

Ces expériences, comme nous l’avons dit à l’article 1 3g , ont eu pour objet des déversoirs d’égales largeurs , adaptés à deux réservoirs différents dont le fond était abaissé dè om, 1 7 au-dessous de la base de ces orifices. Malheureusement, les dimensions des uns et des autres n’ont pas été combinées de façon que la série des

SÜU LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU. 231 rapports des largeurs / des orifices, à celles L des réservoirs, soit la même pour l'un et pour l’autre de ces réservoirs, ce qui pouvait s’effectuer en faisant l’un de ceux-ci double de l’autre , et aurait singulièrement facilité la comparaison des coefficients de la dépense, tout en rendaut plus décisives les conséquences qu’on peut en tirer. Ainsi, les déversoirs de o“.6oo i , o".3gg8, o". i gg4, etc. de largeur, ne sont pas situés, par rapport au réservoir de om, ^4, exactement comme le sont, par rapport à celui de o*°,36i , les déversoirs de o“.3ooa, o“.igg4, o".ioo4, etc. Pour ceux-ci, le rapport ^ est respectivement plus grand que pour les autres; par conséquent, il doit en être de même à l’égard des coefficients de la dépense, s’il est vrai qu'ils croissent avec ce rapport. Cela a lieu en effet, tuais la différence, si l’on ne considérait que les résultats donnés par M. Castel et sur lesquels M. d’Aubuisson a basé son raisonnement, pourrait être attribuée plutôt à la disposition particulière du réservoir de o°‘,36 1 qu’à l'augmentation de la valeur de En effet , ces résultats devraient être égaux pour les déversoirsde o“,36 1 et de o™, 74 de largeur, puisque pour l’un et pour l’autre on a j- = 1 . Cependant ceux qui concernent le premier de ces deux orifices sont de ^ plus forts que ceux qui se rapportent au second, et il y a précisément la même différence entre les coefficients relatifs au déversoir de om,3ooa , pratiqué dans le réservoir de om,36i et pour lequel o,83a, et ceux qui correspondent au déversoir de o“,6ooi , adapté au réservoir de oa,'jlx et pour lequel ^=0,8 1 1.

293. Cette différence pourrait, dans ce dernier cas, être motivée par l’excès de la valeur o,83a de j- sur celle 0,81.1, mais pourquoi est-elle la même que lorsque ^ = 1 , et pourquoi , dans ce dernier cas, n’est-elle pas nulle? Il serait certainement permis de supposer que, dans l’un et l’antre cas, elle est due aux conditions particulières dans lesquelles était placé le réservoir de o",36 1 , et qui différaient en plusieurs points essentiels de celles qui accom-

pagnaienl celui de o",74, notamment en ce qui concernait le mode d’arrivée de l’eau destinée à alimenter les orifices d’écoulement (i 4 i ). Mais, la question s'éclaircit lorsqu’on tient compte de la hauteur due à la vitesse acquise par le liquide au point où M. Castel a relevé la charge, comme on doit toujours le faire quand on ne l’a pas mesurée directement en un point où le fluide est parfaitement stagnant , ou qu’on ne l’a pas déduite de la charge moyenne dans le plan du déversoir (200). Les coefficients de la formule d de la dépense ne sont alors moyennement que d’environ ~ plus forts pour le déversoir de o",36i que pour celui (le o™^ de largeur, tandis qu’ils sont de ^ plus grands pour le déversoir de ora,3ooa pour lequel ~ = o,83a , que pour celui de o“,6oo 1 auquel correspond la valeur 0,81 1 de La différence de ces coefficients tient, dans le premier cas, à ce que le réservoir de o“,36i donne nécessairement lieu, par suite des circonstances dans lesquelles il est placé, à des dépenses qui, toutes choses égales d’ailleurs, surpassent d’autant plus celles qu’on obtiendrait avec le réservoir de o'”,7/4 qu’elles sont plus considérables; dans le second cas, cette différence est due à la fois à la cause que nous venons de signaler et à l’excès du rapport o,83a sur celui 0,81 1.

294. En appliquant à toutes les expériences de M. Castel le même calcul qu’aux cas précédents, il devient évident que les coefficients eri question dépendent exclusivement de tant que ce rapport ne descend pas au-dessous d’une certaine valeur, passé laquelle les parois du réservoir n’ont plus aucune influence sur l'écoulement , mais nous ne saurions admettre avec M. d’Aubuisson que cette limite correspond à ^ = 0,2 5- En effet, d’un côté, nos expériences ( a 8 1 ) ont fait voir que la dépense est sensiblement plus grande pour le dispositif de la figure 3, d’après lequel on a £ = 0,1 56, que pour le cas des minces parois (fig. 1). La limite cherchée répond donc à une valeur de y- inférieure à o, 1 56 ; d’un autre côté, en examinant la. diminution que les coefficients

SUR LES LOIS DE L'ÉCOULEMENT DE L'EAU. 23S de la dépense éprouvent, pour chaque charge, en passant du dispositif de la figure i o à celui de la figure 9 et de ce dernier à celui de la figure 3, dispositifs pour lesquels les valeurs de ~ sont respectivement de 1 .000, 0.833 et o. 1 56, ori voit que ces coefficients deviennent égaux à ceux qui concernent les minces parois, pour des valeurs de j- de plus en plus petites à mesure que la charge de liquide diminue, et que lorsque celle-ci est réduite à o“,o 1 , l’égalité des coefficients dont il s’agit correspond à j- = o, 1 .

Ce résultat est confirmé par les expériences mêmes de M. Castel , car il est clair que lorsque les parois du réservoir ont cessé d’avoir de l’influence sur l’écoulement, les coefficients de la dépense, à égalité de largeur du déversoir, doivent être les mêmes pour les réservoirs de om,74 et de o",36 1 ; or, les plus larges desdéversoirs de M. Castel qui remplissent à peu près cette condition, sont ceux de o“,o5 et de o“,o3, pour lesquels on a respectivement ^ ^ = o, 1 38 et = o,o83. Pour le premier, les

coefficients sont tous plus forts avec le réservoir de om,36 1 qu'avec celui de om,74, et la différence varie de ^ à pour le second, • c’est l’inverse qui a lieu et la différence est constante et égale à On peut, d’après cela, regarder comme satisfaisant à la question un déversoir dont la largeur o",o4 soit une moyenne entre celles des deux précédents, et pour lequel le rapport ^ a une valeur o, 1 1 , peu différente de celle o, 1 o que nous avons indiquée plus haut comme résultant de nos expériences.

295. Nous admettrons donc que les faces latérales du réservoir cessent d’avoir de l’influence sur l’écoulement, lorsque sa largeur est égale ou supérieure à environ 10 fois celle du déversoir. Alors les coefficients dont il s’agit dépendent de la grandeur absolue de la dernière de ces deux largeurs et non de son rapport à la première, comme le constatent les expériences que nous avons faites sur un déversoir de o“,oa de largeur, dont la base et les deux bords verticaux étaient respectivement éloignés de om,54 et

de i ",83 des parois correspondantes du réservoir. En effet, les coefficients de la dépense fournis par cet orifice sont de j à i plus forts que ceux que nous avons obtenus, dans les mêmes circonstances, pour notre déversoir de o“,ao de largeur sous des charges comprises entre o“,o î et o”,aa (tabl. XIX, XX, XXXIX et XL).

Le même fait est démontré d’une manière plus complète par les expériences de M. Castel. Ses déversoirs de o“.o5 , o“.o3 , o“.oa et o-’.o î se trouvaient dans les conditions voulues, puisque leurs largeurs étaient moindres que £ de celle du réservoir de o“,7é, et il en était de même de ceux de o^.oS, o"“.oa et o“.oi par rapport au réservoir de o*,36 1 . Mais nous ne nous occuperons pas de ce qui concerne celui-ci, puisque M. Castel (i4>) regarde les résultats fournis par ce réservoir comme beaucoup moins exacts que -ceux qu’il a trouvés pour l’autre. Nous avons calculé, pour ce dernier, les coefficients de la formule d de la dépense, et nous les avons consignés sur le tableau suivant.

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