SUR LA CONSTITUTION ET LA CONTRACTION DES VEINES LIQUIDES
Particularités relatives à la forme de la veine et à la marche des molécules sur sa surface.
1 4o. Notre intention n’est point ici de répéter tout ce que i’on connaît déjà sur cette matière; il doit nous suffire de rapporter succinctement les observations particulières à nos expériences et les idées quelles nous ont suggérées.
La difficulté et la longueur des opérations nécessaires pour relever géométriquement la forme des veines liquides jaillissant au-dehors des orifices , nous ont contraints , comme on l’a vu (i 1 8 et i 26), à nous borner aux orifices carrés de 20 centimètres de côté, considérés en quelque sorte sous la plus faible et la plus forte charge qu’il nous ait été possible d’obtenir au moyen de notre appareil; les résultats des opérations relatives à ces orifices suffisent pour donner une idée de la manière dont la veine change successivement de forme en passant de ces plus faibles à ces plus fortes charges.
On voit, en effet, par la comparaison des figures des planches ^ et/ concernant les orifices entièrement fermés, et des figures de la planche 6 qui se rapportent aux orifices découverts par la partie supérieure, qu’à mesure que la hauteur du liquide diminue dans le réservoir, le phénomène du renversement des nappes de la veine diminue aussi d’intensité; c’est-àdire, que les gerbes qui saillent au-dehors du noyau central se rapprochent continuellement de ce noyau, et que les évidemens formés par ces nappes se remplissent, en quelque sorte,
et deviennent de moins en moins prononcés, surtout pour les parties supérieures de la veine. On voit enfin que la gravité acquiert une action de plus en plus grande, pour infléchir la masse entière du liquide et particulièrement les nappes saillantes horizontales, d’où il résulte que les évidemens et les saillies ne se font plus guère sentir que pour les parties inférieures de l’orifice.
1 4 i • L’observation de ce qui se passe quand on diminue progressivement la hauteur du niveau dans le réservoir, nous a de plus démontré que le changement de forme de la veine s'opère par degrés insensibles , ainsi qu’il est naturel de le pressentir; mais nous n’avons nullement remarqué, lors de ces changemens successifs, les illusions dont parle M. Bidone dans l’un de ses derniers mémoires, intitulé Expériences sur la forme et sur lu direction des veines et des courons d'eau lancés par diverses ouvertures, S 23 , page 1 20 (1), et desquelles il résulte que les filets fluides semblent décrire des spirales et se croiser réciproquement sous certains angles. M. Bidone observe luimême que ces apparences n’ont pas lieu quand le niveau supérieur de l’eau dans le réservoir est parfaitement calme; ce qui le conduit à regarder comme un simple accident le croisement des filets observé par divers auteurs, notamment par M. Hachette, lors de ses expériences sur les veines elliptiques, carrées et triangulaires (2) : mais nous ne saurions partager cette manière de voir. M. Hachette, en effet, s’exprime positivement en ces termes : *• En examinant les formes des surfaces de ces *» veines , on reconnaît dans chacune d'elles une section plane » ou à double courbure de même genre que ia section con- •* tractée circulaire. On voit que les divers filets d’eau se croisent •> sur le contour de ces lignes de contraction à peu près comme les
(1) Voyez la note du n.° 9 , où nous avons déjà mentionné ces recherches de M. Bidone.
(a) Traité élémentaire dts machines , édition de 1818; Précis des Mémoires sur l' hydraulique lus à l'Académie royale des sciences , le 1 8 septembre 1815 et le »6 août 1816.
» droites d’une surface développable sur l'arête de rebroussement de » cette surface. »
Or, je le demande, est-ii possible d’admettre que M. Hachette se soit mépris sur la nature du phénomène, jusqu’au point de ne pas s’être aperçu qu’il était simplement occasioné par les mouvement divergent et accidentels des mole'cules liquides dans l'intérieur du réservoir, et par le déplacement continuel des points brillant de la veine, lorsque la charge de fluide diminue progressivement!
Est-il supposabie qu’un fait que M. Hachette donne pour constant, n’aurait eu pour cause qu’un accident particulier et un défaut dans le maintien du niveau de l’eau dans le réservoir? Nous le pensons d’autant moins, que nous n’avons point remarqué un semblable croisement des filets lors de nos expériences sur des charges décroissantes, et nous sommes plutôt tentés d’en attribuer les apparences à quelque cause permanente du genre de celles qui provoquent la formation des rides ou ondes fixes à la surface des veines liquides.
Nous-mêmes nous avons eu l’occasion , lors de nos premières expériences de 1827 sur l’orifice de 20 centimètres de côté, d’observer de pareils phénomènes dus aux inégalités qui hérissaient les bords intérieurs de cet orifice , et ils se trouvent décrits , avec beaucoup de soin et dans toutes leurs circonstances , dans une Notice sur les rides ou ondes permanentes que l’un de nous a remise à M. Arago, lors du séjour de ce savant à Metz, en décembre dernier (1829); notice dont le contenu faisait d’abord partie de ce mémoire, mais que nous en avons détachée à cause de son étendue, et de l’intérêt particulier qu’elle peut inspirer aux physiciens et aux géomètres qui se sont occupés du phénomène varié des ondes.
1 42. Dans nos expériences sur les veines jaillissant, sous différentes charges, au-dehors des orifices carrés et rectangulaires de 20 centimètres de base, il nous a d’ailleurs été impos-
sibled’apercevoirla formation des nœuds tt des ventres successifs ou des contractions et dilatations de la veine dont parle M. Bidonedans le mémoire déjà cité, formation qui avait été aussi observée par MM. Hachette et Savart dans des expériences entreprises il y a plusieurs années. M. Brunaci, en opérant sur des orifices carrés et circulaires de o m , 296 de côté ou diamètre, ne l’a pas plus aperçu que nous(t), et il donne même à entendre que, si des physiciens l'ont remarqué pour certains cas, cela ne pouvait tenir qu’à un trouble particulier dans le réservoir qui aurait produit un mouvement de tournoiement dans la marche des filets; mais il paraît beaucoup plus simple d’admettre que la longueur de veine qui a été observée par M. Brunaci et par nous, n’a pas été assez grande pour que le phénomène put se manifester.
On conçoit, en effet, que la distance qui sépare deux noeuds ou contractions consécutives puisse augmenter avec les dimensions de l’orifice, et que les noeuds qui suivent le premier disparaissent même totalement quand les charges de liquide deviennent très-comparables à ces dimensions, comme cela avait lieu dans les expériences de M. Brunaci et les nôtres. En un mot , il paraît évident , par la comparaison des profils des veines que nous avons rapportés (planches $ et 6 ) pour les plus faibles et les plus fortes charges de nos expériences, que la valeur absolue de ces charges a une très-grande influence sur la formation des différentes nappes, et qu’en particulier, l’intensité du phénomène de la contraction et du renversement est essentiellement subordonnée à la grandeur même du rapport qui existe entre la hauteur du niveau dans le réservoir et les dimensions de l’orifice.
143. Quant aux explications que M. Bidone a proposées dans son mémoire sur l'inversion du profil des veines carrées
( 1 ) Voyez, au sujet de ces recherche» de M. Brunaci, la notecjui accompagne le n° 8 de ce mémoire.
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et autres , elles nous semblent manquer d'un complément nécessaire, dont l’idée nous avait été suggérée par l'examen de ce singulier phénomène , dès nos premières observations de 1827. Ce savant, adoptant la supposition fort naturelle, et qui se présente tout d’abord à l’esprit, que l’extension des gerbes saillantes est due à la rencontre, à la compression réciproque des filets liquides qui convergent avec le plus d'intensité vers le dehors du réservoir, a été conduit à partager les systèmes de ces filets en faisceaux plus efficaces et en faisceaux moins efficaces, et à admettre que les premiers faisceaux appartiennent aux parties saillantes des orifices, et les autres aux parties rentrantes ou rectilignes. Il en résulte, en effet, que , l’action de ceux-ci , pour contracter la veine , étant moins énergique que l’action de ceux-là , cette veine doit s’évider vers les parties qui répondent aux saillies de l’orifice, et se renfler , en s’amincissant , vers celles qui répondent au milieu de ses différens côtés; mais M. Bidone ne fait pas bien voir, ce nous semble, en quoi consistent et d’où proviennent précisément cette plus grande et cette moindre efficacité des faisceaux saillans ou rentrans.
En effet, ses raisonnemens se fondent essentiellement sur ce que les filets qui rasent le contour de l’orifice, convergent tous vers l’intérieur de la veine (voyez le n° 10 de son mémoire) de façon à former, dès leur sortie de cet orifice, une surface dont la section, prise à une petite distance de son plan et parallèlement à ce plan , serait semblable au contour dont il s’agit. Or cette circonstance n’a pas lieu, comme on peut le voir, pour le cas des veines carrées. De plus, ses raisonnemens supposent tacitement que les filets fluides tendent à décrire, sur la surface extérieure et sur celles qu’on peut lui concevoir comme équidistantes et semblables dans l’intérieur de la veine, des lignes normales à-la-fois aux contours des sections de ces surfaces prises dans le plan de l’orifice et dans
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le plan parallèle qui en est infiniment voisin ; d'où il résulterait que les filets qui appartiennent à des arcs saillans de l’orifice convergeraient, en-dehors du réservoir, sur la surface qui les contient , et que ceux qui appartiennent aux arcs rentrons divergeraient au contraire entre eux sur cette même surface. Ainsi , par exemple , pour les côtés rectilignes de l’orifice , les filets seraient dans des plans perpendiculaires à ces côtés, et, vers les angles dont le sommet représente un arc de cercle très-petit , les filets seraient très-convergens : or ces conséquences sont encore en opposition directe avec les faits.
1 44 - L’examen attentif des mouvemens qui ont lieu i la surface de notre veine relative à l’orifice carré de 20 centimètres de côté, nous a appris, en effet, que tous les filets extérieurs appartenant aux côtés rectilignes de l’orifice convergent très-fortement entre eux , de manière à se réunir au filet qui répond au milieu de chaque côté et dont la direction est perpendiculaire à ce côté; tandis que les filets qui partent des angles de l’orifice, loin de converger, divergent au contraire, et divergent à tel point et de telle manière, qu'on serait volontiers tenté de croire que tous ceux qui forment chacune des nappes rentrantes de la veine extérieure sont issus du sommet correspondant de l’orifice. Mais, en y réfléchissant un peu, il est aisé d’apercevoir que l’effet doit être produit par les molécules qui , de l’intérieur de la veine, affluent par différens points sur la nappe rentrante dont il s’agit , en décrivant des lignes courbes qui ont cette même nappe pour limite ou enveloppe commune.
Il faut donc trouver d’autres motifs à la prépondérance ou à la plus grande efficacité des faisceaux de filets qui appartiennent aux angles saillans du périmètre de l’orifice , et on le peut , ce me semble , en considérant que les molécules qui , dans le plan de l’orifice, forment le noyau ou le centre de la
veine , proviennent principalement des parties du réservoir qui avoisinent le prolongement de l’axe horizontal de cet orifice , en décrivant ainsi des routes sensiblement parallèles à l’axe dont il s’agit ; tandis que les molécules qui appartiennent au surplus de l’aire de l’orifice proviennent de régions du réservoir d’autant plus éloignées de ce même axe , quelles appartiennent à des points situés à une plus grande distance de son centre, de telle sorte que non-seulement elles arrivent dans le pian de l’orifice sous des inclinaisons de plus en plus fortes par rapport à l’axe de la veine , mais encore elles y parviennent en plus grande abondance.
Par exemple, pour l’orifice carré que nous avons mis en expérience, la masse des molécules liquides qui répond à l’un quelconque des sommets doit être censée provenir essentiellement de l’angle trièdre tri-rectangle formé, intérieurement au réservoir, sur le prolongement des deux côtés adjacens à ce sommet et parallèlement à l’axe de l’orifice. Or, ce fait étant admis comme vrai , il est aisé d’expliquer les évidemens de la veine, ou le changement des saillans de l’orifice en rentrans. Considérant ensuite, avec M. Bidone, que les molécules liquides qui affluent en masse considérable et sous une grande inclinaison des parties saillantes de l’orifice, tendent à se rencontrer vers l'axe de la veine et à s’y comprimer réciproquement tout en en comprimant le noyau , on se rend compte en même temps de l’aplatissement et de l'extension considérables que prend cette veine dans le sens perpendiculaire aux côtés de l’orifice, &c.
1 4 5 • Cette explication du renversement des nappes, à laquelle nous nous étions arrêtés dès nos premières expériences de 1827, est d’ailleurs, à peu de chose près, conforme à celle qu’on trouve dans l’article déjà cité du Journal de Brugnatelli (voyez la note des n°‘ 9 et ci-dessus); et, selon ce que M. Félix Savart a bien voulu rapporter à l’un de nous ,
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une explication semblable aurait été aussi propose'e parM. Ampère dans Jes leçons de physique du collège de France. Enfin on peut voir, dans l’écrit intitulé Recherches experimentales sur le principe de ta communication latérale du mouvement dans les fluides, que Venturi avait, de son côté, cherché à expliquer dès 1798, d’une manière plus ou moins satisfaisante, le phénomène du renversement, en observant que les distances les plus courtes du contour de l’orifice tendent à devenir les plus longues dans les sections de la veine prises parallèlement à ce contour, et vice versa. Une telle rencontre doit paraître d’autant moins surprenante, que l’explication dont il s’agit se présente, pour ainsi dire, d’elie-mêrae à l’examen des fahs; et, quoiqu’il y ait un intervalle immense de là à une interprétation mathématique du phénomène, quoique de telles considérations laissent encore à l’esprit bien des doutes et des difficultés, nous n’avons pas cru entièrement inutile d’exposer le résultat de nos propres observations sur cette intéressante matière.
146. Quant à ce qui concerne les orifices dont les bords sont prolongés , vers l’intérieur du réservoir , par des faces plus ou moins allongées , il sera temps d’en parler quand nous en viendrons à exposer les résultats des expériences relatives à la dépense de semblables orifices. Nous ajouterons seulement, à l’égard des orifices rectangulaires en minces parois dont la largeur surpassait la hauteur, que le phénomène de l’inversion y était bien moins prononcé que pour forifice carré de 20 centimètres de côté, et d’autant moins que cette hauteur était plus faible : pour l’orifice d’un centimètre d’ouverture , entre autres , les évidemens des angles et la saillie des nappes ou gerbes verticales étaient à peine sensibles ; ce qui provient , sans doute , de ce que la plus forte contraction tendait à se faire à une très-grande distance de l’orifice, et au-delà du point où la veine atteignait le fond du canal de décharge. Aussi cette veine présentait-elle l’apparence d’une
lame liquide très-mince , qui allait continuellement en se rétrécissant dans le sens horizontal et en s’épaississant dans le sens vertical ; ce qui s’explique très-bien en observant que les faisceaux appartenant aux angles voisins du contour de l’orifice tendent naturellement ici à se réunir en un seul et même faisceau , dirigé dans le plan horizontal moyen de cet orifice.
«47- En parlant ci-dessus de la veine sortant de l’orifice carré de 20 centimètres de côté, nous avons déjà observé que les filets liquides appartenant aux larges nappes issues de chacun des bords rectilignes convergent tous entre eux de manière à se réunir respectivement aux environs du plan vertical et du plan horizontal qui contiennent l'axe de l’orifice , et qu’ils forment ainsi les extrémités saillantes des nappes dirigées suivant ces plans ; il résulte aussi des remarques du n° i44» t l ue l es filets des nappes rentrantes qui correspondent aux angles sailians de l’orifice vont, au contraire, en divergeant à partir de ces angles; enfin nous nous sommes assurés directement que les lignes de striction ou de rencontre de ces nappes et des précédentes , de même que les lignes d’intersection des nappes rentrantes et des pians diagonaux comprenant l'axe de l’orifice, sont décrites dans toute leur étendue par les mêmes molécules : il est donc facile de se former, à l'inspection du modèle en relief ou des projections horizontale et verticale de la veine rapportées planches ^ et f , une idée à peu près exacte de la marche des filets sur les différentes nappes qui limitent extérieurement cette veine.
148. Chacune des nappes dont il s’agit formant d’ailleurs, lorsqu’aucune cause de trouble ne subsiste, soit au-dehors, soit au-dedans du réservoir, une surface parfaitement lisse et transparente où l'oeil ne peut discerner aucun mouvement quelconque des molécules liquides , on a eu recours , pour rendre ce mouvement apparent, au procédé bien connu et qui consiste à projeter avec soin , à la surface libre de la veine.
des particules d’une poussière trcs-fîne et trcs-légère ou un liquide coloré d une densité à peu près égaie à celle de l’eau : les traînées formées par ces poussières ou ce liquide ont été prises pour les routes memes des molécules de la veine. Ce moyen est, à la vérité, grossier, et peut aisément induire en erreur lorsqu’on l'applique mal; mais il suffisait pour l’objet que nous avions en vue.
Néanmoins il nous a été difficile d’étudier par ce procédé la marche des filets qui, sur la nappe correspondante au côté supérieur de l'orifice, partent des points voisins des angles: les poussières ou molécules liquides colorées, au lieu de demeurer sur ces nappes, se dirigeaient presque perpendiculairement vers les lignes de striction qui les limitent, et repassaient brusquement sur la nappe latérale, où elles étaient entraînées dans une direction très-différente de celle qu elles suivaient d'abord. Mais, comme cet effet n’avait pas lieu pour des points situés à une distance de t ou i centimètres environ de chaque sommet de l’orifice, il y a lieu de présumer que l’entraînement des particules étrangères au dehors de la nappe supérieure de la veine était dû à l’action de leur poids et à leur inertie, dont les molécules propres de la veine n’avaient pas eu le temps de paralyser l’effet sur la petite longueur de chemin parcourue.
Ces observations sont bien imparfaites, sans doute; elles mériteraient d'être refaites sur de nouveaux frais et avec des moyens plus précis : car la question du mouvement des molécules liquides et de la forme des courbes quelles parcourent, soit à la surface, soit à l’intérieur de la veine, est de la plus grande importance dans l'état actuel d’imperfection de la théorie; et, si l’on parvenait à la résoudre, même grossièrement , par des observations directes et pour différens cas distincts, on mettrait les géomètres sur la voie de beaucoup de recherches utiles jusqu'ici inabordables.
Discussions relatives à la grandeur de la contraction effective des veines et aux théories qui s'y rapportent.
1 4 p- Le résultat auquel nous sommes arrivés au n° i z 4 . pour le coefficient de la contraction effective et nuixima de la veine, s’écarte tellement des notions ordinairement admises sur ce sujet, et présente une telle contradiction avec les résultats jusqu’ici obtenus par divers observateurs habiles, qu’il devient indispensable de nous arrêter quelques instans à l’examen des difficultés et des doutes auxquels il donne lieu , soit relativement aux théories proposées par divers auteurs sur le phénomène de la contraction des veines liquides, soit par rapport à l'exactitude de nos mesures géométriques.
En effet , le coefficient de la plus forte contraction effective de la veine ( 124 ) s’élevant dans l’orifice carré de 0,20 à 0,563 seulement, tandis que celui qu’on obtient de la comparaison des dépenses vraies et théoriques ( tableaux I et IV ) surpasse même 0,600 pour la charge correspondante de liquide dans le réservoir, il en résulte, suivant les notions ordinairement admises, que la vitesse moyenne dans la section contractée, déduite du quotient de la dépense effective divisée par l’aire de cette section , excéderait presque de fftT ou de tt environ la vitesse due à la charge sur le centre de l’orifice : or cela répugne d’autant plus , que l’orifice est ici trèspetit par rapport aux dimensions du réservoir, qu’il se trouve parfaitement dans les conditions ordinaires de la théorie, et que cette théorie ne tient pas compte de la résistance que les molécules liquides éprouvent à se mouvoir le long des parois du réservoir, ainsi que des diverses autres causes de déchet que peut éprouver leur vitesse avant quelles arrivent à la section contractée. Mais, afin de bien faire connaître en quoi le résultat ci-dessus s’écarte des notions ordinairement admises, nous
croyons devoir rapporter et discuter brièvement les differentes données théoriques ou d’expérience concernant la contraction effective des veines liquides.
1 5 o. Jusqu’ici, en effet, la mesure directe de ces veines avait toujours conduit à un coefficient de contraction supérieur à celui que donne la comparaison des dépenses effectives et théoriques : Michelotti , en opérant sur de très-fortes charges dans le réservoir, l’a trouvé de 0,649 P our des orifices circulaires de 1, 2 et 3 pouces de diamètre (1); Venturi, pour une charge de 32,5 pouces et l’orifice de 1 8 lignes, a trouvé ce même coefficient égal à 0,64 environ (2). Bossut, en opérant également sur des charges comprises depuis 4 jusqu’à 9 pieds (3), est arrivé à des résultats encore plus forts que ceux qui précèdent ; car il a obtenu , pour le rapport des aires de la section contractée et de l’orifice, des valeurs comprises entre 0,660 et 0,667, quoique le diamètre des orifices ait varié depuis 6 lignes jusqu’à 3 pouces , et que le rapport des dépenses effectives et théoriques se soit rarement élevé jusqu’à 0,62. Bossut n’a fait d’ailleurs qu’une seule observation sur un orifice carré dont le côté était d’un pouce, et il a trouvé que la section contractée de la veine était un autre carré ayant un côté de p 1 * 3 4 '*^ ; ce qui supposerait le coefficient de contraction égal à 0,642 environ. Enfin M. Eytelwein ( 4 ) a trouvé, par des mesures répétées, que, pour un orifice circulaire de 33 millimètres environ de diamètre et sous une charge d’environ o m ,94 , le diamètre de la veine contractée était un peu moindre que 26 millimètres; ce qui s’accorde avec le résultat de Venturi, qui donne 0,64 au plus pour la valeur
(i) Expcrimenti hydraulici , 1767. page 37, note, et page 66 .
(i) Rechercha experimentales sur le principe de la communication latérale du mouvement dans les fluides, pages 74 et 7J.
(3) Hydrodynamique, II* partie, chapitre IU, n°« 31a à jaj.
(4) Manuel et hydraulique , page 90.
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du coefficient de la contraction effective, et se trouve également confirmé par une autre observation de Borda ( Mémoires de l'Académie royale des sciences , 17 66 , page 587), qui a obtenu 0,646 seulement pour un orifice de 1 5 lignes de diamètre, sous une charge fort petite, à ce qu’il parait, et qui a du occasioner une augmentation de la contraction effective.
151. On remarquera que, dans celte dernière expérience et dans celles de Michelotti, de Venturi et de M. Eytelwein, le jet était horizontal, tandis que, dans toutes celles de Bossut, au contraire, il était vertical : mais ce savant observe qu’ayant répété quelques-unes de ses expériences sur un jet horizontal, il avait obtenu les mêmes résultats. M. Bidone, dans son Mémoire sur la détermination théorique de la section contractée des veines, lu à l’Académie de T urin le 26 avril 1829, affirme (voyez l’article 9 de ce Mémoire') avoir plusieurs fois vérifié les résultats de Bossut sur la contraction des veines circulaires, et il le considère même comme urufait général et sans exception pour tous les orifices dont les dimensions sont très-petites par rapport à celles du réservoir et à la charge de liquide; mais nous ne saurions partager une telle opinion, quoique M. Bidone l’ait appuyée d’une théorie en apparence fort spécieuse, et de laquelle il résulterait que l’aire de la section contractée serait totalement indépendante de la vitesse propre des molécules ou de la charge dans le réservoir.
152. En effet, Bossut lui-mème est loin de regarder ses déterminations du diamètre des veines comme d’une exactitude suffisante : car, en relevant avec un instrument aussi imparfait que l’est le compas sphérique, sans point d’appui et en quelque sorte au vol, la grandeur d’un seul diamètre d'une veine circulaire, il est facile de se tromper de -j- ou de -7 ligne, puisqu’avec tous les moyens de précision qui ont été mis en usage dans le relevé des sections de notre veine jaillissant
Je l’orifice carré de 20 centimètres de côté (120), on ne peut répondre, à un demi-millimètre près, de la position de chacun des points des profils voisins de l’orifice où les Huctuations étaient cependant imperceptibles; ce qui, en admettant la même cause d’erreur pour les côtés opposés de la veine, donnerait une erreur totale d’un millimètre ou de près d’une demi-ligne sur son épaisseur totale. Or une semblable indétermination dans le résultat des mesures, jointe à l'espece d’incertitude qui règne sur la position de la section de plus forte contraction des veines circulaires, prouve quon doit peu compter sur l’exactitude des coefficiens obtenus à l'aide de moyens aussi imparfaits que ceux qui ont été employés par Bossut. Elle porte même à supposer que l’erreur serait plutôt en excès qu’en défaut, attendu qu’il est douteux que le contact immédiat ait été établi entre la surface des veines et les pointes du compas sphérique.
1 53. En insistant sur ce sujet, nous ne prétendons pas, au surplus, entreprendre de démontrer que le coefficient de la contraction effective doive être, ainsi que nous l’avons conclu de nos propres observations, inférieur à celui que donne la comparaison des dépenses, ni même qu’il doive lui demeurer constamment égal, selon les notions le plus communément admises. L’accord qui règne entre les résultats des habiles observateurs que nous venons de citer ne permet pas de douter, au contraire , que , pour les cas qu’ils ont soumis à l’expérience , le premier de ces coefficiens ne surpasse sensiblement le second ; mais faut-il en conclure, avec M. Bidone, que le plus fort de ce* résultats soit précisément le plus exact de tous, et doive être considéré comme la confirmation d’un fait général et constant, dérivant nécessairement des principes théoriques qu’il a mis en avant dans son mémoire? Nous ne le pensons pas, et voici sur quoi se fonde notre opinion :
Pour démontrer que l’aire de la section contractée est
exactement les y de celle de l’orifice dans les cas précités, M. Bidone admet, sur le mouvement des molécules liquides dans le voisinage de cet orifice, des suppositions qui nous paraissent peu fondées en principe, si même elles ne sont erronées. D’abord il part d’une formule d’Euler (voyez l’article I er de son mémoire ) relative au mouvement permanent des fluides incompressibles et homogènes, dans laquelle il écrit que la pression reste constante pour chacun des points d’un même filet, et d'où il conclut que la vitesse l’est aussi, attendu qu’on peut ici négliger l’action des forces accélératrices dans le très-petit intervalle considéré sur la veine, à partir de l’orifice. Or, en supposant que ce soit ici le cas d’appliquer la formule d’Euler, ce que nous ne pensons pas, il nous parait encore peu exact d’admettre la constance de la pression pour toutes les positions occupées par une même molécule dans cette partie contractée de la veine.
La pression qui agit sur la surface extérieure du liquide est, à la vérité , constante pour tous les points et égale à la pression atmosphérique extérieure, et cette pression se transmet intégralement du dehors au dedans sans perdre de son intensité; mais, comme les différentes molécules parcourent , dans la partie contractée de la veine, des lignes dont la courbure plus ou moins prononcée varie d’un point à un autre, il en résulte que la pression absolue varie aussi, en chacun de ces points, en vertu de l’action de la force centrifuge qui anime toutes les molécules interposées entre celle que l’on considère et les molécules les plus voisines de la surface extérieure de la veine. Ainsi elle augmente de la circonférence au centre d’une même section transversale, et elle augmente pareillement depuis la section contractée, où la courbure des filets est censée nulle, jusqu’auprès de l’orifice où elle est à son maximum.
i j 4. Quoique l’ignorance complète où nous sommes des véritables routes suivies par les molécules liquides à la sortie
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du réservoir, et de leur vitesse en chaque point de ces routes, empêche d’assigner la loi de cette augmentation de pression, on ne peut cependant la révoquer en doute; mais s’ensuit- il que la vitesse elle-même doive varier d’une section à l’autre de la veine, et être précisément la plus grande là où la pression due à la force centrifuge est la plus faible? Voilà ce qu’il n’est pas possible de décider à priori et sans des expériences spéciales : ce qu’il y a seulement de certain, c'est que, dans le cas des orifices en mince paroi plane et très-petits par rapport aux sections du vase, l’excès de la pression intérieure sur la pression atmosphérique paraît devoir différer très-peu de la pression qui répond à la charge entière de liquide, pour tous les points du réservoir qui avoisinent immédiatement l’orifice , de sorte qu’il faut bien aussi que cet excès dè pression varie pour tous ceux qui se trouvent compris depuis l’orifice jusqu’à la section contractée où il est nécessairement nul.
M. Rudberg, savant professeur à l’université de Stockholm , nous a fait part, à ce sujet, lors de son passage à Metz en i Hi6, du résultat de quelques expériences spéciales de M. Lagerhjelm qui semblent établir ce fait, et qu’il a eu occasion de répéter à Paris en présence de plusieurs des membres de l’Académie royale des sciences, notamment de M. Ampère. En plongeant verticalement, au-dessus d’un orifice circulaire pratiqué dans la face plane et horizontale d’un réservoir trèsgrand par rapport aux dimensions propres de cet orifice, un tube de verre ouvert par les deux bouts, et de manière que son extrémité inférieure se trouve située à une petite distance en deçà ou au-delà du centre de l’orifice, on voit constamment le liquide s’élever verticalement dans le tube jusqu’auprès du niveau supérieur dans le vase, et se maintenir sensiblement à cette hauteur tant que l'extrémité inférieure dont il s’agit ne dépasse pas d'une quantité notable le bord intérieur de l’orifice. M. Rudberg a même essayé d’établir, sur ce principe et »
en mettant en équilibre l'action de la gravité et celle de la force centrifuge en chaque point de la veine extérieure , une théorie du phénomène de la contraction qui ne paraît pas dénuée de toute espèce de fondement , et qui est au moins aussi plausible que celle qui a été proposée en dernier lieu par M. Bidone.
15 j. Dans le fait, de ces deux hypothèses, l’une qui suppose la pression intérieure constamment égale à celle de l’atmosphère dans toute la partie contractée de la veine, l'autre qui la suppose de beaucoup supérieure à cette pression â compter de l’orifice, aucune sans doute n’est à adopter exclusivement; et l’on doit se borner, en attendant de nouvelles expériences, à admettre que, dans l’étendue très-petite considérée, la pression et la vitesse varient en chaque point d’une manière plus ou moins sensible, seion la position de ce point par rapport à la paroi du réservoir et à l’axe de la veine.
Pour en revenir maintenant à la démonstration de M. Bidone, nous ferons remarquer que la formule d’Euler sur laquelle il s’appuie n’est autre que celle qu’on déduit de l’hypothèse du parallélisme des tranches ou du mouvement par filets considérés comme autant de tuyaux distincts et indépendans. Or lapremière de ces hypothèses ne peut évidemment s’appliquer au cas actuel où il s’agit du mouvement très-convergent des molécules liquides au sortir du réservoir, et la seconde ne paraît pas devoir l’être davantage , même dans la supposition du mouvement permanent, puisqu’on n’y tient pas compte de la réaction qui provient de la force centrifuge dont sont animées les molécules des filets voisins de celui que l’on considère ; action variable d’un point à l'autre de ces filets, et qui, étant tout-à-fait indépendante des forces accélératrices ou motrices qui animent les molécules liquides, parait devoir exercer une influence quelconque sur l’état du mouvement aux environs de l’orifice où la force centrifuge acquiert une valeur très-grande.
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156. Quant à ia direction même que prennent les filets liquides en cet endroit, on peut admettre différentes hypothèses qui toutes conduisent à des résultats plus ou moins approchés des effets naturels : celle qu’adopte M. Bidone, dans son mémoire cité, en s’appuyant sur les résultats d'un ouvrage italien de .Venturoli qui nous est tout-à-fait inconnu (1), peut être vraie dans le cas des orifices circulaires , sans que , pour cela, les conséquences qu’il en déduit relativement à la grandeur absolue de la contraction deviennent plus rigoureuses ou soient mieux établies.
Cette hypothèse consiste ( voyez les S 9 et 10 du mémoire de M. Bidone) en ce que, pour tous les points de la surface de la demi-sphère intérieure au réservoir dont l’orifice serait un des grands cercles, la vitesse absolue des molécules est la même que dans ia section contractée de la veine et dirigée constamment vers le centre de l’orifice. En prenant cette proposition à ia lettre, il en résulte à priori, et sans qu’il soit nécessaire de recourir au calcul, que ia dépense effective doit être mesurée par le produit de la vitesse constante et de ia surface de la demi-sphère dont il s'agit; et comme elle a aussi pour valeur le produit de cette même vitesse par l’aire de la section contractée, cette dernière aire doit être égale à celle de la demi -sphère ou le double de celle de l’orifice, résultat absurde et d’ailleurs contradictoire avec celui de M. Bidone , parce que ce géomètre fait, dans l'application de ia proposition de Venturoli, des suppositions qui en altèrent le sens et en rectifient les conséquences.
Au surplus, M. Navier, en admettant comme pure hypothèse la constance de la vitesse dans toute la partie contractée de ia veine , et en faisant en outre , sur la direction des filets
(1) Rknche gtometriche td idromttrkhe font ntlU s atola dtgli ingcgneri pontifiai d'acque t strndt , l'annù tout Milano » i8aa.
fluides qui rencontrent le plan de l’orifice, des suppositions qui paraissent tout aussi admissibles que celles de M. Bidone; M. Navier, dis- je, était déjà parvenu, dans ses Leçons lithographiées de l'Ecole des ponts et chaussées de 1829, à une valeur du coefficient de la contraction effective exprimée par la fraction i = 0,637, moindre que celle qui a été trouvée par M. Bidone, et qui s’accorde presque rigoureusement avec les résultats obtenus par Venturi, Borda et Eytelwein (1 50) : or nous nevoyons pas, au fond, qu’il y ait aucun motif de préférer la théorie de M. Bidone à celle de M. Navier.
157. D'après ces réflexions relatives aux orifices circulaires, il est , je pense, inutile d’insister sur ce qui concerne les orifices carrés, pour lesquels les suppositions de M. Bidone deviennent purement gratuites ; mais nous ne pouvons nous empêcher de faire remarquer encore qu’en admettant comme un fait rigoureusement établi pour les petits orifices, que la vitesse est la même dans tous les points de la section contractée et que l’aire de cette section est les j de celle de l’orifice, ce géomètre est forcément conduit à cette autre conséquence, que la vitesse moyenne conclue de la dépense effective est inférieure à celle qui répond à la charge génératrice, dans le rapport de l’unité à fx 0,61 =0,91 5 (voyez le S 1 7 de son mémoire ) , et que cette diminution énorme de la vitesse moyenne est occasionée par les résistances \jue le liquide éprouve de la part de l’air extérieur et des parois- du vase qui avoisinent l’orifice. Or il est impossible d’admettre une pareille conclusion qui tendrait à faire supposer que la force vive ou la charge génératrice de liquide a été diminuée, par l’effet des résistances, dans le rapport de 1 à 0,84 au moins, et elle se trouve d’ailleurs en contradiction manifeste avec le résultat incontestable de nombreuses expériences qui ont démontré , notamment pour les orifices circulaires en minces parois, que la veine est susceptible de rejaillir verticalement
à une hauteur qui diffère irès-peu de celle de la charge génératrice correspondante dans le réservoir.
Bossut , qui a trouvé pour la contraction effective de ses veines des résultats qui s’accordent avec ceux des calculs hypothétiques de M. Ëidone , s’est pourtant bien gardé d'en tirer les mêmes conséquences relativement à la diminution de la vitesse de sortie du fluide. Il observe, au contraire, que cette vitesse diffère extrêmement peu de celle que donne la formule de Toricelli, et il suppose seulement [Hydrodynamique, tome II, S 36 2) que le frottement des bords de l’orifice a pu altérer le mouvement des particules qui contribuent le plus à contracter la veine, de manière à augmenter un peu les dimensions transversales de celle-ci; mais cette raison-là même ne lui semble pas une justification suffisante de la grandeur du coefficient de contraction déduit de ses mesures géométriques.
1 58. Comme on ne saurait néanmoins révoquer en doute que ce coefficient , pour les orifices circulaires très-petits par rapport aux dimensions transversales du réservoir, ne surpasse d’une manière notable celui que l’on déduit de la comparaison des dépenses , et qu’il est impossible d’expliquer une pareille différence par une diminution équivalente de la force vive de sortie du liquide, on est conduit à rechercher l’explication du fait, pour le cas dont il s’agit, dans la nature même du mouvement dont sont animées les molécules dans la section contractée. S’il était vrai , en effet, comme le suppose M. Bidone, que la vitesse fût exactement la même pour tous les points de cette section , on serait forcé d’admettre aussi une diminution générale de cette vitesse, par rapport à celle qui répond à la charge génératrice dans le réservoir; mais, puisque l’expérience des jets d’eau ne la justifie pas, 011 doit aussi rejeter comme inexacte l’hypothèse des vitesses égales.
A la rigueur, on pourrait admettre que, pour les orifices circulaires , les molécules décrivent , près de la section contractée , des chemins qui sont sensiblement parallèles au filet central de la veine; mais, comme le fait n’est pas bien démontré et qu'il n’a évidemment pas lieu pour les orifices carrés et rectangulaires, il convient de se renfermer dans la supposition générale où la vitesse varie à-la-fois en grandeur et en direction en chacun des points de la section dont il s’agit, et de rechercher l’influence de cette variation sur la force vive totale et effective du liquide comparée à la force vive qui correspond à la vitesse moyenne déduite, à la manière ordinaire, du quotient de la dépense par l’aire de la section contractée. Seulement, comme, en vertu des forces d’adhésion qui unissent entre elles les molécules voisines, soit dans l’intérieur, soit au-dehors du réservoir, les vitesses dans la section contractée de la veine , estimées parallèlement à l’axe de cette veine , ne sauraient beaucoup différer entre elles et encore moins de leur valeur moyenne , nous pourrons négliger sans inconvénient les puissances supérieures de la différence de ces vitesses.
159. Cela posé, soit v la vitesse effective des molécules qui traversent un élément superficiel quelconque du de la section plane contractée, dont l’aire totale sera représentée par u; soit et l’angle que la direction de cette vitesse fait avec l’axe de la veine ou la perpendiculaire à cette section ; enfin f la densité et u la vitesse moyenne du liquide, qui, selon la définition ordinaire, doit être telle, qu’étant multipliée par l’aire totale u de la section contractée, elle redonne la dépense effective. Décomposons la vitesse v en deux autres, l’une v cos et = u, perpendiculaire au plan de la section contractée, et l’autre v sin et = w, suivant la direction même de ce plan; du.v cos «t = u.du sera le volume de liquide qui s’écoule, dans l’unité de temps, par l’aire du, et l'inté-
graie f v cos a. du ou fudu, prise dans toute l’étendue d eu, sera la quantité réelle de liquide écoulé pendant cette même unité de temps. On aura donc
, ,0 vcosadu udv
VCOSBLdu — I udu,ouuz=zf = / ,
U ■'41 ■'il U J Al Al
conformément à la définition de la vitesse moyenne.
D’un autre côté, la masse de liquide correspondante a du est fudu-, donc l’expression de la force vive totale et effective de cette masse est
ff u udu . v‘ = f ( J ^ u ’ du w l du ) ,
puisque v* = a* -+- iv*.
Nommant donc su la quantité, positive ou négative, dont la vitesse relative u =: vcosn. d’un filet fluide quelconque diff ère de la vitesse moyenne u, de sorte qu’on ait u =z u ( t e ), e étant une quantité variable, fonction des indéterminées qui fixent la position de du, et qui est censée une très-petite fraction de l’unité pour tous les points de la section u, on aura
f u'du = u J / (1 -h e)'du — «u 3 -1- ju J / (s-f- «*)</«,
en négligeant seulement le cube de e.
Mais on a, entre les mêmes limites d’intégration,
uv = fudu — vu -+- f edu ;
donc
et
f edu = o ,
f «*(1# = «u 1 + tu 1 / t i du.
J tu J J A»
l68 EXPÉRIENCES
Donc enfin on a aussi, à très-peu de chose près, pour ia force vive totale du liquide écoulé pendant l'unité de temps,
f/ udd.V 1 = fUV* -4- 3/U } / i x du — f- f f UW l du,
expression dans laquelle puu* est évidemment la force vive relative à la vitesse moyenne, telle qu’on l’obtiendrait en supposant les différentes molécules animées de cette vitesse perpendiculairement au plan de la section contractée.
L’intégrale f t'dm étant essentiellement positive , quel que
soit le signe de s pour les différens filets , et ia même chose ayant lieu à l’égard du dernier terme de l’intégrale ci-dessus, qui exprime la somme des forces vives dues aux mouvemens relatifs des molécules dans le sens du plan de ia section contractée, on voit que la force vive réelle surpasse nécessairement la force vive déduite de la considération de la vitesse moyenne , toutes les fois que les vitesses effectives ne sont pas toutes égales et parallèles à l’axe de la veine ou au filet central. 1 1 résulte de là aussi que les molécules d’une telle veine peuvent remonter verticalement jusqu’au niveau supérieur de l’eau dans le réservoir, quoique la vitesse moyenne dans la section contractée soit inférieure à celle qui répond à la hauteur de la charge génératrice, et cela sans qu’il soit même nécessaire d’admettre aucun déchet de ia vitesse ou de la force vive réelle du liquide, par suite des résistances qu’il éprouve à se mouvoir en dedans ou en dehors du réservoir ( i ).
160. Maintenant revenons au cas de notre appareil, et observons que la considération de la divergence et de i’iné-
(t) J'ai déjà eu l'occasion dé présenter ces memes considérations dans mes leçons de mars t8a8, faites à le cote d'artillerie et du génie de Metz, sur les lois de l'écoulement des fluides, et je m'en suis servi pour expliquer les difficultés que présente , dans son application, le principe des forces vjves quand on admet l’hypothcsc du parallélisme des tranches dans certaines sections d'un vase où les vitesses sont essentiellement différentes.
galité des mouvemens des molécules qui traversent la section contractée de la veine, bien loin de suffire pour expliquer la différence entre le coefficient de la dépense et celui de la contraction effective, ne fait qu’accroître, au contraire, la difficulté de l’interprétation de cette différence. Car ici nous avons trouvé (149) q ue l a vitesse moyenne déduite de la dépense, uu lieu d'être inférieure à la vitesse moyenne donnée par les formules, la surpasse dans le rapport de 600 à 563 ; ce qui, d’après la manière ordinaire d’envisager les choses, supposerait déjà un excès de force vive réelle égal aux 0,1 2 environ de celle qui répond à la charge génératrice moyenne dans le réservoir. Et comme, en vertu du principe qui vient d'être établi , la force vive totale des molécules qui traversent la section contractée de la veine , surpasse nécessairement celle qui se conclut de la vitesse moyenne ou du quotient de la dépense effective par l'aire de la section dont il s'agit, on voit que la différence entre les résultats de l’expérience et des formules en usage doit être plus grande encore. Une telle différence ne parait guère susceptible d'être justifiée par des considérations à priori, ou uniquement fondées sur l’état et les circonstances particulières du mouvement dans le cas de notre appareil.
161. En effet, nous ne voyons que deux causes qui aient pu ici contribuer, plus ou moins , à faire croître la force vive du liquide au-delà de la valeur que lui assignent les formules qui ont servi de base à la composition de nos tables. La première est l’abaissement de l’axe de la veine ou du centre de gravité de la section contractée au-dessous du centre de gravité de l'orifice. Cet abaissement , calculé d’après la trajectoire du filet central, est de o“,ot 34 pour la charge moyenne de t n> ,68 de liquide; mais, dans la réalité, l'abaissement du centre de la section contractée est un peu plus grand, comme on peut le voir à l’inspection seule du profil de cette section
[planche 4) , et ii diffère très-peu de 2 centimètres ou de j-f-j = T? 35: 0,0 1 2 seulement de la charge moyenne sur le centre de l’orifice ( voyez la note du n° 163 ci-après).
La seconde cause peut être due à la vitesse que possède l’eau à son arrivée dans le bassin qui contient l’orifice , et spécialement dans la section qui correspond à la position de la tige qui sert à relever les hauteurs du niveau ( 7 j et suiv. ) ; mais cette circonstance ne peut avoir qu'une influence très» faible dans le cas actuel , et tout-à-fait négligeable si l’on admet que la section dont il s’agit soit vive en tous ses points, c’est-à-dire, si l’on admet que la vitesse y soit partout la même, à peu de chose près. En effet, on trouve, dans cette hypothèse, que la force vive d’arrivée du liquide doit être au plus les 0,000007 de celle qu’il acquiert à sa sortie de l’orifice.
162. Si, au contraire , on admet que la vitesse d’arrivée de l’eau ne soit pas égale dans tous les points, alors on en conclura , en vertu du principe du n° 159, que sa force vive peut être une fraction notable de celle qui est due théoriquement à la charge génératrice dans le réservoir ; et comme , d’après un autre principe bien connu , ces deux forces vives doivent s’ajouter entre elles pour composer la force vive réelle du liquide à la sortie de l’orifice , cela suffirait seul pour expliquer l’excès de cette dernière force vive sur celle qui répond à la charge génératrice effective au-dessus du centre de l’orifice. Dans le fait, nous n’avons nullement remarqué , lors de nos expériences , que l’eau se mût avec une vitesse appréciable dans certaines régions du réservoir, pas même dans la direction de l’axe de l'orifice, et i’inégalité de vitesse qu’il nous faudrait ici admettre entre les molécules et pour les dispositions adoptées, serait en contradiction manifeste avec le résultat de toutes les expériences connues. Nous ne saurions donc attribuer à une semblable cause l’excès de
la vitesse moyenne observée sur celle qui est due à la charge effective dans le réservoir, d’autant plus que la force vive qui se conclut de la première vitesse est nécessairement audessous de la véritable, conformément à la démonstration générale que nous en avons donnée ci-dessus (159).
163. Quels que soient, au surplus, les soins apportés aux opérations concernant le relevé géométrique de la veine , nous ne prétendons pas soutenir qu’on doive le considérer commeabsoiument exempt d’erreurs : l’inspection de la dernière colonne de droite du tableau du n" 123 semblait même prouver que le coefficient de la plus forte contraction se trouve estimé un peu au-dessous de sa véritable valeur; car, si l’on prend la peine de tracer une courbe qui ait pour abscisses la distance de chaque section au plan de l’orifice, et pour ordonnées correspondantes des longueurs proportionnelles aux coefficiens de contraction indiqués dans la table , on verra que cette courbe est loin d’offrir un cours régulier, surtout aux environs du point qui répond à la plus petite valeur du coefficient (t). Mais, si l’on essaie de tracer une ligne continue à travers tous ces points, en faisant abstraction de celui dont il s'agit, on trouvera que cette ligne assigne au coefficient minimum
(1) Celte circonstance et les différentes réflexions qui précèdent nous ont portés à refaire, avec plus de soin et d"attcntk>n encore que nous n'enavions mis lors de la formation du tableau du n° 1 2 le calcul de Taire de la section verticale située à 30 centimètres de l'orifice, et nous l'avons trouvée, à deux reprises differentes, de 216,915 centimètres carrés en employant la méthode directe des trapcz.cs , et de 216,848 centimètres carrés en employant celle de Simpson. Ces nombres dînèrent extrêmement peu entre eux, parce auc les contours des profils ont ici une très-faible courbure : mais ils surpassent un peu la valeur de 125,06 centimètres carrés trouvée primitivement -, et, en adoptant le second d'entre eux comme le plus exact, on trouve pour coefficient de la plus forte contraction 226,848/400 ss 0,567, qui diffère peu de celui qui est porté à la dernière colonne de droite du tableau. » ;*,*.*%?* ft u ■» *'
Nous avons aussi voulu calculer directement la dépense de liquide, en supposant chaque tranche horizontale d’un centimètre de hauteur, dans la section contractée, animée de la vitesse due à 1a charge effective au-dessus de son centre, et nous avons trouvé pour résultat 1 {0,914 litres, tandis que la dépense véritable est 1 17,778 litres ou d'environ t/10 plus forte. Cette circonstance, attendu la divergence des filets nu ides dans la section contractée, tendrait
une valeur qui ne saurait être au-dessus de o, 5 8 5 , et par suite de laquelle la force vive effective du liquide excéderait encore des 0,05 au moins de sa valeu celle qu’on déduirait de la vitesse moyenne qu’indique la théorie.
1 6 \. Quoique le fait d’une aussi grande contraction de la veine que celle à laquelle nous ont conduits nos opérations , ne permette point ici une explication satisfaisante, nous n’en devons pas moins l’admettre quant à présent ; et cela d’autant plus, qu’il n’est nullement en contradiction avec les résultats obtenus par M. Brunnaci, pour la contraction effective d'une veine sortant d’un orifice circulaire vertical de o m ,2<?6 de diamètre (voyez l’ouvrage de Brugnateili déjà cité aux n 0, p et 142).
D’après ces résultats , déduits de mesures géométriques susceptibles d’un degré de précision suffisant , les rapports de l’aire de la section de la veine à faire de l’orifice seraient respectivement 0,62$, 0,608, 0,602, 0,6003, 0,600, 0,576, aux distances de 10, de 20, de 30, de 40, de 50, de 80 centimètres de cet orifice ; de sorte qu’à celle de 30 à 4o centimètres où la convergence des filets liquides paraît avoir atteint sa limite , du moins abstraction faite de l’action de la
à faire admettre à fmhri, ou que la vitesse, dans le sens perpendiculaire aux tranches, est plus grande qoe celle qui est duc à la charge correspondante de liquide dans le réservoir, ou que l’aire de la section dont il s’agit sc trouverait être elle-même un peu au-dessous de la véritable. Nous ne pouvons nous empêcher de remarquer encore, i ce dernier sujet, qu’on mettrait tous les résultats à peu près d’accord, en supposant que les guides horizontaux, ou les châssis auxquels ( n M n 8 et suiv. ) on rapportait la position des dmérens points du profil de U veine, eussent éprouve, à la distance de 30 centimètres de l'orifice et dans le sens horizontal , un déplacement général d'environ y millimètres, en vertu duquel on aurait mal jugé la position de l’axe de symétrie de la section contractée. Cette supposition répugne d’autant moins, qu'il devait être difficile de bien fixer les guides dont il s agit, et de repérer la position de leurs extrémités par rapport à Taxe de l'orifice. Avant donc de prononcer en dernier ressort sur les difficultés que faitnaitre la grandeur de la contraction effective pour le cas de notre appareil , il sera nécessaire de vérifier avec le plus grand soin les opérations qui font donnée. D'ailleurs, en calculant, d’après la théorie des momens, la position du centre de gravité de la section contractée de notre veine , nous avons trouvé qu’il était réellement abaissé de 1,9a centimètre au-dessous de l’axe de l'orifice, au lieu de 1 ,34 centimètre que donne ( 1 6 1) le calcul de !a trajectoire centrale relative à la vitesse moyenne.
gravité qui tend continuellement à diminuer l’aire des sections ; à cette distance , dis-je, le coefficient de la contraction effective s’élèverait au plus à 0,602. Malheureusement Brunnaci ne parait pas avoir fait d’expériences spéciales dans la vue de constater la dépense effective de l’orifice dont il s’agit; mais, comme cet orifice est circulaire et que la charge sous laquelle on a opéré était médiocre , il y a tout lieu de croire , d’après nos propres résultats et ceux des divers autres expérimentateurs , que le coefficient déduit de cette dépense se fût plutôt élevé au-dessus qu’au-dessous de cette valeur. .
Dans tous les cas , le résultat des mesures géométriques de Brunnaci diffère trop de ceux de Bossut, de Michelotti, &c. ( 150), pour qu’on puisse se refuser à admettre une augmentation très-sensible de la contraction effective des veines des grands orifices par rapport à celles des petits, conformément aux résultats de nos propres expériences.
165. Concluons des rapprochemens et des discussions qui précèdent , que les principes théoriques et les hypothèses qui ont jusqu’ici servi de base à l’établissement des formules qui donnent la dépense et la vitesse moyenne au sortir des orifices verticaux à grandes dimensions, sont loin d’ètre aussi satisfaisans qu’on pourrait le désirer; et qu’en particulier les idées qu'on se forme du mouvement des molécules liquides au sortir du réservoir ou dans la section contractée , et la supposition du parallélisme des tranches dans cette section ainsi que dans l’intérieur du réservoir, enfin la substitution de l’orifice à la section contractée, ne peuvent être admises que comme des moyens commodes , mais en eux-mêmes peu rigoureux , de parvenir à la solution des questions usuelles de l’hydrodynamique, ainsi que le savent très-bien d’ailleurs tous ceux qui ont médité sur la matière.
Quant à l’hypothèse du mouvement par filets distincts ou indépendans, telle que l’a proposée, en premier lieu, le
célèbre Borda dans son mémoire inséré parmi ceux de l’ Académie royale des sciences pour l’année i y 66 , elle ne nous paraît pas mieux fondée en principe que celle du parallélisme des tranches , et de plus elle ne conduit au but qu’à l’aide de suppositions équivalentes.
Pour résoudre d’une manière un tant soit peu rigoureuse la question de l'écoulement des fluides dans le cas des grands orifices verticaux, même en admettant la supposition que le mouvementse fait par filets considérés commeautant de tuyaux indépendans, et en renonçant à tenir compte des effets de la force centrifuge dans les divers points de ces filets ( i j 3 ) » il faudrait connaître à priori , ou par des expériences spéciales, l’état véritable du mouvement dans la première et la dernière section de la masse qu’il s’agit de considérer, c'est-à-dire, la loi qui existe entre la pression , la direction et l’intensité du mouvement en chacun des points de ces sections. Or on ne peut espérer de découvrir cette loi , si ce n’est pour quelques cas très-particuliers , par des moyens d’investigation aussi imparfaits que ceux que nous possédons jusqu’à présent , et sa connaissance exacte suppose en elle-même la découverte des lois les plus générales du mouvement des fluides.
Sur la loi des dépréssions moyennes dans le plan des orifices en
déversoir.
166. Nous avons fait connaître incidentellement f 1 37) la relation très-simple qui, pour le cas de notre déversoir rectangulaire de 20 centimètres de largeur, lie entre elles les charges totales de liquide h et les dépressions moyennes correspondantes k'\ mais il convient ici d’entrer dans quelques développemens qui mettent à même d’apprécier le degré d’exactitude de cette relation, et l’étendue de son application à des cas différens de celui que nous avons envisagé. On
remarquera, en effet, que ia recherche du rapport entre les charges totales et moyennes de liquide a excité l'attention de plusieurs géomètres ou expérimentateurs habiles (p ), qui tous, à compter de Dubuat, sont parvenus à des résultats fort diffère ns. C'est d'ailleurs en soi une question utile que celle de déterminer ia dépression moyenne quand on a la charge totale, et réciproquement; car il peut arriver qu'ayant à calculer la dépense d’un déversoir , on éprouve moins de difficulté à mesurer la charge moyenne dans le plan même de l'orifice, que ia charge complète à une certaine distance en amont ou sur les côtés.
Observons, à ce sujet, que, d’après le résultat de nos propres mesures, il parait que ia charge moyenne dont il s'agit diffère généralement fort peu de celle qui répond naturellement au milieu de la largeur de l’orifice ; de sorte que , quand on sera à même de relever aisément la position de la surface supérieure du liquide en ce point , on en conclura surle-champ la charge totale correspondante, sans être, pour cela, obligé de relever à-la-fois tous les points du profil qui sont compris dans le pian de l’orifice ( t x 2). Cette méthode ne conduira jamais à des erreurs appréciables , quand l’épaisseur de la nappe sera un peu forte : dans notre cas, par exemple, on trouve que, pour les charges totales de 180,3, , 3 I >4» 72,2 et 29 millimètres, les épaisseurs effectives de la nappe liquide, prises au milieu de l’orifice et dans son plan, ont pour valeurs respectives 1 64 » 4 . 117.6, 62,1 et 23,2 millimètres (voyez la planche 6 ), tandis que l’épaisseur moyenne conclue de l’aire entière de la section est, dans les mêmes circonstances (136), de 1 64,4. 1 1 7.7. 62,2 et 22,6 millimètres, quantités qui diffèrent extrêmement peu des précédentes, sauf la dernière 22,6 qui est surpassée par sa correspondante 23,2 d’environ yj- de sa valeur totale.
