Revenons à la relation du n° 137. £n traçant la

courbe d'interpolation dont il y est fait mention, on obtient, pour les données du tableau du n° 13 6 , une branche de courbe qui va continuellement en s'approchant de l’axe des abscisses ou des rapports 7-, et qui paraît devoir se confondre sensiblement avec celle d’une hyperbole qui aurait une parallèle à cet axe pour asymptote; ce qui doit être, puisqu’en supposant la charge moyenne dans le plan de l’orifice tout-à-fait nulle, la charge totale h doit conserver encore une valeur sensible due à l’action capillaire de la paroi, qui tend à maintenir le niveau générai dans le réservoir à une hauteur supérieure à celle du fond de l’orifice, sans que, pour cela, l’écoulement ait lieu.

Considérant ensuite que les valeurs du rapport -f ne sauraient jamais être moindres que l’unité, et quelles peuvent néanmoins en approcher indéfiniment, comme le prouve l’inspection de la table du n° 136, on est conduit à admettre pour la courbe une seconde asymptote répondant ,à la valeur 1 de l'abscisse ; ce qui lui donne la forme d’une hyperbole équilatère dans laquelle le produit des abscisses 7- diminuées d’une unité, et des ordonnées h' diminuées d’une certaine quantité constante , doit être invariable pour tous les points de la courbe. En effet, en prenant pour cette dernière quantité 1,8 millimètre, on trouvequeles produits dont il s’agit diffèrent généralement très-peu de leur valeur moyenne; rejetant d’ailleurs les données qui répondent à la 6 e expérience de la table citée, lesquelles fournissent un produit beaucoup trop faible et 11’ont point été conclues de mesures directes, on trouve que la valeur moyenne de ces produits diffère en général fort peu de 1 ,3 i (j.

C’est par ces considérations très-simples que M. Lesbros

est parvenu à établir la relation (7 1 ) ( h' — t , 8 ) = 1 , 3 1 9 ,

dans laquelle on prend le millimètre pour unité, et qui offre ce caractère particulier, quelle satisfait pleinement aux deux

limites du phénomène, c’est-à-dire, au cas où la charge totale de liquide est infinie, et à celui où elle ne suffit plus pour produire l’écoulement ou pour vaincre les forces d’adhésion qui retiennent ce liquide contre la paroi inférieure de l’orifice.

En effet, en faisant dans la formule ci-dessus o ou h — h' = 0, ce qui répond à la limite inférieure des charges, elle donne évidemment h ' — 1,8 = o, ou h ' — i , 8 — h , puisque la dépression est alors égale à la charge entière : or ce résultat s’écarte peu de la hauteur à laquelle le niveau général dans le réservoir peut se maintenir en équilibre audessus du bord inférieur de l’orifice, en vertu de l’action capillaire de sa paroi (t).

i( 58 . De plus, la relation dont il s’agit fournit, pour le rapport -J- de la charge totale à la charge moyenne, des valeurs qui diffèrent extrêmement peu de celles de la table du n° 136. Pour s’en convaincre, il suffira de résoudre cette équation par rapport à h ou à 0 , en ayant soin d’adopter des signes convenables pour les radicaux. Mais, pour la commodité des notations , nous remplacerons la charge totale h par h , la charge moyenne 0 par h , et, en observant que h' 2= h — h, l’équation dont il s’agit deviendra

d'où l’on tire, pour les valeurs de h et h satisfaisant aux expériences ,

h = h - 4 - 0,9 -+- V 1 ,3 1 9 h ■+■ 0,8 1 , fi — H — 0,2405 — ^ 1,3 19 H -t- 0,05784*

(1) E11 vérifiant la hauteur du bord inférieur de l'orifice, au moyen de l'eau du réservoir, on a eu plusieurs fois l’occasion de mesurer la charge totale h correspondante à l’instant dont il s’agit; on l’a trouvée, tantôt de 1 ,5 , tantôt de a millimètres, et c’est ce qui a déterminé à prendre la moyenne i ,8.

. En calculant, par exemple, au moyen de la seconde de ces formules, les valeurs des charges moyennes correspondantes aux charges totales des expériences 2,3, 5 et 7 de la cable, on trouvera que ces charges ne different pas généralement de celles obtenues par les mesures directes de -j— de la valeur de la charge totale correspondante.

Quant aux expériences i , 4 et 6, la formule donne des charges moyennes qui sont toutes un peu moindres que leurs correspondantes dans la table ; ce qui n’a rien d’étonnant d’après la remarque de l’article 1 37. La différence est d’ailleurs plus forte pour le n° 4 que pour le n" 1 , et plus forte pour le n° 6 que pour le n° 4 ; ce qui s’explique encore (138) d’après la nature de l’opération qui a servi à déterminer les charges moyennes relatives à ces numéros. En n’employant uniquement, pour calculer les deux indéterminées qui entrent dans la relation ci-dessus, que les valeurs de H et de h relatives aux n°‘ 2, 3, 5 et 7, valeurs déduites d’opérations trèsprécises, on arrive à cette autre relation (h — h) (h — h — 1,5) = 1.394 dans laquelle le millimètre est toujours pris pour unité et qui représente plus exactement encore ces valeurs, mais qui s’éloigne un peu plus des autres données de la table.

169. On doit à MM. Bidone et Eytelwein plusieurs observations du genre de celles dont il s’agit ici, c'est-à-dire, ayant pour objet de déterminer le rapport de la charge moyenne, dans le plan du déversoir, à la charge totale { 1 ) ; mais la paroi dans laquelle étaient pratiqués les orifices de ces expérimentateurs avait environ un pouce d’épaisseur, et il se peut que cette circonstance ait exercé de l’influence dans certains cas, notamment pour les charges d’eau très-faibles. D’une autre part aussi, les dimensions des orifices et du réser-

(1) Expérience* sur la dépens* des déversoirs, &c., par M. Bidone, Académie de Turin . année 1814, pages J07 et 327; AUnuel demécanitfue^ par M. Eytelwein, page 124,

voir étalent différentes de celles de nos appareils; on doit donc s’attendre à des résultats qui ne cadrent pas exactement avec ceux que donnent nos formules, et qui s’en éloignent d’autant plus, que les dispositifs auxquels iis se rapportent diffèrent eux-mêmes davantage des nôtres. En effet , si l’on calcule par ces formules les valeurs du rapport qui correspondent aux diverses charges totales H des expériences de M. Bidone ou de M. Eytelwein, on trouve que ces valeurs s’écartent de plus en plus de celles qui résultent des observations directes, à mesure que la largeur correspondante du déversoir ou de l’orifice diffère elle-même davantage de 200 millimètres, largeur du nôtre; ou plutôt, on aperçoit que le rapport de H à h est à-la-fois fonction de la largeur de l’orifice et de celle du réservoir, que nous désignerons respectivement par / et l dans ce qui va suivre;

D’après ces considérations, nous avons recherché s’il ne suffirait pas de multiplier, dans l’équation (h — h ) (h — h — 1 ,80 ) = 1,3 1 9 h , le coefficient constant 1,319 par une fonction suffisamment simple de ces largeurs, pour rendre cette formule propre à redonner toutes les valeurs du rapport ■jj- avec un degré d’approximation raisonnable, et sans lui faire perdre la propriété quelle a de satisfaire aux limites extrêmes des charges de liquide; ce qui revient à supposer que, pour

des valeurs données de l et / , le produit ( t ) (h — h —

1,8) doit demeurer sensiblement invariable.

Pour vérifier ce soupçon, nous avops calculé ces produits, tant pour les observations de M. Bidone que pour celles de M. Eytelwein , et nous avons trouvé qu'en effet ils diffèrent assez peu entre eux pour une même valeur du rapport de /à l; les variations ne paraissent pas, du moins, surpasser celles qui peuvent résulter des erreurs mêmes commises dans le relevé direct des dépressions du liquide; et, en ordonnant ces produits suivant les valeurs de 4-, on trouve qu'ils suivent

1 8 o EXPÉRIENCES

une marche suffisamment régulière pour être considérés comme soumis à une loi unique. >

Afin de découvrir, s’il se peut, cette loi ou une loi équivalente et qui permît, dans une certaine étendue, de calculer approximativement la grandeur des dépressions , nous avons construit une courbe ayant pour abscisses les valeurs de -£• et pour ordonnées celles correspondantes des produits (-f — t ) (h — /; — i, 8 ). Cette courbe s’est présentée sous la forme d’une parabole du 3 e ou du 4 e ordre : mais, comme nous ne voulions ici considérer que le cas particulier où la largeur de l’orifice est fort petite par rapport à celle l du réservoir; comme les résultats de MM. Bidone et Eytelwein présentent de fortes anomalies pour le cas où ces largeurs sont égales ou peu différentes , ce qu’explique très-bien la nature des moyens qu’ils ont mis en usage pour obtenir les charges totales dans le réservoir qui sont alors en quelque sorte indéterminées; d’après ces motifs, dis-je, nous avons cherché seulement à satisfaire aux premières ordonnées de la courbe en prenant , pour les représenter , une expression de la forme <*. — h- /3 — y , qui appartient à la parabole ordinaire , et dans laquelle -f serait toujours censé au-dessous de 0,3. Nous avons ainsi trouvé, par des méthodes suffisamment exactes pour l'objet que nous avions en vue,

Nommant donc k, pour abréger, cette quantité fonction de -j-, on aura entre h et H la relation

d’où

H — . k *4 — 0,9 — f- 1/ kh — f — 0,8 1 , h — n-tr-jk — 0,9 — V^k k -+- H — o,9)-4-o,8i.

1 70. Nous avons rassemblé dans le tableau suivant nos résultats, ainsi que ceux obtenus par MM. BidoneetEytelwein , en laissant de côté tous ceux qui répondent à des valeurs de -f supérieures à 0,4, lesquels s’écartent de plus en plus de ceux que donnent les formules ci-dessus.

que les différences entre les valeurs de h ou de fournies par

la formule h = h 0,9 kh - 1-0,81 et celles qu’on

déduit de l’observation, ne commencent à être très-appréciables que pour les valeurs du rapport 4 - qui surpassent

l8a EXPÉRIENCES

0,300. La valeur de t- qui répond à la quatrième expérience en remontant, est la seule qui présente une différence notable entre le résultat du calcul et celui de l’observation ; mais, comme elle se trouve comprise entre deux autres expériences dont les résultats, Sus au même observateur, présentent une différence proportionnelle très-petite , et qui sont relatives à des largeurs d'orifice et de réservoir presque égaies, il n’est guère permis de douter que l’anomalie quelle offre ne provienne d’une erreur véritable dans le relevé de la charge moyenne dans le plan du déversoir.

171. Au surplus , quelque satisfaisant que soit l’accord de notre formule et des données de l’observation , elle est déduite d’un trop petit nombre d’expériences certaines pour qu’on puisse la considérer, quant à présent, comme autre chose qu’une formule empirique, propre à en représenter les résultats avec un degré d’exactitude raisonnable et dans une certaine étendue , notamment pour les cas où la largeur de l’orifice égale au plus le -j- ou les 0,3 de celle du réservoir.

Les résultats de ces diverses expériences n’ont pas d’ailleurs toute l’authenticité désirable. Les charges moyennes de liquide dans celles de M. Bidone ne sont déterminées généralement que par un petit nombre de cotes prises dans le plan intérieur de la paroi de l’orifice; deux d’entre elles, marquées d’un astérisque dans le tableau ci-dessus et déduites par nous des données que rapporte l’auteur au n' 17 de son mémoire, laissent quelques incertitudes , attendu que la charge totale au-dessus de la base de l’orifice n’a pas été indiquée dans le texte meme, et qu’il a fallu la conclure de la comparaison des figures J, 6 et 7 qui l’accompagnent. Quant aux résultats de M. Eytelwein, rien n’indique la façon dont a été relevée la hauteur moyenne du liquide dans le plan de l’orifice. Enfin il se peut aussi que l’épaisseur d’environ 3 centimètres qu’avait ta paroi des orifices sur lesquels cet auteur et M. Bidone

HVDRAUMQUES. 183

ont opéré, ait exercé quelque influence sur ia valeur de ia dépression pour les petites charges de liquide.

172. La seule conclusion certaine que nous prétendions donc tirer des recherches qui précèdent , c’est que, pour les déversoirs, la dépression moyenne du niveau dans le plan de l’orifice supposé en mince paroi n’est point une fraction déterminée ou constante de la charge entière , pas plus que pour les orifices fermés vers le haut ( 133), et que cette fraction doit varier, non-seulement avec les dimensions absolues du réservoir et de l’orifice, mais encore avec la charge absolue de liquide au-dessus de la base de celui-ci. 11 est d’ailleurs digne de remarque qu’aucune des valeurs trouvées , soit par MM. Eytelwein et Gidone, soit par nous, n’ait donné pour la dépression dont il s’agit un résultat aussi fort que celui qui a été obtenu en Angleterre par le D r Robison , résultat cité par M. Navier dans l’ avertissement qui précède sa nouvelle édition de l’ Architecture hydraulique de Bétidor ( voyez p. xii ) , et d'après lequel le rapport de H à h se serait élevé à 1,4. ■.* ,*) f r . . f i ’

Suivant les formules ci-dessus, qu’on doit considérer provisoirement comme exactes pour le cas où l surpasse de beaucoup /, h ne serait égal à 1,4 h, dans notre appareil, que lorsque h se trouve réduit à 1 Dans le cas où l pourrait

être considéré comme infini par rapport à / , la même circonstance n’aurait lieu encore que quand la cfiarge h se trouverait réduite à 2 2 œ,n ,27. Quoiqu’il soit très-probable que le D r Robison ait fctt ses observations sur des charges plus fortes , on ne peut néanmoins révoquer en doute d’une manière absolue l’exactitude du résultat qu’il a obtenu; car il se peut qu'il ait opéré sur un déversoir dont la largeur différât trèspeu de celle du réservoir, circonstance pour laquelle le rapport ^ paraît devoir être beaucoup plus grand que dans toute autre, à charges et à orifices semblables d’ailleurs.