IV
Sur la manière d'avoir égard à la contraction de la veine Jluide dans le calcul de la dépense des orifices verticaux .
35 . Soit un orifice rectangulaire et vertical, dont la base ou la largeur est horizontale , et considérons le cas où l’écoulement se fait librement dans l’air , l’eau dans le réservoir étant sensiblement stagnante , et entretenue à une hauteur invariable. En nommant a la hauteur de l’orifice,
/ sa largeur, b la charge d’eau et g la gravité, nous
aurons, pour la dépensé de l’orifice, l’expression
laquelle se rapporte au cas , où la contraction de la veine est nulle. Maintenant la manière ordinaire d’avoir égard au déchet occasioné par la contraction , consiste à multiplier Fexpression précédente par [jl , /x étant le coefficient de la contraction , et l’on représente la dépense effective de l’orifice par la formule
(M) Q= 2 -.nl Vïg [(<H-£) a — £*]•
Mais cette manière devoir égard à la contraction ne* parait pas exacte et rigoureuse pour les orifices verticaux, et peut , dans certains cas , rendre l’expression précédente de la dépense assez différente de celle qu’on obtient, eu introduisant convenablement dans le calcul les modifications dues à la contraction de la veine.
36 . Pour le faire voir, soit T ( fig. 12. 6 ) un vase entretenu constamment plein jusqu’à la hauteur A 9 et BC un orifice vertical et rectangulaire , percé dans une mince paroi. Il est clair que la veine en sortant de l’orifice se contractera , et sa section se réduira à IIG. Or c’est proprement cette section HG de la veine contractée , qui forme le véritable orifice dont on doit déterminer la dépense. Pour cela des points H et G tirons les lignes horizontales IIB\ GC\ et supposons que la coupe verticale BC
4 e Forifice passe par le milieu de la largeur du meme orifice. Soit, comme ci-dcssus , BC=:a ; AB=zb , et l la largeur de Forifice. Maintenant en vertu de la contraction les côtés de Forifice doivent être réduits à ceux de la section contractée : partant si //£ est la hauteur de cette section , il est clair que BB'-+-C f C sera la quantité dont la hauteur a de 1 orifice se trouvera diminuée. Soit /?/?'=*« • CCz=zy'a : soient pareillement X/ , X 7 , les quantités dont la largeur l doit etre diminuée de part et d’autre de pour dévenir égale à la largeur de la section contractée.
On aura pour la hauteur de cette section, B'C'~ (i Aa
sa largeur sera (i— X—X')/, et le produit.
( l —* — ° 0( 1 —X —\ f ) al en représentera Faire.
En regardant donc la section 11 G de la veine, contractée comme un orifice où la contraction est nulle , et désignant par Ç'sa dépense, on aura , d’après la théorie ordinaire de l'écoulement par des orifices verticaux , dQ’= ( i — X —V) Idjc Y2g (ô-kc)
pour Fexpression de la dépense infiniment petite d’un rectangle élémentaire, dont la largeur (i —X—X') / est égale à celle de la section contractée , et dont la hauteur est dx, l’origine des x étant au point B , et la charge d’eau de ce rectangle étant b-\-x. Maintenant pour avoir la dépense totale, il faut intégrer Fexpression précédente depuis x=/>/y=ct«, jusqu’à x=BC=( i—et') c’est-à-dire pour la hauteur B'C=I 1 G de la section contractée. On aura
(iV) Q'= ~ (r—X— \')l\ / 2 g[(b+a—* f a)' — •
37. L’emploi de cette formule et sa comparaison avec la formule ordinaire (M) exigent que l’on connaisse dans tous les cas les valeurs des coëfficiens ce, <x/, ^ ^ ( 1 U1
représentent les quantités dont les cotes de 1 orifice diminuent par l’effet de la contraction. Ces quantités doivent à la rigueur être considérées individuellement 5 et introduites dans la formule de la dépense par le procédé dont nous avons fait usage pour obtenir la formule (/V)j car elles peuvent vraiment être inégales entr’elles , ainsi que cela arrive toujours , lorsque la contraction n’a lieu que sur quelques côtés de l’orifice ( voyez les expériences du §.* précédent): et Bossüt (*) a observé que le rétrécissement de la veine n’est pas le même en tous sens lorsque la charge d’eau est petite par rapport à la hauteur d’un orifice vertical et percé dans une mince paroi.
D’après les dénominations que nous avons employées ?
l’aire de la section contractée est exprimée par.
(ï—«—«')(! — X— X)al, et les expériences faites jusqu’ici ont seulement fait connaître le coefficient U = ( I Ct 0 C')( I X V) y
(?) Hydrodynamiq. lom. a. e n.° 467.
ainsi il reste encore, en général, à déterminer trois des coëfficiens * , X, V pour connaître de combien et dans quel sens il faut diminuer les côtés de l'orifice , pour qu'ils deviennent respectivement égaux à ceux de la section contractée.
38 . Les expériences dans lesquelles on s’est servi d’orifices verticaux , percés dans de minces parois, pour déterminer la valeur de (jl , sont toutes telles, que la charge d’eau était très-grande par rapport à la hauteur de l’orifice. En faisant donc dans l’équation (TV) b très-grand par
rapport à a , il vient, en négligeant les puissances de supérieures à la première ,
<?'=( i——X—X >/\igb [^i-i- ^ I " 4 ~ a ~ a ^ a J •
dans la même hypothèse l’équation (M) donne
et puisqu’on a (i — *—*')(i —X—X') = , il viendra
Celte différence est d’autant plus petite que b est plus grand que a , et que le facteur et — *' est moins considérable : ce facteur, dans le cas des orifices verticaux percés dans de minces parois et sous de grandes charges d’eau par rapport à la hauteur des orifices , est certainement très-petit , s’il n’est pas tout-à-fait insensible.
Il résulte donc que lorsque la charge d’eau est considérable comparaitement à la hauteur de l'orifice, les deux formules ( 31 ) et (N) donnent la meme dépense : par conséquent les expériences où cette condition avait lieu, sont très-propres à déterminer aussi exactement qu’on peut le désirer , la valeur du coefficient de la contraction de la veine.
3 q. Passons maintenant au cas où la charge d*eau est petite , et comparable à la hauteur de l’orifice. Faisons b =.lia , n étant un nombre positif quelconque, entier ou fractionnaire ; les équations (M) et (N) prendront les formes suivantes,
Q = ^f*al Vwg [ (w-H i f —n ] ;
Q = - (i— X—X') al \ 'a') 1 — (/M-a) 1 ] ;
et observant que l’on a (i—*—oc')(i— k —V)=/x, ces équations donneront
(fl) Q=Q -
Cette expression de Q' fait voir que l’on a Q'=Q non seulement dans le cas de n très-grand , mais encore lorsqu’on a et = o'/ = o, c’est-à-dire lorsque la contraction n’a pas lieu sur les côtés horizontaux supérieur et inférieur
Si
cîe l’orifice. Dans les autres cas la valeur de ()' diffère plus ou moins de celle de Q.
Considérons un orifice quarré, percé dans une mince paroi, et prenons «=, ce que l’on peut faire sans s’éloigner sensiblement de la vérité, quoique cette hypothèse ne soit pas tout-à-iait exacte, d’après l’observation de Bossut, rapportée ci-dessus au n.° 37. On aura donc ici ^=0,62; ( ! *')(i —X—V) =0,62 ; partant *=*'=0,1063 5 et
l’équation (R) deviendra
[( n-ho } 8g3^y — 1 o63) 5 ]
d’où l’on formera le tableau suivant, relatif aux diverses valeurs de Q f d’après celles de n supposées données :
72 = 0 , 5 o . . . Q’= (i,oo3 1) Q ;
tt=i.Ç'= (1,0019) Q .
Ces résultats montrent la différence qui existe entre les dépenses données par la formule ordinaire (M) et celles données par la formule (JS) , et servent en meme temps à faire voir dans quels cas cette différence peut être négligée sans erreur sensible. Ces mêmes résultats ont également lieu pour des orifices rectangulaires , en supposant que l’on ait #=*', X=X', et que la section de la veine contractée soit
un rectangle dont les cotés sont proportionnels à ceux de l’orifice donné.
4o. La différence entre Q r et Q devient beaucoup plus considérable , lorsque la contraction ne se fait que sur quelques côtés de l’orifice. Considérons l’écoulement des expériences rapportées au n.° 24, où la contraction n’avait pas lieu sur le côté inférieur de l’orifice. On a ici /.i=0,6389, ct'=o , et en supposant *=X=X' , on aura , pour déterminer et, l’équation 2 ct 2 — 3 * -+- o, 36 11 =0 , d’où l’on tire ec=o, 1 320 , et l’équation (R) devient
[( n -{-1 ) s —(n-Ho,i 3 ao) 5 ]
(0,8680 ) [( n -±-1 y —TÏ ]
tseviiib. xvç .iilrnyi rtua m c'if>m«ol ;.o 1 u
et l’on aura les valeurs suivantes de Q' ,
L’excès de Q f sur Q devient encore plus grand pour le
cas des expériences du n.° 28", où la contraction n’avait lieu que sur le côté supérieur de l’orifice. On a dans ce cas ct'=X=X'=o; ^=0,6943, d’où l’on déduit *=o,3o57 , et l’équation (R) devient
(0,6943) [O-Fi/ — '!*]
et l’on formera le tableau suivant.
m=Oj 5 o . . . Ç'= (1,0814) Q j
On voit par là combien est considérable dans ce cas la différence entre les dépenses Q' et Q.
Considérons enfin le cas où a = o = \ = X' ; on aura , ( n.° 3 o et 3 a), 1—<*' = 0,6943, partant <*' = o,3o57 et l’équation (/?) donnera
d’où l’on déduit les valeurs suivantes de Q' ;
Ainsi dans ce cas la formule (M) donne des dépenses considérablement plus grandes que celles données par la formule (N) , et il est facile de s’assurer qu’il y a d’autres cas, où Q est plus grand que Q\
