DD
de la 3. e
lign.
lign.
lign. .
lign.
JC=l5
J=Zll
JC=D 1
jc=6 9
x=io5
24. Maintenant si d’après ces valeurs on détermine, par la méthode des moindres quarrés , les coefficiens T ci Z pour chacune de ces courbes, on trouvera les équations suivantes \
pour la courbe AA"\ ^'=(0,237619)# -4- (0,006728} (A)
CC jz=. (o, 1 84 1 54) x (0,006088) #*; ( C )
DD U ) ^=(o, 2 o 564 i) >r - 4 - (0,008046)#\ (. D )
En tirant de ces équations, d’après des valeurs données de #, les valeurs correspondantes dej^, on trouve que ces valeurs de y coïncident fort bien avec les valeurs observées , ce que l’on met sous les yeux par le tableau suivant. 11 en résulte ainsi que le profil de la surface de la nappe d’eau qui tombe par le reversoir, prend et conserve sur une certaine étendue la courbure d’une parabole ordinaire.
2 5 . Si Ton compare l’equation
y=Tx -\-Zx' x
des paraboles AA'\ B B" etc. avec celle-ci
r=x. tang.a-f- -«
J b 4 Æ 'COS. 7 a ’
qui représente la parabole décrite par un point mobile lancé avec une vitesse initiale dont la grandeur est r=.[/îga> et dont la direction fait l’angle « avec l’horizontale passant par le point de départ du mobile ? cet angle étant formé au-dessous de l'horizontale ? on aura J==taug.a ;
ce qui donne la signification mécanique des coefficiens T et Z que nous avons employés dans les équations des courbes AA'\ BB" etc. Si les coefficiens T et Z sont donnés , on aura a et a par les équations a=arc. tang. T\
d’où l’on conclura aussi le paramètre de ces paraboles , dont l’expression est
p= -g = cos.V .
26. En cherchant ainsi les valeurs de a, de a et de p relatives aux courbes AA'\ BB” etc. on trouve
Courbes
Impenses Valeurs de u Valeurs de a Valeurs de correspondantes
V JH Pied> ^' b V / 0 ® , “S"- Hg«.
AA* ....Ç=3,96754 ; a=i 3 . 22'; 0=70,17; ^=266.
BB " ....<2=2,27488; <x= 9.41 ; 0 = 52 , 5 o ; y 2 = 2 o 4 .
CC" ....Q=f, 94779 ; a=io. 26 ; 0=43,46; /?= 164.
Ici 1 on peut remarquer que les valeurs de a sont entre elles comme les nombres
1,00 : 0,74 : 0,61 : 0,46 ; les paramètres p sont entr’eux comme les nombres
et les dépenses correspondantes Q sont entr’elles comme les nombres
D’où l’on peut conclure , du moins pour ce petit nombre d’expériences * que les paramètres de ces paraboles 9 ainsi que les quantités a suivent à très-peu-près la raison des dépenses , et que les variations de l’angle a n’ont pas d’influence sensible sur ces rapports ; de manière que cet angle peut ici être regardé comme constant et égala 11.°: et il est facile de s’assurer , qu’en adoptant cette valeur constante de a , les rapports des paramètres entr’eux demeurent encore les memes que ceux qu’on vient d’écrire. Ainsi pour des dépenses quelconques , comprises dans les limites de ces expériences , les paraboles dont il s’agit, sont à très-peu-près déterminées de grandeur et de position.
Les valeurs de a } d’après la théorie du mouvement des.
projectiles , représentent les hauteurs dues aux vitesses des molécules d’eau qui se trouvent respectivement aux points A, B etc. de la surface des nappes d’eau qui tombent par dessus le reversoir , ces vitesses étant dirigées suivant les tangentes tirées par les points A > B etc. aux courbes que les molécules décrivent. Or on voit que ces hauteurs a telles qu’elles résultent par la considération de la courbure parabolique de la surface de la nappe d’eau , sont beaucoup plus grandes que celles données par l’observation immédiate de l’élévation de l’eau dans la branche verticale du tube ( n-° io et 11 ). Ainsi* Ton a trouvé ( n.° i i ) que pour la nappe d’eau AA”, la hauteur effective MA est de 7 i 1,sn 5 5 et que la hauteur de l’eau dans le tube, pour cette nappe, était de 87 ,ien ‘ au-dessus du point A/, dans quelque point de la verticale AM que l’on plaçât le bout de la branche horizontale du tube. Partant en soustrayant 7 i Ugn *,5 de 87 1,6n ’le résidu 1 5 ,ign *,5 donne la hauteur de l’eau dans le tube au dessus du point A \ et c’est à cette hauteur, à laquelle , d’après la théorie ordinaire de l’écoulement des liquides , est due la vitesse de la molécule au point A ; et, d’après la même théorie , la hauteur due à la vitesse de la molécule au point M , est , dans la même expérience, de
27. On peut donc conclure de la remarque et de l’observation précédentes , que la nappe d’eau qui tombe par le reversoir, prend à sa surface une courbure parabolique analogue à celle des projectiles 5 mais que la parabole que
forme la surface supérieure de la nappe , n’est pas celle qui résulte de la seule vitesse propre de la molécule d’eau placée à la surface, combinée avec la gravité: elle résulte aussi de l’action des molécules inférieures } qui si elles étaient seules et isolées, décriraient des paraboles dont le paramètre serait successivement plus grand à mesure que les molécules se trouvent plus au-dessous de la face supérieure de la nappe. Cependant cette action est telle que la courbe décrite par la molécule placée à la surface est encore une parabole , mais dont le paramètre est plus grand que si la molécule était isolée . et qu’elle n’éprouvait d’autre action que celle de la gravité combinée avec la vitesse que la même molécule a au moment où elle passe sur le reversoir.
Ainsi la courbe décrite par la molécule d’eau qui sort par l’orifice A infiniment petit ( fig. ia. e ) est une parabole AM dont le paramètre est quadruple de la charge d’eau AU : mais si l’on ouvre la paroi AD de A en D de manière que le jet se fasse par la fente verticale AD , alors la molécule qui sort par le point A décrira la courbe AM' qui sera encore une parabole , mais^ dont le paramètre sera plus grand que le quadruple de charge d’eau AU , à laquelle est due la vitesse de la molécule en A .
On voit que si chaque orifice A , B , C etc. était seul ouvert, le jet par chacun d’eux décrirait respectivement les paraboles AM , BN , CP etc. Or ces paraboles ayant des paramètres de plus en plus grands , doivent nécessairement se-rencontrer et se croiser , lorsejue tous ces orifice*
sont ouverts à la fois et que le jet se fait par tous les points compris sur la hauteur AD. De cette rencontre il suit que la molécule supérieure A ne décrit plus la parabole ADI y mais la courbe AM' plus élevée et d’une plus grande amplitude ; et l’expérience prouve que cette courbe est encore une parabole , mais dont le paramètre est plus grand que celui qui correspond à la seule vitesse de 1 § molécule A à sa sortie de l’orifice. Il est à présumer, quoique je n’en aie pas fait l’observation , qu’en vertu de la même rencontre la molécule inférieure D ne décrit pas la parabole DP due à la vitesse de la molécule à la sortie de l’orifice, mais qu’elle décrit une autre courbe DQ d’une moindre amplitude. Ainsi le jet de toute l’ouverture AD est terminé par deux courbes AM* et DQ différentes de celles qui seraient décrites par les seules vitesses initiales des molécules qui s’écoulent par les points supérieur et inférieur de l’ouverture. Dans l’écoulement de l’ouverture ou de la fente verticale que nous venons de considérer , on suppose qu'il n’y a ni contraction de la veine lluide , ni inversion de la figure , supposition qui se réalise toujours , lorsque l’orifice est garni intérieurement d’un entonnoir propre à détruire la contraction de la veine et l’inversion de la figure.
28. Ici nous ferons eucore la comparaison des hauteurs MF, ME etc. , TV/*, Ne , etc. ( fig. io. e ) avec les hauteurs correspondantes //', //", etc. ( n.° 11 ) auxquelles s’élevait l’eau dans la branche verticale du tube dans chaque expérience, c’est-à-dire pour chaque dépense F F F\
&EE” etc. du reversoir. Ces diverses hauteurs mesurées directement, sont comme il suit, en notant que les points M et N représentent respectivement l’arête d’amont , et l'arête d’aval du sommet de la digue , dont l’épaisseur MN était de i5 ligIK .
J*e n - lign. ligB.
H = 33 ; MF— 27 ; Nf = 22 .
II" =^ 2 ; ME— 33,5o; Ne = 28 .
B ,,r — 5i ; MD= 4o; Nd= 35.
Il = GG $ MC— 52 ; Ne = 4y,5o.
zr = 7 5; ff/Z?=5 7 ,5o; ZVA = 53, 7 5.
d’où l’on conclud les rapports suivans :
ZT =(i,a 22 )J#F== (r,5oo):^ :
II" = (i,a54).Æf£ = (i,5oô).ZVe ;
//' = (1,269)J/C = (i 5 389).7Vc ;
Z/ v = (i, 3 o4)J/Z? = (i, 3 9 5 )./VA ;
ZT = (1,21 7 )J// = (i,28 9 ).ZVæ .
Les hauteurs exprimées ici par les lignes J 1 /Z T ? etc.
( 6g. io. e ) sont celles que nous avons désignées précédemment par A', A" etc. ( n.° 1 1 ) et qui représentent les hauteurs effectives de l’eau au-dessus du sommet de la digue , prises à son arête d’amont. Or on voit par les rapports précédons , qu’en prenant la moyenne des coefficiens numériques de A',A" etc. , il vient en général Z/=(i, 25 )A; et A=(o,8)/Z; ce qui donne un rapport approché entre les hauteurs II et A.
Mais quant aux hauteurs Nf, Ne , etc. on voit qu’elles n’ont pas des rapports sensiblement constans avec les hauteurs correspondantes II', //" etc. , et qu’en général on ne trouve pas que l’une des trois hauteurs que nous venons de comparer entr’ellcs , soit double de 1 une des deux autres. Du b u at , sans prendre de mesures effectives, a jugé que les hauteurs Nf, Ne , etc. (*) sont la moitié des hauteurs correspondantes II', II" etc. Il peut se faire que dans scs expériences ce rapport eût lieu : mais dans celles que nous avons faites et que nous venons de rapporter , une telle relation n’existe pas , et en général elle est variable d une expérience a l’autre. Ainsi il faut dire que la formule que le même Auteur a donnée pour calculer les dépenses des reversoirs, d’après le rapport qu’il a adopté entre les hauteurs //', II" etc. et les hauteurs Nf, Ne etc. n’est conforme à l’expérience que pareequ’il y a dans la formule même une compensation dans le coefficient de la contraction qu il a employé. Ce coefficient est 0,97 ainsi qu il est aise de reconnaître à la page 200 de l’endroit cité. Or, si dans nos expériences on suppose aussi que l’écoulement sur le reversoir se fait comme par un orifice rectangulaire et vertical dont la
hauteur est — , — etc. et dont la charge d’eau au-dessus 2 2
