O9082 1 sur
Ces considérations sont très importantes dins Téconomie des rail'ways ; mais comme ce qui est très satisfaisant pour un mathématicien ne petit Tétre également pour les personnes qui n ont pas l'habitude de suivre de telles séries de raisonnements ^ j'avais fait un petit modèle représentant une longueur de rail , la distance des supports étant 3o pouces ; les barres étaient en acier, d'un quart de pouce sur un huitième; la charge avec le chariot pesait i54 onces , et la flexion avec ce poids était de p^ d'un demipouce. Le modèle est représenté dans le (fessin (fig. 29), avec la balance où il y a des poids pour éclàircir les points en question. De A jusqu'en B fut posée) une pièce de bois bien plane , sur laquelle , au premier moment 9 les barres du railway furent fixées à leur propre distance parallèle. Le bout du modèle A étapt alors élevé , ce plan fut rendu tout-à-fait horizontal. Des poids furent alors graduellement placée dans la balance jusqu'à ce que le poids fut trouvé fiiire
juste équilibre au frottement : oa le trouva exactement de cinq ouces , compris la balance.
Le modèle fut alors placé dans sa position naturelle , la base CD soigneusement mise de niveau et le chariot placé sur les barres non supportées , le poids étant placé aussi près que possible sur les roues de devant seulement. Les cinq onces pour surmonter le frottement furent introduites et des poids graduellement ajoutés ; à chaque once introduite , le chariot s'avançait; et avec 16 onces , il s'éleva jusqu'au point E, où la résistance fut la plus grande : alors il prit le mouvement accéléré jusqu'au bout. Le point E f d'aprèi nos recherches précédentes , devait être un peu au-delà de la moitié de la demi-longueur ; c'est ce que l'expérience prouva également. Au point le plus bas de la courbure , la résistance était la même que sur le plan horizontal , comme elle l'était aussi à l'extrémité B^ ce qui s'accorde pareillement avec les calculs.
. Les barres furent alors retirées , et le plan déjà décrit pl^ de A en B . s'inclinant de manière que tes barres passaient exactement par le point F , on trouva alors ^^e le poids nécessaire pour équilibrer le ch$riot et le frottement était 19 onces et demie. La plus grande résistance^ par suite, sur des barres fléchiesi était à la résistance sur le p1ancomme(i 6^-5) est à (19; — 5), ou comme 11 est à i4î , ce qui se rapproche très près de ce que donne la théorie. Cependant, le seul doute qui puisse rester est de savoir jusqu'à quel point je puis rejeter, comme Irpp peu de chose, tout accroissement de puissance
sur le côté descendant. Ce point ne peut être ëdiûrei par expérience , et c'est ponrqnoî je suis obligé itei de m'appuyer seulement sur la démonstration. Le cas ne renferme certainement aucune difficulté de coi>* céplion pour ceux qui savent là mécanique théorique ; mais. la question ayant été vue sous un différent jour par uûe personne qui occupe un haut rang dans la science , j'aurais été bien aise d'avoir pu montrer cet effet par expérience ; mais comme le tout roule sur la vitesse , cela est naturellement impossible. C'était mon intention de traiter ici la question des pentes , mais cela paraîtrait peut^re peu confQroie à l'objet principal de ce rapport , et comme pour l'examiner en détail et la comparer avec les résultats connus, cela demanderait des développemens que )e ne puis donner ici , je garderai cette recherche pour ' quelque autre circonstance , et j'expliquerai seulement le principe suivant lequel il me semble que le sujet doit être traité.
Quand une charge a été élevée sur un plan incliné de B en C (£ig. 3o), la fonction remplie pa^'S^ machine a été de surmonter le frottement et d'élever la charge entière à la hauteur DC. Alors, sur le plan descendant CA , la charge ayant une tendance à descendre , moins ce dont elle peut être retardée on retenue par le frottement, cette tendance peut être employée pour aider à surmonter le frottement , et ainsi à restituer plus où moins du pouvoir dépensé pour l'élever. Mais la quantité du pouvoir restitué dépendra du temps de la descente , et ne pélijt jamais
<¥&pder ûe que la gravite eUe-ménie engendrerait 4daiis )4 dis9rgjd p si elle él^it libre penjdant le temps de la descente^ x:'est^à*dire que^ quai^d un corps est sollicité à descendre sur un plan p^r une force audessus de celle de la gravité , pou3 ne devons attri- Iraer k cette dernière que l'effet ou le oiouvement qu'elle çemt capable d'inaprimer à la charge ^ si elle était libF0 , sur le même plan et pendant le même temps. Ceci étant admis^ il s'ensuit que très peu de sepcmrs proviendra de la gravité pendant le passage de là cbirge sur la demi-longueur d'une barre , ou 4a içoitié de la distance entre deux supports ^ le temps !ii'éta\»l que d'environ un vingtième de s^pnde , et la pente n'ayant pas plus de i sur aooo ou Sooo. C'est pourquoi dans les recberiches précédentes j'ai ^rejeté entièrement cet effet de la descente.
' De la section de plus grande force.
lia question de savoir quelle est la figure de plus grande force a ^ comme beaucoup d'autres liées au sujet des Failv¥ays , donné lieu à des opinions directement opposées. Tandis qu'un parti prétend que la forme la plus forte est celle qui a le renflement le plus bas et le plus large, d'autres soutiennent que si le renflement était complètement supprimé et le métal placé de manière à former k la côte centrale une plus grande hauteur, une force additionneUe considérable serait obtenue.
L'argument avancé pour appuyer cette dernière doctrine est celui-ci : Supposez que ctbcd (fîg. 5 1 ) repré-
tu
settle mi nil avec dcmUerenflement^ l'inféneur çhint marqua c^t d, on souliarti|ue ai ces parties ^tent retranchées^t placée&ea^x>atmuationde k^ côte (ÇentriU^, comme en e, ces jSbres étant alors placées plus loin dip Taxe neutre que dans V premiere.pôsîtion , produiraient plus d'effet. Ceci est bien vrai ; maïs alors la partie de la côte centrale ^ntre cet d en produirait moins^ parce que^ dans la première forme^ cette partie est parmi les fibres inférieures qui agissent avec leur plein pouvoir et Hx tonnes , tan^s <}«e éaps 4a 'se^ con^è jforme^ les parties eatxç cet d^e £6i|t plus parties des fibres antérieures ^ et cfs sont ies inférieures seulement dans lesquelles cette tei^ioji itotale |)eut être mise en attion. Il est clair, toutefois , que ceci est une question qui entre immédiatement âans la classe des maximafetiminimay dont la sdbcution est comme il snity savoir : .
Étant donnée l'aire de la section d'une harre de railv^ay au-dessous de J'axe cieutre , trouver les dimensions du renflement inférieur de telle sorte que la force soit un maximuni; la largeur de la côte du milieu et là bauteur du renflement inférieur étant aussi données , se reportant à la figure 3 1 ou Si la }>age 4^ de mon premier rappat*t; soil
L'aire totale de la section au-desso«8 de nn = a »
l>t^^9g!gtmiie Ja «lite pq ^=tt'b^
La hauteur ns 9= if «
La hauteur du renflement înfe'rieur = e ,
La tension de 1g fibre inférieure = ' >
I5jfe
lé Pour trouver d'abord rexpression de la forc^ de la côte du milieu , appelons x toute distance va-
riable , alors d lt:i xl rs- â=:: tension de la fibre en x.
Multiplions par la distance x et la largeur, b , et nous ayons pour la somme de toutes les résistances
f^,bx^dx = ^a?.
Ceci 9 quand or :t=<^'^ devient ^^/^*6/.
ia. Pour trouver une expression de la force du renflement inférieur^ soit la largeur =&', toute distance à l'axe nn^=zx.
Alors dit:: ^ = tension de la fibre en x. Multiplions par la distance x et la laideur b'j
Nous avons pour la somme de toutes les résis-tances y
y b'x*dx.
Ceci pris entre les valeurs xsssif et jpssséP— c, donne
résistance = ^ o t ss Ute — c' + ^\ b'i.
Par suite y la' résistance de la côte et du renflement inférieur est
•d'.fcH.(^e-.. + ^y..
Il reste à déterminer quelle valeur doit être donnée à dy pour que cette expression puisse être un maximum.
Pour y arriver, il suffit de regarder d comme variable , de le représenter par x , de trouver la valeur de la quantité dépendante V en fonction de ^ ^ de substituer ces quantités dans l'expression précédente , et de faire sa difierentielle égale à zéro.
Maintenant, puisque la hauteur de la côte du milieu est Xy et sa largeur h , l'aire est hx , et conséquemment l'aire du renflement inférieur =a—--6x, et sa
hauteur étant c, sa largeur = -^^^^ — , c'est-à-dire
1/ a'^hx
Substituant alors x pour 6' , et x pour d
dans l'expression précédente , elle devient , suppri^ mant t qui est commun ,
i ix* + (ex - e* + g)(^ -- :r )=^ un maximum ,
ou
'''"-'* + 3Î = *' OU 5 bxix
ou
^+(-éX?--.-)--.(— •+0=«.
OU
Réduisant chaque terme au dénominateur 3a:* et le supprimant ^ ceci devient
OU
ou
-^ 4^a:' + (3a + 3cè)j:* ^- c*a = o-,
3(a 4- eb )^^ —e'fl
d*où Ton peut déterminer x pour toutes valeurs données de a, b et e.
Comme exemple , prenons un rail dans lequel la côté dur milittuat OV78- police ou b-zm ^7^f comme dans l'exemple 2, page 4^ de mon premier rapport^ pour trouver quel renflement on doit lui donner , et la hauteur correspondante du rail qui produit le maximum de force.
Le rail ayant 4 pouces et démiao^dessous de Taxe neutre y et sa largeur étant 6 = 0,78^ son aire est Of,j8x^^s=iS,5i:=:a; on demande de distribuer
celte aire de manière à produire un rail de force maximum ^ la hAttteiur du ren&wsmtA proposé étant d'un pouce. Substituant a =s3,5i , bzzi 0,78 , e= i , 1 equi^os qui |irécède devient
d'oà A: = 4io4ba<uteUr du rail dematidée.
Maintenant 9 4^04 X ^i7^=^i^ ^i^^ ^^ "^ ^^^^ cenfjpàlé ,
ou o,36 Paire du reiifteirteftt inférieui* qui est aussi sa largeur , sa hauteikr étant i .
Aro^ le rail le plus fort, du même poids, et dont la latgeur est 0,78 est celui dont la hauteur est 4|04 pouces f et la largeur du renflement inférieur compris la cote du milieu 9
0, 78 + 0,36 =1,14 pouce.
On observera qtté'dans^ ce tté^^ solution , afin de sîm^ pliOer, la forcée on réisistàneè et la tète^t^ ^\ entrés petite, a été négligée, nous lùivons pas non plus rapporté la résistance au centre de compression ; maisi il est sensible que lorsc^ue la force est un maximum pris^ par rapport à Taxe ueûtre , elle doit Têtre aussi rapportée au centre de compression , ou à très peu près.
Force du ^^aiVctdculée.
La hauteur totak 4>54 "b:^?
pq = 0,58.
^^^''* {(4i54 -'î) X îa = 48!48} "^ ^'^
Côté du milieu, -^^-^ ^ ~ 2-2 =3: 47>"9
Po«fl««.anf l(4>54— i)Xo,36xio= ia,7 Renflement L,(4^54^,).^.4><3,54 ^,,,,6
171,6 : i65,6 :: la,^ : 12, aS ;= ia,a5
\^' = 7 >3 tonnes k peu près.
Si nous prenons pour la même aire 3^5 1 ayecle renflement de un pouce de hauteur^ et la .côte 0^6 d'épaisseur y réquation générale devient
ceci donne x=5 à très peu près , de telle sorte que la hauteur adoptée dan& l'exemple 5, page 46 de mon premier rapport est pour l'épaisseur de o^ô de pouce , le rail de force maximum.
